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2014年陕西高考理科数学真题及解析(word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(陕西) 理科数学
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M

N?


r />)

A.[0,1]

B.[0,1)

C.(0,1]
) 的最小正周期是
C .2?

D.(0,1)
( ) 开始 输入 N

2.函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
6

A.

? 2
1 0

B.?

D.4?
( )

3.定积分

? (2 x ? e )dx 的值为
x

S ? 1, i ?1

A.e ? 2

B.e ? 1

C .e

D.e ? 1

4.根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,得出数列的通项公式 是 ( )

ai ? 2 ? S

S ? ai
B. a ? 1) n ? 2 (n
i ? i ?1


A.an ? 2n

C.an ? 2n

D.an ? 2n?1

i?N


5.已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点 均在同一个球面上,则该球的体积为( )

输出 a1 , a2 , 结束

, aN

A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3

6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5


7.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? x
1 2

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3

x

8.原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 z1 ? z2 ” ,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性 的判断依次如下,正确的是 ( )
1

(A)真,假,真 9.设样本数据 x1 , x2 ,

(B)假,假,真

(C)真,真,假

(D)假,假,假

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数,

i ? 1, 2,

,则 y1 , y2, ,10 )

y10 的均值和方差分别为
(C) 1, 4



) (D) 1, 4+a

(A) 1+a, 4

(B) 1 ? a, 4 ? a

10.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降, 已 知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分, 则函数的解析式为 ( )
y 2

1 3 3 x ? x 125 5 2 3 4 x ? x (B) y ? 125 5 3 3 x ?x (C) y ? 125 3 3 1 x ? x (D) y ? ? 125 5
(A) y ?

5 -5 O A 地面跑道

x

-2

第二部分(共 100 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分).
11.已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

12.若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称, 则圆 C 的标准方程为_______. 13. 设 0 ? ? ?

?
2

,向量 a ? ?sin 2? , cos? ?, b ?cos? , 1? ,若 a // b ,则 tan ? ? _______.

?

?

?

?

14. 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体 面数( F ) 5 6 6 顶点数( V ) 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12

V, E 所满足的等式是_________. 猜想一般凸多面体中, F ,
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A. (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最小值
2



B. (几何证明选做题)如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的
半圆分别交 AB, AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ?

A F

C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2, ) 到 6
直线 ? sin(? ?

?

E

?

6

) ? 1 的距离是

B

C

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分)

b, c. B, C 所对的边分别为 a, 16. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,

? 2 sin ? A ? C ? ;

17. (本小题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过被 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分

DC, CA 于点 F , G, H. 别交四面体的棱 BD,
(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹 角 ? 的正弦值.

A H E B F D G C

1 2 主视图 左视图

2 俯视图

18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成 的区域(含边界)上 (Ⅰ)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; (Ⅱ)设 OP ? mAB ? nAC (m,n ?R ) ,用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上

3

的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概 率 300 0.5 500 0.5 作物市场价格(元/kg) 概 率 6 0.4 10 0.6

(Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元 的概率.

20.(本小题满分 13 分) 如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 : 部分抛物线 C2 : y ? ?x
2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 2 a b

2

2

y P B x

? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公
3 . 2

A

O

共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为 (Ⅰ)求 a , b 的值;

Q

(Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) , 若 AP

? AQ ,求直线 l 的方程.

21.(本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(Ⅰ) g1 ( x) ? (Ⅱ)若

g ( x), gn?1 ( x) ? g ( gn ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式;

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ?

? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.

4

2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(陕西) 理科数学答案解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. B 6. C

2. B 7. D

3. C 8. B

4. C 9. A

5. D 10. A

第二部分(共 100 分)
三、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分). 11. 10 .
2 12. x ? ? y ? 1? ? 1 . 2

13.

1 . 2

14. F ? E ? V ? 2 .

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.

5

B. 3 .

C. 1 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)证明:∵ a ?c ? 2b ,∴ sin A ? sin C ? 2sin B , 又 sin B ? sin ? A ? C ? , (Ⅱ)∵ b2 ? ac , ∴ cos B ?
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? . 2ac 2ac 2 2ac
1 . 2

∴ sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? .

