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2005年全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)


小学、初中、高中各科资料汇总

2005 年 全 国 高 中 数 学 竞 赛 金 牌 模 拟 试 卷 ( 一 )
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分)

题 得 一、选择题

号 分








/>评卷人 1、 二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b(a ? b) 在同一个直角坐标系的图像为 (



y

y
O

y x
O

y x

O

x

O

x
C D

A

B

2、 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b, an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) 。S n 是?a n ?的前 n 项的和, 则 a2004 ? S 2004 等于( A、 a ? b 3、在 (2 ? A、 3 ) C、 ? a ? b D、 ? a ? b )

B、 a ? b

x ) 2n?1 的展开式中, x 的幂指数是整数的各项系数之和为(
? 1 ; B、 3 2 n ?1 ;
C、

2 n ?1

1 2 n ?1 ?3 ; 2

D、

1 2 n ?1 (3 ? 1) 2

4、在 1,2,3,4,5 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中,满足条件 a1 ? a2 , a3 ? a2 ,

a3 ? a4 , a5 ? a4 的排列个数是(
A、10; B、12;

) C、14; D、16.

5、直线 y ? m x ? 3 与抛物线 C1 : y ? x 2 ? 5mx ? 4m, C2 : y ? x 2 ? (2m ? 1) x

? m2 ? 3, C3 : y ? x 2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围
是( )

A、 m ? C、 m ? R

3 或m ? ?2 8

B、 m ? ?1或m ? ? D、以上均不正确

1 2

6、若关于 x 的不等式 x ? ax ? 6a ? 0 有解,且解集的区间长不超过 5 个单位,满足上述
2

要求的 a 的最大值为 M a 、最小值为 ma ,则 M a - ma 等于(



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A、1

B、24

C、25

D、26 ( )

7、 k ? R ,则方程组 ?

? y ? kx ? 2k ? 1
2 2 ?9 x ? 4 y ? 18x ? 16 y ? 11 ? 0

A、有且仅有一组实数解 B、有且仅有两组不同的实数解 C、有两组解,但不一定都是实数解 D、由于 k 为参数,以上情况均有可能出现 8、锐角△ABC 中, BC ? a, CA ? b, AB ? c, 且a ? b ? c ,分别以 BC,CA,AB 边上的高 AD, BE,CF 为折线,将三角形折成平面角均为 ? (0 ? ? ? ? ) 的二面角,记折叠后的四面体 ABCD,ABCE,ABCF 体积方便为 V1 ,V2 ,V3 ,则下面结论正确的是( A、 V1 ? V2 ? V3 C、 V1 ? V3 ? V2 或 V3 ? V1 ? V2 B、 V1 ? V2 ? V3 D、 V1 ,V2 ,V3 大小不能确定 )

9、有九条直线,其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为 2:3 的两个四边形,那么这 九条直线( ) A、存在这样的九条直线;没有两条过同一个点; B、至少有两条过同一个点; C、至少有三条过同一个点; D、至少有四条过同一个点; 10、 xi ? R, xi ? 0(i ? 1,2,3,4,5) 设 的最小值等于( A、 ) B、

?x
i ?1

5

i

则 ? 1 , ma x ?x1 ? x2 , x2 ? x3 , x3 ? x4 , x4 ? x5 ?

1 4

1 3

C、

1 6

D、

1 4

二、填空题
2 2 2 11、 a 为实数, 设 集合 A ? ? a, a , a ? a , B ? ? 1,?1 ? a,1 ? a , A ? B ? ? , A ? B ? 则

?

?

?

?

____________________. 12、 f (x) 是定义在 (??,??) 上的偶函数,且 f (1 ? x) ? f (1 ? x), f ( x) 在 x ? (0,1) 上是增 函数,则 f (8.1) 与 f (?3.8) 的大小关系是____________________. 13、已知向量 a ? 3b与7a ? 5b 垂直, a ? 4b 7 a? 2b垂直,则向量 a ? b b 的夹角是 与 与 ____________________. 14、已知

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

sin(a ? 2? ) 1 ? tan(a ? ? ) ? 3 ,且 ? ? k? , a ? ? ? n? ? , (n , k ? Z ) ,则 的值 sin a 2 2 tan ?

