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第20讲 基本初等函数的图象、性质及应用


函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点 之一,出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题, 单调性的讨论与不等式的证明等综合问题.

从考查题型来看,往年高考中既有1~3道小题,又有 1~2道解答题.如2011年全国新课标、2011辽宁卷、 2011安徽卷就命制了2道解答题,其它省市各命制1道 解答题,且绝大多数试题处在把关题,压轴题的位 置.涉及的

内容大多是函数与不等式、导数知识交汇, 主要考查求函数的最值和值域,函数单调性的讨论, 解不等式,求参数取值范围及函数零点个数探讨等.

从考查的知识点来看,函数的单调性是考查重点之一,且 单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势.函数的图象注 重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)及基本 初等函数图象的应用.对指数函数与对数函数的考查,大 多是以函数的性质为依托,结合运算推理来解决,要求能 比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较,方程解的 讨论等.由于三次函数的导数是二次函数,因此,对于三 次函数的问题应特别引起重视.不等式重点考查的有四种 题型,即解不等式,特别是解含绝对值的不等式,证明不 等式,不等式的应用,不等式的综合性问题,突出不等式 的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值.不等式 证明常与函数、数列、导数综合在一起,证明过程中的构 造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点, 其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫.此外关 于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函 数的凸性问题也值得关注.

第20讲
基本初等函数的图象、性质及应用

1.考题展望 基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点,多以 小题形式出现,有时也在实际应用问题或与导数、方 程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考 查,侧重考查函数单调性及综合应用.

2.高考真题 考题1(2012 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1 , 1] 上 , f(x) = ?ax+1,-1≤x<0, ? 1 3 ?bx+2 其中 a,b∈R.若 f( )=f( ), 2 2 ? x+1 ,0≤x≤1, ? 则 a+3b 的值为________.

【解析】-10. ∵f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, b+2 ∴f(-1)=f(1),即-a+1= ① 2 3 1 1 又∵f( )=f(- )=- a+1, 2 2 2 1 b+4 1 3 f( )= ,f( )=f( ), 2 3 2 2 b+4 1 ∴- a+1= ② 2 3 联立①②,解得,a=2,b=-4.∴a+3b=-10.

【命题立意】本小题主要考查分段函数与周期函数等知 识及运算求解能力.

考题2(2012 山东)函数 y= 为( )

cos6x - 的图象大致 2x-2 x

【解析】选 D. 函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A, π 令 y=0 得 cos6x=0,所以 6x= +kπ,x= 2 π k + π, 12 6 函数零点有无穷多个, π 排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为( ,0), 12 π -x x 又函数 y=2 -2 为增函数,当 0<x< 时, 12

y=2x-2-x>0,cos6x>0, cos6x 所以函数 y= x -x>0,排除 B,故选 D. 2 -2 【命题立意】 本小题主要考查函数的图象与性 质及识图能力.



考题3(2012 湖南)已知两条直线 l1 :y=m 和 8 l2: y= (m>0),1 与函数 y=|log2x|的图象从左 l 2m+1 至右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从 左至右相交于点 C,D .记线段 AC 和 BD 在 x 轴上 b 的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值 a 为( ) A.16 2 C.8 4 3 B.8 2 D.4 4 3

【解析】选 B. 8 在同一坐标系中作出 y=m, y= (m>0), 2m+1
? ? y=?log2x?图象如下图, ? ?

? ? 由?log2x?=m,得 x1=2-m,x2=2m, ? ?

8 8 ,得 x3=2- , 2m+1 2m+1 8 x4=22m+1. ? -m 8 ? ? 依照题意得 a=?2 -2-2m+1?, ? ? ? ? 8 ? ? m b=?2 -22m+1?, ? ? ?
? ? ? ? log2x?= ?

8 1 4 1 1 1 ∵m+ =m+ + - ≥4- =3 , 2 1 2 2 2 2m+1 m+ 2 b ∴(a)min=8 2. 【命题立意】本小题主要考查对数函数的图 象、图象变换和均值不等式等知识,考查运算求解 能力和转化化归思想.