所以当 a ? c 时, cos B 的最小值为

17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明: ∵ AD∥平面EFGH , AD ? 平面ABD ,且 平面ABD ∴ AD∥EF ,同理 AD∥HG ,∴ EF∥HG , 由 BC∥平面EFGH 同理可得 EH∥FG ,
5

平面EFGH ? EF ,

∴四边形 EFGH 是平行四边形.由三视图知 AD ? 平面BCD ,又 AD∥EF , ∴ EF ? 平面BCD , EF⊥FG , ∠EFG ? 90 , 所以四边形 EFGH 是矩形. (II)解法一:取 AD 的中点 M ,连结, 显然 ME∥BD , MH∥CD ,

A M E D F B N H G C

MF∥AB ,且 ME ? MH ? 1 ,

平面MEH⊥平面EFGH ,
取 EH 的中点 N ,连结 MN , 则 MN⊥EH ,

∴ MN⊥平面EFGH ,则∠MFN 就是 MF (即 AB )与平面 EFGH 所成的角 ? , ∵三角形 MEH 是等腰直角三角形,∴ MN ?

2 , 2

z

A D H G C
y

又 MF ?

1 5 MN 10 ,∴ sin ∠AFN ? , AB ? ? 2 2 MF 5 10 . 5

E B
x

即直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值是 解法二: (向量法)建立坐标系如图, 由条件可得, A ? 0, 0, 1? , B ? 2, 0, 0? ,

F

1? 1? ? ? E ?1, 0, ? , F ?1 , 0, 0? , G ? 0, 1, 0? ,则 AB ? ? 2,0, ?1? EF ? ? 0, 0, ? ? , 2? 2? ? ?

FG ? ? ?11 , , 0 ? ,设平面 EFGH 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,则
?? x ? y ? 0 AB n 2 10 ? ? ? ,取 n ? ?1, ?1, 0 ? ,则 sin ? ? cos AB, n ? . ? 1 5 ? z?0 5? 2 AB n ? ? 2
18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图,取 AB 的中点 D ,则
y

B D P C
x

PA ? PB ? 2 PD ,∴ 2PD ? ? PC ,
因此, P 是 ABC 的重心,
O

A

6

所以, P ? 2,2? , OP ? 2 2 . (Ⅱ)由 OP ? mAB ? nAC ,得 ? x, y ? ? m ?1,2? ? n ? 2,1? ? ? m ? 2n,2m ? n ? ,

?x ? 2 y ? m? ? x ? m ? 2 n ? ? 3 ∴? ,∴ ? ,m?n ? y ? x , ? y ? 2m ? n ?n ? 2 x ? y ? 3 ?

y

B(2,3)

设 z ? y ? x ,如图,直线 z ? y ? x 过点

C(3,2) A(1,1) O x

B ? 2,3? 时, z 取得最大值 1 ,
即 m ? n 的最大值为 1 .

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)以题意, X 的值可为: 300 ? 6 ? 1000 ? 800 ; 300 ?10 ? 1000 ? 2000 ;

500 ? 6 ? 1000 ? 2000 ; 500 ?10 ? 1000 ? 4000 ,

P ? X ? 800? ? 0.5? 0.4 ? 0.2 , P ? X ? 2000? ? 0.5? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 , P ? X ? 4000? ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3 ,
所以 X 的分布列为

X
P

800 0.2

2000 0.5

4000 0.3

(Ⅱ)设这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元为事件 A ,则
2 2 0 . 8 9 .6 P? A 0.8 ? 0.2 ? 03? .8 ?? C 3 ?

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)以题意知, A ? ?1 , 0? , B ?1, 0? ,

y P B x

c 3 2 ∴ b ? 1 ,又 e ? ? , 解得 a ? 4 , a 2
∴ a ? 2 , b ? 1. (Ⅱ)设直线 l 的方程是 y ? k ? x ?1?

A

O

? k ? 0? ,

Q

7

? y2 2 ? ? x ?1 由方程组 ? 4 ? y ? 0? ,得 ? k 2 ? 4 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 , ? y ? k ? x ? 1? ?
设 P ? x1 , y1 ? ,则 x1 ? 1 ?