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是____________________. 15、设 a, b, c, d 为已知常数,且 b ? c ? d ? 0 ,要使

x ?a ? x ?a ?b ? x ?a ?b?c ? x ?a ?b?c ? x ?a ?b?c ? d ? x ?a ?b?c ?d 为
常数,则 x 的取值范围是____________________.

D1
16、如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1, AB ? a, BC ? b, A A ? c , A 1 1 E 为 D1C1 中点, 若平面 A1BC1 与平面 ACE 所成二面角的平面角为 ? , 则 Sin? ? ____________________.
c

E B1

C1

D
b

C
a

? 1? 17、 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数 若 (如 ?1.3? ? 1, ? ?2 ? ? ?3 等 ? 4?
等)则 ?

A

B

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 2004 ? 2003 ? 2004 ? ? 2 ? 1? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

=____________________.

AP y2 ?2. 则 ? 1交于 A、 两点, 为线段 AB 上的点, 18、 斜率为 1 的直线与椭圆 x ? B P 且 PB 4
2

P 点的轨迹方程是____________________. 19、函数 y ? sin 2 x ? 3(sin x ? cos x) 的最大值为____________________. 20、一个凸 36 面体中有 24 个面是三角形,12 个面是四边形,则该多面体的对角线的条数 是____________________. (连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫 做凸多面体的对角线。 ) 21、全国篮球职业联赛的某个赛季在 H 队与 F 队之间角逐。采取七局四胜制(无平局) ,即 若有一队胜 4 场,则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显 示,每场比赛的组织者可获门票收入 100 万元。组织者在此赛季中,两队决出胜负后,门票 收入不低于 500 万元的概率是____________________.

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答案与提示
一、选择题: 1、 D . 提示:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数图象 y ? ax ? b 交于两点 (o, b) 、 (1, a ? b) , 由二次函数图象知, a, b 同号,而由 B, C 中一次函数图象知 a, b 异号,相矛盾,故舍去

B, C .又由 a ? b 知,当 a ? b ? 0 时, ?
相符. 故选 2、B 提示:

b ? ?1,此时与 A 中图形不符,与 D 中图形 a

D

a1 ? a, a2 ? b, a3 ? b ? a, a4 ? ?a, a5 ? ?b, a6 ? a ? b, a7 ? a, a8 ? b
由此推得: an?6 ? an , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an?4 ? an?5 ? 0 ∴ a2004 ? a6 ? 333? 6 ? a6 ? a ? b ∴ a2004 ? S 2004 ? a ? b 。故选 B 3、 D .
r 提示: Tr ?1 ? C2n?1 x 2 n?1?r 2

S 2004 ? 334? S 6 ? 0

? 2 r .由于 x 的幂指数应为整数,因此, r 为奇数. 记

1 3 5 2 n?1 S ? C2n?1 ? 2 ? C2n?1 ? 23 ? C2n?1 ? 25 ? ?+ C2n?1 ? 22n?1 .

0 1 1 2 n?1 由于 (1 ? 2) 2n?1 ? C2n?1 ? C2n?1 ? 2 ? C2n?1 ? 22 ? ? - C2n?1 ? 22n?1 , 0 1 1 2 n?1 (1 ? 2) 2n?1 ? C2n?1 ? C2n?1 ? 2 ? C2n?1 ? 22 ? ? - C2n?1 ? 22n?1 ,

因此,将以上两式相减,即可得到

S?
4、 D .

1 2 n ?1 (3 ? 1) . 2

提示:由已知条件知只可能 a 2 ? 5 或 a 4 ? 5 ,且 a2 ? 3, a4 ? 3, a3 ? 3 . (1) 当 a 2 ? 5 时,则 a4 ? 3 或 4 当 a4 ? 3 时,有 2 != 2 种排列:当 a 4 ? 4 时,有 3 != 6 种排列,即共有 8 种排列. 同理,当 a 2 ? 5 时,也有 8 种排列. 5、 B . 提示:原命题可变为,求方程: mx ? 3 ? x ? 5mx ? 4m ,
2

故应选

D.