1.函数的有关概念,函数的三要素.
2.函数的图象、图象变换及应用. 三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (1)平移变换 函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图 象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到; 函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图 象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到.

(2)伸缩变换 函数y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x) 的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)成原 来的A倍,横坐标不变而得到. 函数y=f(ωx)(ω>0,ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x) 的图象上各点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)成原来的, 纵坐标不变而得到.

(3)对称变换 函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关 于x轴对称的图形而得到. 函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关 于y轴对称的图形而得到.

函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象 关于原点对称的图形而得到.
函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的 图象及其与y轴对称的图形而得到. 函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象,然 后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方, 其余部分保持不变而得到.

(3)幂函数的图象及性质 对于幂函数y=xα(α∈R),当α=1时,y=x的图象是直 线;当α=0时,y=x0=1(x≠0)的图象是直线(不包括点 (0,1)).其他一般情况的图象如下表:

幂函数的性质
(ⅰ)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: ①图象都通过点(0,0)、(1,1). ②在第一象限内,函数值随x的增大而增大. ③在第一象限内,α>1时,图象是向下凸的;0<α<1 时,图象是向上凸的.

(ⅱ)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向 下凸的;

③在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近;
4.函数的周期性的定义及常用结论

一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x 的值:
若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个 周期.

若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b), f(x)是周期函数, 则 |b-a|是它的一个周期; 若 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则 f(x)是周期函数, 2a 是它的一个周期. 1 若 f(x+a)= (a≠0,且 f(x)≠0),则 f(x) f(x) 是周期函数,2a 是它的一个周期. 1+f(x) 若 f(x+a)= (a≠0 且 f(x)≠1), f(x) 则 1-f(x) 是周期函数,4a 是它的一个周期.

5.函数对称性的几个重要结论 一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域内的任意 一个 x 的值: 若 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x a+b = 对称.特别地,若 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x) 2 的图象关于直线 x=a 对称; 若 f(a+x)=-f(b-x),则函数 f(x)的图象关于点 a+b ( ,0)中心对称.特别地,若 f(a+x)=-f(a-x), 2 则函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.

6.对称性与周期性之间的关系
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般地,若 f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)必为 周期函数,且2|b-a|是它的一个周期;若f(x)的图象有 两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期函数, 且2|b-a|为它的一个周期;若f(x)的图象有一对称轴x= a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数,且 4|b-a|是它的一个周期.

1.函数的概念及表示 ? 1 x ?( ) ,x∈(-1,0) 例1(1)若函数 f(x)=? 4 , ?4x,x∈[0,1] ? 则 f(log43)的值为( B ) 1 A. B.3 3 1 C. D.4 4 【解析】∵log43∈[0,1],∴f(log43)=4log43 =3.故选 B.

(2)已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x) =mx.若对任意实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个 为正数,则实数 m 的取值范围是( B ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

【解析】当 m≤0 时,显然不合题设; 当 m>0 时,f(0)=1>0,又函数 f(x)的对称轴 4-m 为 x= 2m 4-m 若 ≥0,即 0<m≤4,结论成立. 2m 4-m 若 <0,即 m>4 时,当 Δ=4(4-m)2- 2m 8m<0 时,即可,此时 4<m<8 综上可得 0<m<8.故选 B.

(3)定义新运算“⊕”如下:当 a≥b 时,a⊕b=a, 当 a<b 时,a⊕b=b2.设函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x), x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域为 [-4,6] . ?x-2,x∈[-2,1] ? 【解析】由题设 f(x)=? 3 ?x -2,x∈(1,2] ? 当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1],当 x∈(1, 2]时, f(x)∈(-1,6],故 f(x)的值域为[-4,6].

【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值 域、解析式等,命题形式有两种,一种是以基本初等函 数为载体构造试题,另一种是以某新定义构建函数.

