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第6讲 双曲线

时间:2015-11-24


第6讲
一、选择题

双曲线
)

1. 若动点 P 到 F1(-5,0)与到 F2(5,0)的距离的差为± 8, 则 P 点的轨迹方程是( x2 y2 A.25+16=1 x2 y2 C.16+ 9 =1 解析 x2 y2 B.25-16=1 x2 y2 D.16- 9 =1

由题意知 P 点的轨

迹是双曲线.

因为 c=5,a= 4,所以 b2=c2-a2=25-16=9. 因为双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以 P 点的轨迹方程为16- 9 =1. 答案 D

x2 y2 2.已知双曲线 C:a2-b2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方 程为 x2 y2 A.20- 5 =1 x2 y2 C.80-20=1 解析 不妨设 a>0,b>0,c= x2 y2 B. 5 -20=1 x2 y2 D.20-80=1 a2+b2. ① ② ( ).

据题意,2c=10,∴c=5. b 2b 双曲线的渐近线方程为 y=± x ,且 P (2,1) 在 C 的渐近线上,∴ 1 = a a. 由①②解得 b2=5,a2=20,故正确选项为 A. 答案 A
2

y2 3.已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点, →· → 则PA 1 PF2的最小值为 ( ).

A.-2 解析

81 B.-16

C.1

D.0

y2 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 3 =x2-1,

→· → y2=3(x2-1), PA -y)· (2-x, -y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2 1 PF2=(-1-x, ? 1? 81 →· → -1)-x-2=4x2-x-5=4?x-8?2-16,其中 x≥1.因此,当 x=1 时,PA 1 PF2 ? ? 取得最小值-2,选 A. 答案 A

4.如图, 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长 轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( A.3 解析 B.2 C. 3 ). D. 2

x2 y2 x2 y2 设双曲线的方程为a2-b2=1,椭圆的方程为a2+b2=1,由于 M,O,N 1 1 2 2

c c e1 a2 将椭圆长轴四等分,所以 a2=2a1,又 e1=a ,e2=a ,所以e =a =2.
1 2 2 1

答案

B

5.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A, B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 B. 3 D.3 )

解析 不妨设双曲线的焦点在 x 轴上(焦点在 y 轴上的离心率与焦点在 x 轴上 x2 y2 的离心率一样),方 程为a2-b2=1(a>0,b>0),设 F(c,0),A(x1,y1),B(x2, y2),由 l 过点 F 且与对称轴垂直,可得 x1=x2=c,将其代入双曲线的方程得 b2 2b2 2b2 |y1|=|y2|= a ,故|AB|= a ,依题意,|AB|=2a×2=4a,∴ a =4a,化简整理 得 b2=2a2,解得 e= 3.

答案

B

x2 y2 6.已知双曲线 4 -b2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 ( A. 5 解析 B.4 2 ). C.3 D.5

x2 y2 易求得抛物线 y2=12x 的焦点为(3,0),故双曲线 4 -b2=1 的右焦点为

5 (3,0),即 c=3,故 32=4+b2,∴b2=5,∴双曲线的渐近线方程为 y=± 2 x,∴ ? 5 ? ? ×3? ?2 ? 双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 = 5. 5 1+4 答案 A

二、填空题 x2 y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m- 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值 m +4 为________. 解析 ∴c= 由题意得 m>0,∴a= m,b=
2

m2+4.

m2+m+4 c m +m+4,由 e=a= 5,得 =5, m

解得 m=2. 答案 2

x2 y2 8.已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点, 若△ABE 是锐角三角形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围为________. 解析 由题意知, △ABE 为等腰三角形. 若△ABE 是锐角三角形, 则只需要∠AEB

π 为锐角.根据对称性,只要∠AEF<4即可.直线 AB 的方程为 x=-c,代入双 b2? b4 b2 ? - c , 曲线方程得 y =a2,取点 A? ,则|AF|= a ,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF| a? ? ?
2

π b2 就能使∠AEF<4,即 a <a+c,即 b2<a2+ac,即 c2-ac-2a2<0,即 e2-e-2<0, 即-1<e<2.又 e>1,故 1<e<2. 答案 (1,2)

x2 y2 9.如图,双曲线a2-b2=1(a,b>0)的两顶点 为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点 为 F1, F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.则 (1)双曲线的离心率 e=________; (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的 S1 面积 S2 的比值S =________.
2