2k 2 k2 ? 4 x ? , , 1 k2 ? 4 k2 ? 4

∴ y1 ?

? k 2 ? 4 ?8k ? ?8k 4 , , k PA ? ? , ∵ y ? 0 ,∴ k ? 0 ; P , 2 ? ? 2 2 k ?4 k ?k ?4 k ?4?

? y ? ? x2 ? 1 ? 由方程组 ? ? y ? 0 ? ,得 x2 ? k x ? k ?1 ? 0 , y ? k x ? 1 ? ? ? ?
2 设 Q ? x2 , y2 ? ,则 x2 ? ?k ? 1 ,∴ y2 ? ?k 2 ? 2k , Q ? k ? 1, ? k ? 2k , kAQ ? k ? 2 ,

?

?

∵ AP

? AQ ,∴ ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 , 解得 k ? ? ,经检验符合题意,
8 ? x ? 1? . 3

4 k

8 3

所以直线 l 的方程是 y ? ?

21.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)∵ f ? ? x ? ?

1 , 1? x

∴ g ? x? ?

x x , g1 ? x ? ? , 1? x 1? x

x x x x ∴ g2 ? x ? ? 1 ? x ? , g3 ? x ? ? ,??,所以 g n ? x ? ? ; x 1 ? 3x 1 ? nx 1 ? 2x 1? 1? x
用数学归纳法证明如下: (1) n ? 1 时结论成立; (2)假设 n ? k ? k ? 1? 时结论成立,即 g k ? x ? ?

x ,那么 1 ? kx

x x 当 n ? k ? 1 时, g k ?1 ? x ? ? 1 ? kx ? , x 1 ? k ? 1 x ? ? 1? ? 1 ? kx
即当 n ? k ? 1 时结论也成立, 因此对任意的 n ? N? , g n ? x ? ? (Ⅱ)∵ ln ?1 ? x ? ?

x 成立. 1 ? nx

ax 在 ?0, ??? 内恒成立, 1? x

8

设 ? ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

ax 1? x

? x ? 0 ? ,则 ? ? ? x ? ?

x ? ? a ? 1?

?1 ? x ?

2



若 a ? 1 ,则 ? ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 ? ? x ? 在 ?0, ??? 内单调递增, ∴ ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 ; 若 a ? 1 ,则在 ? 0, a ? 1? 内, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递减,可见 ? ? a ?1? ? ? ? 0? ? 0 , 说明在 ?0, ??? 内,存在 x ,使 ? ? x ? ? 0 ,即 ln ?1 ? x ? ? 所以使 ln ?1 ? x ? ?

ax 不恒成立, 1? x

ax 在 ?0, ??? 内恒成立的 a 取值范围是 ? ??,1? . 1? x 1 2 n (Ⅲ)由题设知 g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? g ? n ? ? ? ? ? , 2 3 n ?1

n ? f ? n? ? n ? ln ? n ?1? ,
猜想

1 2 ? ? 2 3

?

n ? n ? ln ? n ? 1? , n ?1

证明:∵上式左边 ? 1 ?

1 1 ?1? ? 2 3
?

?1?

1 ?1 1 ? n?? ? ? n ?1 ?2 3

?

1 ? ?, n ?1 ?

1 ? ln ? n ? 1? , n ?1 x 在(Ⅱ)中,当 a ? 1 时, ln ?1 ? x ? ? ? x ? 0? , 1? x
∴上式等价于 令x?

1 1 ? ? 2 3

1 1 1 ? 1? ,则 ln ?1 ? ? ? ,即 ln ? n ? 1? ? ln n ? , n ?1 n ? n ? n ?1

所以

1 2 1 ln 3 ? ln 2 ? 3 ln 2 ? ln1 ?
??

1 , n ?1 1 1 1 叠加得 ln ? n ? 1? ? ln1 ? ? ? ? , 2 3 n ?1 1 1 1 ? ln ? n ? 1? . 即 ? ? ? 2 3 n ?1 l n? n ? 1 n? ? ? ln

9


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