2.函数的性质及应用 例2(1)已知函数 f(x),g(x)都是 R 上的奇函数, 且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2.若 F(a)=b,则 F(-a) 4-b = . 【解析】由题设 F(a)=3f(a)+5g(a)+2=b. 3f(a)+5g(a)=b-2. 又 F(-a)=3f(-a)+5g(-a)+2=-3f(a)- 5g(a)+2=-(b-2)+2=4-b.

(2)已知函数 f(x+1)是偶函数,若任意 x1、 x2∈[1,+∞)都有[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0 恒成 1 立,设 a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则 a、b、c 2 的大小关系是( A ) A.b<a<c C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c

【解析】由 f(x+1)是偶函数可知 y=f(x+1) 的图象关于 y 轴对称,从而 y=f(x)关于直线 x=1 对称. 又当 x1、x2∈[1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)](x2- x1)>0, 1 可知 f(x)在[1, +∞)上为增函数, a=f(- ) 又 2 5 5 =f( ).从而 f(2)<f( )<f(3) 2 2 所以 b<a<c,故选 A.

(3)若定义在[-2 012,2 012]上的函数 f(x)满 足:对任意 x1,x2∈[-2 012,2 012]有 f(x1+x2) =f(x1)+f(x2)-2 011,且 x>0 时,f(x)>2 011,记 f(x)在[-2 012,2 012]上的最大值和最小值为 M、 N,则 M+N 的值为( C ) A.2 011 B.2 012 C.4 022 D.4 024

【解析】令 x1=x2=0 得 f(0)=2 011. 设-2 012<x1<x2<2 012, 且 x2=x1+h(h>0),则 f(h)>2 011. 所以 f(x2)=f(x1 +h)=f(x1)+f(h)-2 011> f(x1). 可知 f(x)在[-2 012,2 012]上是增函数. 故 M+N=f(2 012)+f(-2 012)=f(2 012-2 012) +2 011=f(0)+2 011=4 022.

【点评】函数的性质指奇偶性,单调性和周期性;函 数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象,函数值、 解析式和单调性的转化,函数单调性可以比较大小, 求函数最值,解不等式;周期性考纲要求是了解,应 用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性 质,同时应注意函数性质的“逆用”.

3.函数的图象及应用 ?3x,x≤1 ? 例3(1)已知函数 f(x)=?log1x,x>1, 则函数 y ? 3 ? =f(1-x)的图象大致是( C )

【解析】 由于 y=f(x)与 y=f(-x) 的图象关于 y 轴对称. 又 y=f(-x)的图象向右平移 1 个 单位得到 y=f[-(x-1)] 即 y=f(1-x)的图象,而 y=f(x) 的图象如图 从而可知 y=f(1-x)的图象应为 C.故选 C.

(2)如图,当直线 l:y=x+t 从虚线位 置开始,沿图中箭头方向平行匀速移动 时, 正方形 ABCD 位于直线 l 下方(图中阴 影部分)的面积记为 S,则 S 关于 t 的函数 图象大致是( A )

【解析】设正方形的边长为 a(a>0), ?1 (a+t)2,-a≤t≤0 ?2 ? 依题设可得 S=? 2 1 , a - (a-t)2,0<t≤a ? 2 ? 2 ?a ,t>a 可知 S 关于 t 的函数图象应为 A.

(3)已知函数

?|lnx|,0<x≤e ? f(x)=? , 若 ?-(x-e-1)3,x>e ?

a、 c 是互不相等的实数, b、 且满足 f(a)=f(b)=f(c), 则 abc 的取值范围是 (e,e+1) .

【解析】画出函数 f(x)的图象如 右 不妨设 a<b<c, 由 f(a)=f(b)=f(c) 可知 0<a<1<b<e<c<e+1 又 f(a)=-lna=f(b)=lnb. 得 ab=1,故 abc=c∈(e,e+1), 即 abc 的取值范围是(e,e+1).

