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【人教A版】高中数学 第一章 解三角形章末过关检测卷 新人教A版必修5


章末过关检测卷(一) 第一章 解三角形

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知三角形的边长分别为 3 2、6、3 10,则它的最大内角的度数是( A.90° B.120° C.135° D.150° 解析:由大边对大角得

: )

cos θ =

(3 2) +6 -(3 10) 2×3 2×6

2

2

2

=-

2 3π ?θ = . 2 4

答案:C 2.(2014·广州综合测试)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C=2B, 则 为(

c b

)

A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 解析:由于 C=2B,故 sin C=sin 2B=2sin Bcos B, 所以

sin C c sin C =2cos B,由正弦定理可得 = =2cos B,故选 B. sin B b sin B
)

答案:B 3.在△ABC 中,已知 a= 2,b=2,B=45°,则角 A=( A.30°或 150° B.60°或 120° C.60° D.30° 解析:由正弦定理 A=30°. 答案:D π 4.(2014·昆明一模)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 A= , 3 a

b a 2 1 = 得,sin A= sin B= sin 45°= ,又因为 b>a,故 sin A sin B b 2 2

b=2acos B,c=1,则△ABC 的面积等于(
A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 3 8

)

解析:由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,故 tan B=2sin A=2sin π 1 3 π ),所以 B= ,则△ABC 是正三角形,所以 S△ABC= bcsin A= . 3 2 4 答案:B

π = 3,又 B∈(0, 3

a2+b2-c2 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边长,若 <0,则△ABC( 2ab
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或钝角三角形 解析:由已知及余弦定理得 cos C<0,C 是钝角,故选 C.

)

(

答案:C 6.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 45°和 60°,则塔高为 ) A. C. 200(3- 3) 400 3 m B. m 3 3 200(3+ 3) 400 2 m D. m 3 3 )

A
7.已知锐角三角形 ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° B.60° C.45° D.30°

1 3 解析:由 S△ABC= BC·CA·sin∠ACB=3 3,得 sin∠ACB= ,而△ABC 为锐角三角形, 2 2 π 所以∠ACB= . 3 答案:B 8.某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 m 和 500 m,测得灯塔 A 在观察站 C 北 偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30°处,则两灯塔 A、B 间的距离为( ) A.400 m B.500 m C.700 m D.800 m

C
9.在△ABC 中,a+b+10c=2(sin A+sin B+10sin C),A=60°,则 a=( A. 3 C.4 D.不确定 a 解析:由已知及正弦定理得 =2,a=2sin A=2sin 60°= 3,故选 A. sin A 答案:A 1 10. (2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, BC= 2, 则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2 D.1. ) B.2 3 )

1 1 2 解析:由面积公式得: × 2sin B= ,解得 sin B= ,所以 B=45°或 B=135°, 2 2 2 当 B=45°时,由余弦定理得:AC =1+2-2 2cos 45°=1,所以 AC=1,又因为 AB=1, BC= 2,所以此时△ABC 为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以 B=135°,由余弦定 2 理得:AC =1+2-2 2cos 135°=5,所以 AC= 5,故选 B. 答案:B π π 11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= ,B= ,a=3,则 c 的 6 12 值为( ) 3 B. 2 C. 3 3 D.6
2

A.3 2

A
12.在锐角△ABC 中,AB=3,AC=4,其面积 S△ABC=3 3,则 BC=( A.5 B. 13或 37 C. 37 D. 13 )

D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 9 13.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 解析:设 BC=x,则( 5) =x +5 -2×5xcos C=x -9x+25,即 x -9x+20=0.∴x =4 或 x=5. 经检验 x=4 或 x=5 符合题意.∴BC=4 或 5. 答案:4 或 5 14.已知 a、b、c 是△ABC 中角 A、B、C 所对的边,S 是△ABC 的面积,若 a=4,b=5,
2 2 2 2 2

S=5 3,则 c 的长度为________.
21或 61 15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=1,b= 7,c= 3,则 B=________. 解析:由余弦定理得:

cos B=

a +c -b 1 +( 3) -( 7) = 2ac 2×1× 3

2

2

2

2

2

2

3 3 5π =- =- ,所以 B= . 2 6 2 3 5π 答案: 6 16.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a =2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 解析:由 a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,故(a+b)(sin A-sin B)= 2 2 2 (c-b)sin C,又根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,化简得,b +c -a =bc,故

cos A=

b +c -a 1 = ,所以 A=60°, 2bc 2

2

2

2

1 2 2 2 又 a =4=b +c -bc≥2bc-bc=bc,即 bc≤4,故 S△BAC= bcsin A≤ 3. 2 答案: 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A= 4 ,若 b=2,△ABC 的面积为 3,求 tan C. 5 4 3 解析:由 cos A= >0,知 sin A= , 5 5 1 △ABC 的面积为 S= bcsin A=3,得 c=5, 2 由正弦定理得: c

sin C sin B



2



sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
4 ?3 ? 所以 5? cos C+ sin C?=2sin C,得 5 ?5 ?