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mx ? 3 ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 , mx ? 3 ? x 2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一个
方程有实数解,而此命题的反面是:“三个方程均无实数解”,于是,从全体实 数中除去三个方程均无实数解的 m 的值,使得所求.即变为解不等式组

?(4m) 2 ? 4(?4m ? 3) ? 0, ? 2 2 ?(m ? 1) ? 4m ? 0, ?4m 2 ? 4(?2m) ? 0, ?
得 ? 应选

3 3 ? m ? ?1 ,故符合条件的 m 取值范围是 m ? ? 或 m ? ?1 , 2 2

B.

?a 2 ? 24a ? 0 ? 6、D;提示 由 ? a ? a 2 ? 24a a ? a 2 ? 24a ? ?5 ? 2 2 ?


a ? 0或a ? ?24 a 2 ? 24a ? 25 ? 0

解得 a ? [?25,?24) ? (0,1]

∴ M a ? ma ? 1 ? (?25) ? 26 ; 故选 D 7、B 提示:原方程组可变为

? y ? 1 ? ? K ( x ? 2) ? ? ( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ?1 ? 9 ? 4

(1) ( 2)

) (1)表示过点 (2,1 的直线,(2)表示椭圆,中心为 Q(1,2) ,短半轴长为 2 .由
AQ ? (2 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 2 ? 2 知, A 点在椭圆内部,因此,过点 A 的直线与椭
圆必有两个不同的交点. 故选 B . 8、 A 提示: V1 ?

1 ? BD ? CD ? ADSin ? 6 1 2? ? ? cCosB ? bCosC ? ? Sin? 6 a ? bcCosBCosC Sin? ? ? 3 a ?CosACosBCo sCSin ? bc ? ? 3 aCosA

A c b D a C

B

?

?CosACosBCosCSin? 2b 2 c 2 ? 3 a ( ?a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2a 2 b 2 c 2 ? ? ? CosACosBCosCSin? 1 ? 3 2 3 a ( ?a ? b 2 ? c 2 )

?

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( 以上 ? 表示 ?ABC 面积). 记

K?

2a 2 b 2 c 2 ? ? ? CosACosBCosCSin? , 同理可得 3

V2 ?

K , b (a ? b 2 ? c 2 )
3 2

V3 ?

K C (a ? b 2 ? c 2 )
3 2

由于 K 为相同值,因此,要比较 V1 ,V2 ,V3 大小,即比较 a 3 (?a 2 ? b 2 ? c 2 ) 、

b 3 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 、 c 3 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 的大小.
∵ ∴

a ? b 、 a2 ? b2 ? c2

a 3 (?a 2 ? b 2 ? c 2 ) - b 3 (a 2 ? b 2 ? c 2 )
= ? (a 3 ? b 3 )(a 2 ? b 2 ) ? c 2 (a 3 ? b 3 ) ? 2a 2 b 2 (a ? b) = (a 3 ? b 3 )(?a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2a 2 b 2 (a ? b) ? 0



1 1 , ? 3 2 2 2 a (?a ? b ? c ) b (a ? b 2 ? c 2 )
3 2

∴ V1 ? V2 . 同理, V2 ? V3 . ∴ V1 ? V2 ? V3 , 选 A.

9、 C . 提示:如图,设 CD 为满足要求的直线,将 分成两个梯形,易知,要使这两个 比为 2:3,只要其中位线比为 2: AP : PB =2:3, 象 P 这 样 的 点 有 四 个 ( 图 中

S A B P Q R

平行四边形 梯形面积之 3 , 即

1-2

P, Q, R, S ) ,

且适合条件 的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知,其中必有 3 条 直线过同一个点. 故选 C 10、B 提示:

? m a x ?x1 ? x2 , x1 ? x4 , x1 ? x5 ? 1 5 1 ? ( ? xi ? x 4 ) ? 3 i ?1 3

m a x ?x1 ? x2 , x2 ? x3 , x3 ? x4 , x4 ? x5 ?