【点评】关于函数图象问题一般有两类,第一类是作 图和识图[如本例(1)(2)];本例(1)其求解方法可以通过 求得解析式后作图,也可利用基本初等函数的图象通 过图象变换而求解,还可以利用特殊点和函数图象的 增减性与对称性,应用淘汰法求解.本例(2)的求解方 法有先求解析式后判定和根据函数的定义域和值域的 取值范围,并观察函数的增减进行分析推理;第二类 是用图,[如本例(3)],即利用函数的图象分析研究函 数的相关问题.

4.创新问题 例4已知 a、b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x) = x2 + bx 的 导 函 数 分 别 为 f′(x) , g′(x) , 若 f′(x)· g′(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称函数 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致. (1)设 a>0,若 f(x)和 g(x)在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a<0, a≠b, 且 若函数 f(x)和 g(x)在以 a、 b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大 值.

【解析】由题设可得 f′(x)=3x2+a,g′(x)= 2x+b. (1)由题设知 f′(x)· g′(x)≥0 在[-1, +∞)上恒 成立 因为 a>0,则 3x2+a>0 恒成立, 从而 2x+b≥0. 即 b≥-2x 在[-1, +∞)恒成立, 所以 b≥2, 即 b 的取值范围为[2,+∞).

a (2)令 f′(x)=0 得 x=± - 3 若 b>0, a<0 得 0∈(a, 又因为 f′(0)· 由 b), g′(0) =ab<0. 所以函数 f(x)和 g(x)在区间(a,b)上不是单调 一致的, 因此设 b≤0. 当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0;当 x∈(-∞, a - - )时, 3 f′(x)>0.

a 因此 x∈(-∞,- - )时,f′(x)· g′(x)<0. 3 a a 由题设 a≥- - 且 b≥- - , 3 3 1 从而- ≤a<0, 3 1 于是- ≤b≤0. 3 1 1 因此|a-b|≤ ,当且仅当 a=- ,b=0 时等 3 3 号成立.

1 1 2 又当 a=- ,b=0 时,f′(x)· g′(x)=6x(x - ) 3 9 1 当 x∈(- ,0)时 f′(x)· g′(x)>0, 3 1 则函数在(- ,0)上单调性一致. 3 1 故|a-b|的最大值为 . 3

【点评】本例系新定义创新问题,题设中定义两函数单 调性一致的概念,问题求解的策略是将单调性一致转化 为恒成立问题,然后推理探究而解决问题.

例4 〔备选题〕 已知 f1(x)=|3x-1|, 2(x)=|a·x-9|, f 3 ( 其 中 a 为 正 常 数 ) , x∈R , 且 f(x) =
? ? ? ? ?

f1(x), f2(x),

f1(x)<f2(x) f1(x)≥f2(x) . (1)当 a=1 时,求 f(1); (2)当 2≤a<9 时,设 f(x)=f2(x)所对应的自变量取 值区间的长度为 l(注:闭区间[m,n]的长度定义为 n-m),试求 l 的最大值; (3)是否存在这样的 a, 使得当 x∈[2, +∞)时, f(x) =f2(x)?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在, 请说明理由.

【解析】(1)当 a=1 时,f2(x)=|3x-9|. 因为当 x∈(0,log35)时,f1(x)=3x-1, f2(x)=9-3x, 且 f1(x)-f2(x)=2·x-10<2×3log35-10 3 =2×5-10=0, 所以当 x∈(0,log35)时,f(x)=3x-1, 且 1∈(0,log35),f(1)=2.