3 2sin C=-3cos C,所以 tan C=- . 2 18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, 已知 2a=b+c, sin A=sin B· sin C, 试判断△ABC 的形状. . 2 解析:由正弦定理得,a =b·c,又 2a=b+c, 2 2 ∴4a =(b+c) , 2 2 ∴4bc=(b+c) ,即(b-c) =0,∴b=c, 又 2a=b+c 得 2a=2b,∴a=b,即 a=b=c. ∴△ABC 为等边三角形. 19.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的面积为 10 3 cm ,a+b=13,C 为 60°,求这个 三角形的各边长. 1 1 解析:S= ab·sin C,∴10 3= absin 60°, 2 2 即 ab=40, ∵a+b=13,∴a=5,b=8 或 a=8,b=5, 2 2 2 ∴c =a +b -2abcos C=49,∴c=7. 故三角形三边长为 a=5 cm,b=8 cm,c=7 cm 或 a=8 cm,b=5 cm,c=7 cm. 20.(本小题满分 12 分)如图,甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处,乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏西 60°方向行驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?
2 2

解析:如图,设经过 x 小时后,甲船和乙船分别到达 C、D 两点.

则 AC=8x,AD=AB-BD=20-10x

∴CD =AC +AD -2AC·AD·cos 60° 1 2 2 =(8x) +(20-10x) -16x·(20-10x)· 2 =244x -560x+400 2 ? 70? 4 800. =244?x- ? + 61 ? 61? ∵当 CD 取得最小值时,CD 取得最小值. 70 ∴当 x= 时,CD 取得最小值. 61 70 因此经过 小时甲、乙两船相距最近. 61 π 21.(本小题满分 12 分)(2014·北京卷)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 3 1 边上,且 CD=2,cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.
2 2

2

2

2

分析:(1)由条件,根据 sin α +cos α =1,求 sin∠ADC,再由两个角的差的正弦公式 求 sin∠BAD; (2)根据正弦定理求出 BD,再由余弦定理求 AC. 1 4 3 解析:(1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC= ,所以 sin∠ADC= ,所以 sin∠BAD= 7 7

2

2

sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B=
(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 4 8× 14 AB·sin∠BAD BD= = =3, sin∠ADB 4 3 7

4 3 1 1 3 3 3 × - × = . 7 2 7 2 14

1 2 2 2 2 2 在△ABC 中由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B=8 +5 -2×8×5× =49, 2 所以 AC=7.

22.(本小题满分 10 分)(2014·湖南卷)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,

AC= 7.
(1)cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

分析:(1)题目已知三角形 ACD 的三条边,利用∠CAD 的余弦定理即可得到该角的余弦 值.(2)利用(1)问得到的∠CAD 的余弦结合正余弦之间的关系即可求得该角的正弦值,再利 用正余弦之间的关系即可得到∠BAD,而∠CAD 与∠BAD 之差即为∠BAC,则利用正弦的和差 角公式即可得到角∠BAC 的正弦值,再利用三角形 ABC 的正弦定理即可求的 BC 边长. 解析:(1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得

cos∠CAD=

AD +AC -DC 1+7-4 2 7 2 7 = = ,所以 cos∠CAD= . 2AD·AC 7 7 2×1× 7

2

2

2

(2)因为∠BAD 为四边形内角, 所以 sin∠BAD>0 且 sin∠CAD>0, 则由正余弦的关系可 得 3 21 , 14 21 , 7

sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= sin∠CAD= 1-cos2∠CAD=

再由正弦的和差角公式可得 sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD = = 3 21 2 7 21 ? 7? × - ×?- ? 14 7 7 ? 14 ? 3 3 3 3 + = , 7 14 2 AC BC 7 3 =3. 2

再由△ABC 的正弦定理可得

sin∠CBA sin∠BAC



? BC=

? 21? ? ? ? 6 ?

×


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