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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:58 曲线与方程含答案

时间:2015-02-06


课时跟踪检测(五十八)
第Ⅰ组:全员必做题

曲线与方程

1. 长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上移动, AC =2 CB ,则点 C 的轨迹 是( ) A.线段 C.椭圆
2

B.圆 D.双曲线 )

2. 已知定点 A(2,0),它与抛物线 y

=x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程为( A.y =2(x-1) C.y =x-1
2 2 2 2

B.y =4(x-1) 1 2 D.y = (x-1) 2

2

3.(2014·长春模拟) 设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆 周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( A. 4x 4y - =1 21 25
2 2 2 2

)

B.

4x 4y + =1 21 25
2 2

2

2

4x 4y C. - =1 25 21

4x 4y D. + =1 25 21

4.(2014·银川模拟)已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是 线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0
2 2

)

5.(2013·焦作模拟)设点 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1, 则 P 点的轨迹方程为( A.y =2x C.y =-2x
2 2 2 2

) B.(x-1) +y =4 D.(x-1) +y =2
2 2 2 2

6.已知圆的方程为 x +y =4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点轨迹方程是____________. 7.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹方程是________________. 8.(2013·武汉调研)动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则动点 P 的轨迹方程为________. 9.(2013·大连模拟) 设 A,B 分别是直线 y= 设 O 为坐标原点,动点 P 满足 OP = OA + OB . (1)求点 P 的轨迹方程; 2 2 x 和 y=- x 上的动点,且|AB|= 2, 2 2

-1-

(2)过点( 3,0)作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1,l2 与点 P 的轨迹的相交弦分别为 CD,EF,设 CD,EF 的弦中点分别为 M,N,求证:直线 MN 恒过一个定点.

10. (2013·广州模拟)如图,已知抛物线 P:y =x,直线 与抛物线 P 交于 A,B 两点,OA⊥OB, OA + OB = OC ,OC 与 交于点 M. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)求四边形 AOBC 的面积的最小值.

2

AB AB

第Ⅱ组:重点选做题 1.方程(2x+3y-1)( x-3-1)=0 表示的曲线是( A.两条直线 C.两条线段 B.两条射线 D.一条直线和一条射线 )

1 ?1 ? 2.(2014·余姚模拟)已知点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直 4 ?4 ?

-2-

于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 C.圆 B.椭圆 D.抛物线

)

答 案 第Ⅰ组:全员必做题 1.选 C 设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a +b =9① 又 AC =2 CB ,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), a=3x, ? ? 即? 3 b= y, ? ? 2
2 2



y 代入①式整理可得:x + =1. 4
2

2

2.选 D 设 P(x0,y0),M(x,y), x +2 ? ?x= 2 , 则? y ? ?y= 2 .
0 0

? ?x0=2x-2, 所以? ?y0=2y. ?

1 2 2 2 由于 y0=x0, 所以 4y =2x-2.即 y = (x-1). 2

3.选 D ∵M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, 5 ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆.∴a= , 2 c=1, 21 2 2 2 则 b =a -c = , 4 4x 4y ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 21 4.选 D 设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0. 5.选 D 如图,设 P(x,y),圆心为 M(1,0).连接 MA,则 MA⊥PA, 且|MA|=1, 又∵|PA|=1, ∴|PM|= |MA| +|PA| = 2, 即|PM| =2, ∴(x-1) +y =2. 6.解析:设抛物线焦点为 F,过 A,B,O 作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|
2 2 2 2 2 2 2

-3-

=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹 是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点). x y 答案: + =1(y≠0) 4 3 7.解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲 x y 线的右支,方程为 - =1(x>3). 9 16 x y 答案: - =1(x>3) 9 16 8.解析:由抛物线定义知点 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线,设抛物线的方程为 y =2px,从而可知 p=4,所以动点 P 的轨迹方程为 y =8x. 答案:y =8x 9.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), ∵ OP = OA + OB ,∴x=x1+x2,y=y1+y2, ∵y1= 2 2 x1,y2=- x2, 2 2 2 (x1-x2). 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴x=x1+x2= 2(y1-y2),y=y1+y2= ∵|AB|=
1

-x2

2



1

-y2

2

= 2,

1 2 2 ∴ x +2y =2, 2 x 2 ∴点 P 的轨迹方程为 +y =1. 4 (2)证明:设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线 l1 的方程为 x- 3=ky.
2

? ?x- 3=ky, 由?x2 2 +y =1 ? ?4

得(k +4)y +2 3ky-1=0,

2

2

2 3k 8 3 ∴y1+y2=- 2 ,x1+x2= 2 . k +4 k +4

? 4 3 - 3k? ∴M 点坐标为? 2 , 2 ?, ?k +4 k +4 ?

-4-

3k ? ? 4 3k 同理可得 N 点坐标为? 2 , 2 ?. ?4k +1 4k +1?
2

3k 3k + 2 2 4k +1 k +4 ∴直线 MN 的斜率 kMN= = 2 4 3k 4 3 - 2 2 4k +1 k +4 3k ∴直线 MN 的方程为 y+ 2 = k +4
4 3

5k 2 -

.

5k 2 -
2

4 3? ? ·?x- 2 ?. k +4? ?

整理化简得 4k y+(4 3-5x)k +12k y-16y+(-20x+16 3)k=0, 4 3 ∴x= ,y=0, 5 ∴直线 MN 恒过定点?

?4 3 ? ,0?. ? 5 ?
2 2

10.解:(1)设 M(x,y),A(y1,y1),B(y2,y2), ∵ OA + OB = OC , ∴M 是线段 AB 的中点. y1+y2 ∴x= = 2 y1+y2 y= .② 2 ∵OA⊥OB,∴ OA · OB =0. ∴y1y2+y1y2=0. 依题意知 y1y2≠0,∴y1y2=-1.③ 4y +2 把②、③代入①得:x= , 2 1 2 即 y = (x-1). 2 1 2 ∴点 M 的轨迹方程为 y = (x-1). 2 (2)依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为 S=| OA || OB |= =
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1

+y2 2

2

-2y1y2 ,①

+y1·
2

2

2 2

2

+y2

2


2 2

2 2



1 2

y

= y1y2+y1+y2+1 = 2+y1+y2. ∵y1+y2≥2|y1y2|=2,
2 2 2 2

-5-

当且仅当|y1|=|y2|时,等号成立, ∴S≥ 2+2=2. ∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2. 第Ⅱ组:重点选做题
? ?2x+3y-1=0, 1. 选 D 原方程可化为? ?x-3≥0 ?

或 x-3-1=0, 即 2x+3y-1=0(x≥3)或 x

=4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.

2.选 D 由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的 抛物线,故选 D.

-6-


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