9 9 (2)因为 2≤a<9,所以 0<log3a≤log3 ,则 2 9 ①当 x≥log3 时,因为 a·x-9≥0,3x-1>0, 3 a 所以由 f2(x)-f1(x)=(a·x-9)-(3x-1) 3 8 x =(a-1)3 -8≤0,解得 x≤log3 , a-1 9 8 从而当 log3a≤x≤log3 时,f(x)=f2(x). a-1

9 ②当 0≤x<log3 时, 因为 a·x-9<0, x-1≥0, 3 3 a 所以由 f2(x)-f1(x)=(9-a·x)-(3x-1) 3 10 x =10-(a+1)3 ≤0,解得 x≥log3 , a+1 10 9 从而当 log3 ≤x<log3a时,f(x)=f2(x). a+1

③当 x<0 时,因为 f2(x)-f1(x)=(9-a·x)-(1-3x) 3 =8-(a-1)3x>0, 从而 f(x)=f2(x)一定不成立. 10 8 综上得,当且仅当 x∈[log3 ,log3 ]时, a+1 a-1 f(x)=f2(x),故 8 10 4 2 l=log3 -log3 =log3[ (1+ )]. 5 a-1 a+1 a-1 12 从而当 a=2 时,l 取得最大值为 log3 . 5

(3)“ 当 x∈[2 , + ∞) 时 , f(x) = f2(x)” 等 价 于 “f2(x)≤f1(x)对 x∈[2,+∞)恒成立”, 即“|a·x-9|≤|3x-1|=3x-1(*)对 x∈[2,+∞)恒 3 成立”.

9 ①当 a≥1 时,log3 ≤2, a 9 则当 x≥2 时,a· -9≥a· 3a-9=0,则(*) 3 3log 可化为 8 x x a·3 -9≤3 -1,即 a≤1+ x,而当 x≥2 时, 3 8 1+ x>1, 3 所以 a≤1,从而 a=1 适合题意.
x

9 ②当 0<a<1 时,log3 >2. a 9 (i)当 x>log3a时,(*)可化为 a·x-9≤3x-1, 3 8 8 即 a≤1+ x,而 1+ x>1, 3 3 所以 a≤1,此时要求 0<a<1.

9 9 x (ii)当 x=log3a时,(*)可化为 0≤3 -1=a-1, 所以 a∈(0,9],此时只要求 0<a<1. 9 (iii)当 2≤x<log3a时,(*)可化为 9-a·x≤3x-1, 3 10 10 1 即 a≥ x -1,而 x -1≤ , 3 3 9 1 1 所以 a≥ ,此时要求 ≤a<1. 9 9

1 由(i)(ii)(iii),得 ≤a<1 符合题意要求. 9 综合①②知,满足题意的 a 存在, 1 且 a 的取值范围是 ≤a≤1. 9

1.深刻理解函数的概念的内涵,不仅包括准确理解函 数的概念,而且包含了函数的灵活应用. 2.函数图象是函数的直观反映,是数形结合的基础, 因此必须熟练掌握函数图象的作法,并能灵活运用图 象来分析解决问题.常用的作图方法有描点法和变换 法.解决函数图象问题常用的方法有:函数模型法、 定量分析法和定性分析法.

3.讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则,对于函 数实际问题,注意挖掘隐含实际中的条件,避免忽略实 际意义对定义域的影响. 4.对称性与周期性结论要分清,即“内同表示周期性, 内反表示对称性”;中心对称与轴对称的结论不要混淆, “内反外同轴对称,内外都反中心对称”. 5.若函数图象同时具备两种对称性,两条对称轴,或 两个对称中心,或一条对称轴一个对称中心,则函数一 定是周期函数. 6.运用函数性质解题时,应注意:①数形结合,扬长 避短;②等价转化,迅速破解;③含参变量,分类讨论, 全面考虑.

1.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是( B )

1 1 2 A.①y=x3,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 1 3 2 B.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 1 - 2 3 C.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 1 1 D.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-1

12,b=log23,c=(1)0.3,则( B ) 2.设 a=log 2 3 A.a<b<c C.b<c<a B.a<c<b D.b<a<c

b 3. 函数 y=ax +bx 与 y=log|a|x(ab≠0, |a|≠|b|) 在同一直角坐标系中的图象可能是( D )
2

b 【解析】函数 y=ax +bx 的两个零点是 0,- , a b 对于 D,由抛物线的图象知 a>0,- ∈(-1,0), a b b ∴| |∈(0,1),从而函数 y=log| |x 为减函数符合 a a 题意,而经验证 A,B,C 均不符合,故选 D.
2