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取 x1 ? x3 ? x5 ?

1 , x2 ? x4 ? 0 则 3 1 故选 B 3

ma x ?x1 ? x 2 , x 2 ? x3 , x3 ? x 4 , x 4 ? x5 ? ?
二:填空题 11、 A ? B ? ?? 1,2?. 12、 f (8.1) ? f (?3.8) .

提示:由 A ? B ? ? 可得 a ? 1

提示:∵ f (x) 在 (??,??) 上是偶函数,且 f (1 ? x) ? f (1 ? x) . ∴ f (1 ? x) ? f ?? ( x ? 1)? ? f ( x ? 1) ∴ f ( x ? 2) ? f ( x) ∴ f (x) 是以 2 为周期的偶函数 ∴ f (8.1) ? f (4 ? 2 ? 0.1) ? f (0.1) ,

f (?3.8) ? f (3.8) ? f (2 ? 4 ? 0.2) ? f (?0.2) ? f (0.2) .
又∵ f (x) 在(0.1)上是增函数,0.1 与 0.2 ? (0,1) 且 0.1 ? 0.2 , ∴ f (0.1) ? f (0.2) . ∴ f (8.1) ? f (?3.8) . 13、 (a ? 3b) ? (a ? 5b) ? 0 ? 7 a ? 16ab ? 15b ? 0
2 2

(1) (2)

(a ? 3b) ? (a ? 5b) ? 0 ? 7 a ? 16ab ? 15b ? 0
(1)-(2)化简得 a ? b

2

2

?

1 b 2
2

2

; (3)
2

(1)×15+(2)×8 化简得 a
2 2

(4) ?b ;
2 2

a. ? b ? (a - b) 2 ? a ? 2a· ? b ? b b
设 a ? b与b 的夹角为 ? ,则 Cos? ?

? ? ?

(a ? b)· b a ? b· b

??

1 2

∴ ? ? 120

0

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14、

ta.n(a ? ? ) Sin(a ? ? ).Cos? ? ta.n? Cos(a ? ? ).Sin?

Sin(a ? 2 ? ) 1 ?1 [ Sin(a ? 2 ? ) ? Sina] 3 ?1 Sina 2 ? ? ? ?2 1 Sin(a ? 2 ? ) 3 ?1 [ Sin(a ? 2 ? ) ? Sina] ?1 2 Sina
15、 x 的取值范围是 a ? b ? x ? a ? b ? c ? d . 提示:当 b ? c ? d ? 0 时,有

a ?b?c ? a ?b?c? d ? a ?b ? a ?b?c ?d ? a ?b?c ? a . 因此, a ? b ? x ? a ? b ? c ? d ,这时

x?a ? x ?a ?b ? x ?c ?b?c ? x?a ?b?c?d
+ x?a?b?c?d ? x?a?b?c =? x ? a ? x ? a ?b ? x ? a ?b ? c ? x ? a ?b ? c ? d +x?a?b?c?d ? x?a?b?c = b ? 4c ? 2d . 16、 Sin? ?

a 2 bc b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? a 2 b 2 ? a 2 b 2 ? 4b 2 c 2 ? 4c 2 a 2

.

提示:设 D1 AC 中 AC 边上的高(即 D1 到 AC 距离)为 h ,则

h?
又求得

2S ?D1 AC a

?

b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? a 2b 2 . a
1 a 2 b 2 ? 4b 2 c 2 ? 4c 2 a 2 . 2

S ?EAC ?

设 C 到平面 D1 AE 的距离为 d , 于是,由 VD1 ?EAC ? VA?ED1C 得到

1 1 ? 3 4
∴d ?

1 1 1 a 2b 2 ? 4b 2 c 2 ? 4c 2 a 2 = ? ? ac ? b , 3 2 2

abc a 2 b 2 ? 4b 2 c 2 ? 4c 2 a 2

.