4.已知函数 f(x)满足:①定义域为 R;②?x ∈R,有 f(x+2)=2f(x);③当 x∈[-1,1]时,f(x) =-|x|+1.则方程 f(x)=log4|x|在区间[-10,10]内 的解的个数是( C ) 的解的个数是(C) A.20 B.12 C.11 D.10 【解析】(数形结合)在同一直角坐标系内作出函数 f(x)和 y=log4|x|的图象如下图,由图易知,y=f(x) 与 y=log4|x|的图象在[-10,0]有两个交点,在(0, 10]内有 9 个交点, 故方程 f(x)=log4|x|在区间[-10, 10]内共有 11 个解.

5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4) =-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( D ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

【解析】∵f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f[(x-4)-4] =-f(x-4) =-[-f(x)] =f(x), ∴f(x)是以 8 为周期的周期函数. f(80)=f(8×10)=f(0),f(11)=f(3+8)=f(3) =-f(3-4)=-f(-1)=-[-f(1)]=f(1), f(-25)=f[8×(-3)-1]=f(-1)=-f(1).

∵f(x)在区间[0,2]上递增, ∴f(0)<f(1). 又∵f(x)为奇函数, ∴f(0)=0,∴f(1)>0,∴-f(1)<0, ∴-f(1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11).

6.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述三个 命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对于任意的 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1), 则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称, 则 f(x)为偶函数. 其中正确命题的序号为 ①③ .(把你认为 正确命题的序号都填上)

【解析】y=f(x-1)的图象是由y=f(x)向右平移1个单 位得到. ∵f(x)是奇函数,图象关于(0,0)对称, 因此y=f(x-1)关于(1,0)对称,故①正确;

对于②,对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),
可知2是f(x)的一个周期,故②错; ∵y=f(x-1)的图象是由y=f(x)的图象向右平移1个单 位得到的,又y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称, 所以y=f(x)关于y轴对称. ∴f(x)为偶函数,故③正确.

7.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的 图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的 2 值为 . 2

【解析】由题设知,|MN|=x2-lnx(x>0).不 1 2 妨令 h(x)=x -lnx,则 h′(x)=2x-x,令 h′(x)=0 2 解得 x= . 2 2 因当 x∈(0, )时,h′(x)<0, 2 2 当 x∈( ,+∞)时,h′(x)>0, 2 2 2 所以当 x= 时,|MN|达到最小,即 t= . 2 2

8. 设函数 f(x)=x2-ax+a+3, g(x)=ax-2a, 若?x0∈R,使得 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立, 则实数 a 的取值范围是 (7,+∞) .

【解析】由题设知,Δ=a2-4(a+3)>0,即 a<-2 或 a>6,且 g(x)=ax-2a,恒过定点(2,0). ①当 a=0 时,f(x)=x2+3 恒大于 0,显然不成立; ②当 a>0
?a>0 ? 时,如左图,则? ?a>7; ?f(2)<0 ?

a ③当 a<0 时,如右图,x 对= <0,从图形可看 2 出不存在满足要求的 a,显然不成立.综上知,a 的取值范围为(7,+∞).

1 9.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 x 的图象关于点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间[0,2] 上为减函数,求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)∵f(x)的图象与 h(x)的图象关于 A(0,1)对称, 设 f(x)图象上任意一点坐标为 B(x,y), 其关于 A(0,1)的对称点为 B′(x′,y′), ?x′+x ? =0 ?x′=-x ? 2 ? 则? ,∴? . ?y′=2-y ? ?y′+y ? 2 =1 ?

1 ∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ +2, x′ 1 1 ∴2-y=-x-x+2,∴y=x+x, 1 即 f(x)=x+ . x (2)g(x)=x2+ax+1, ∵g(x)在[0,2]上为减函数, a ∴- ≥2,即 a≤-4, 2 ∴a 的取值范围为(-∞,-4].


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