∴ Sin? ? 17、2003.

d a 2 bc . ? h b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? a 2 b 2 ? a 2 b 2 ? 4b 2 c 2 ? 4c 2 a 2

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提示: ?

?

? ? ? 1 ?=? ? ? n ? 1 ? n ? (n ? 1) ? ? n ? 1( n ? 1 ? n ) ? ? ? 1
n ? ? = 1 n ?1?

=?

? n ?1 ? n ? ? ? = ?1 ? n ?1 ? ? ?

18、轨迹是: 4 x ? y ?

2 5 ? ( y ? x) 2 3

( y ? x ? 5)

提示:设动点为 P( x ?, y ?) ,则过 P

y ? x ? ( y ? ? x?) .
代入椭圆方程 x ?
2

y2 ? 1, 4

整理得:

5x 2 ? 2( y? ? x?) x ? ( y? ? x?) 2 ? 4 ? 0

(※)

若直线 l 椭圆交于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) ,则 x1 , x 2 是方程(※)的两 个根, 且

? ( y ? ? x?) ? 2 5 ? ( y ? ? x?) 2 x1 ? 5 ? ( y ? ? x?) ? 2 5 ? ( y ? ? x?) 2 x2 ? 5
又∵





AP ? 2, PB

x1 ? x 2 .

∴ x? ?

x1 ? 2 x 2 . 3
2 5 ? ( y ? ? x ?) 2 3
( y ? ? x? ? 5 )

将①、②代入并整理得:

4 x? ? y ? ?
19、 y max ?

9?6 3 . 2
y2 ? 1 Sin 2 x(2? ? ?Cosx ) 2
2

提示:设参数 ? ( ? ? R ),则

?

2



?

1

?

Sin 2 x( 4 ? ?2 )( ?2 ? Cos 2 x) ②

?

4 ? ?2

?2

?(

?2 ? 1
2

)2 ?

(4 ? ?2 )(?2 ? 1) 2 4?2

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由①、②知,取等号条件为:

? ? Cosx , ? ? ? ?2 ??2 ? ?Cos2 x. ?
??2 ? 3 ? 1, ? ? 3 ?1 . ?Cos ? 2 ?

解得

∴ y2 ?

(4 ? 3 ? 1)(1 ? 3 ? 1) 2 4( 3 ? 1)

?

9?6 3 , 4

即 y max ?

9?6 3 . 2

20、241 提示: 凸多面体的面数 F=36,棱数 E=60,顶点数 V=E+2-F=26 将顶点记为 i=1,2,3,···,26 设凸多面体的面中以 i 为顶点的三角形有 t i 个,以 i 为顶点的四边形有 q i 个 那么凸多面体的对角线总数=

1 26 ? (25 ? ti ? qi ) 2 1

26 1 1 26 1 ? 25 ? 26 ? ? t i ? ? 2? qi 2 2 i ?1 2 i ?1 1 ? 325 ? ? 24 ? 3 ? 12 ? 4 2 ? 241

?

22、0.875 提示: 解一:门票收入不低于 500 万元 ? 比赛进行了 5 场或 6 场或 7 场。

1 3 1 1 1 2 2 2 4 1 1 2 1 5 1 C 3 ( 3 (1 赛 6 场的概率 P2 ? C 2 · 5 · ) · ? ) · ? 2 2 2 16 1 1 31 5 1 C 3 ( 3 (1 赛 7 场的概率 P3 ? C 2 · 6 · ) · ? ) · ? 2 2 2 16 C ( (1 赛 5 场的概率 P ? C 2 · 4 · ) · ? )· ? 1
1 3

赛 5 场或 6 场或 7 场两两不能同时发生,故门票收入不低于 500 万元的概率 P=P1 + P2 + P3 =0.875

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解二:恰为赛 4 场的概率为 P’; P' ? C 2 ( ) ?
1 4

1 2

1 8

故门票收入不低于 500 万元的概率

P ? 1 ? P' ? 1 ?

1 7 ? 8 8

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