解析 e2=

(1)由题意可得 a

b2+c2=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴

3+ 5 1+ 5 ,∴ e = 2 2 . , cos θ= b2+c2 b b2+c2 S1 2bc 2bc , S =4a2sin θcos θ= 2 bc = 2a2 = b2+c2 2 4a 2 2 b +c c

(2)设 sin θ=

1 2+ 5 e2-2= 2 . 答案 (1) 1+ 5 2 2+ 5 (2) 2

10.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 → |-|PB → |=k, |PA 则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 → =1(OA → +OB → ),则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2x2 AB,O 为坐标原点,若OP 2 x2 y2 -5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线25- 9 =1 与 x2 椭圆35+y2=1 有相同的焦点.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 解析 ①错误,当 k>0 且 k<|AB|,表示以 A、B 为焦点的双曲线的一支;当 k>0 且 k=|AB|时表示一条射线;当 k>0 且 k>| AB|时,不表示任何图形;当 k<0 时;类似同上.②错误,P 是 AB 中点,且 P 到圆心与 A 的距离的平方 1 和为定值.故 P 的轨迹应为圆.③方程两根为2和 2,可以作为椭圆和双曲线 的离心率,故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(± 34, 0),故正确. 答案 ③④

三、解答题 11.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4, - 10). (1)求双曲线方程; →· → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF 1 MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e= 2,∴设双曲线方程为 x2-y2=λ.

又∵双曲线过(4,- 10)点,∴λ=16-10=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 法一 由(1)知 a=b= 6,c=2 3,

∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 ∴kMF1· kMF2= m2 m2 = , 9-12 -3

又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3, →· → ∴kMF1· kMF2=-1,MF1⊥MF2,MF 1 MF2=0. 法二 → =(-3-2 3,-m),MF → =(2 3-3,-m), ∵MF 1 2

→· → 2 2 ∴MF 1 MF2=(3+2 3)(3-2 3)+m =-3+m .

∵M 在双曲线上,∴9-m2=6, →· → ∴m2=3,∴MF 1 MF2=0. (3)解 ∵在△F1MF2 中,|F1F2|=4 3,且|m|= 3,

1 1 ∴S△F1MF2=2· |F1F2|· |m|=2×4 3× 3=6. x2 y2 12.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上, 且 PF1⊥PF2,|PF1|=8,|PF2|=6. (1)求双曲线的方程; → (2)设过双曲线左焦点 F1 的直线与双曲线的两渐近线交于 A,B 两点,且F 1A= → 2F 1B,求此直线方程. 解 (1)由题意知,在 Rt△PF1F2 中,

|F1F2|= |PF1|2+|PF2|2, 即 2c= 82+62=10,所以 c=5. 由椭圆的定义,知 2a=|PF1|-|PF2|=8-6=2,即 a=1. 所以 b2=c2-a2=24,故双曲线的方程为 x2- y2 =1. 24

(2)左焦点为 F1(-5,0),两渐近线方程为 y=± 2 6x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在. 设 过 左 焦 点 的 直 线 方 程 为 y = k(x + 5) , 则 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 ? 5k 10 6k ? ? 5k 10 6k ? , , ? ?和?- ?. ?2 6-k 2 6-k? ? k+2 6 k+2 6? → → 由F 1A=2F1B,得 ? 5k 10 6k ? ? 5k 10 6k ? +5, +5, ? ?=2?- ?或者 2 6-k? ? k+2 6 k+2 6? ?2 6-k ? 5k 10 6k ? ? 5k 10 6k ? +5, +5, ?- ?=2? ?, k+2 6? ?2 6-k 2 6-k? ? k+2 6 2 6 解得 k=± 3 . 2 6 故直线方程为 y=± 3 (x+5).

x2 y2 13. P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双 1 曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为5. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原 → =λOA → +OB → ,求 λ 的值. 点,C 为双曲线上一点,满足OC 解 x2 y2 x2 y2 0 0 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线a2-b2=1 上,有a2-b2=1. y0 y0 1 · = , x0-a x0+a 5

由题意有

c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e=a= 5 .
2 2 2 ?x -5y =5b , (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 5c ? ?x1+x2= 2 , 则? 35b2 x x = ?12 4 . ? x3=λx1+x2, → =(x ,y ),OC → =λOA → +OB → ,即? ? 设OC 3 3 ?y3=λy1+y2.
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x3 -5y2 3=5b ,有



(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得 λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .



又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .

由①式又有 x1x2 - 5y1y2 = x1x2 - 5(x1 - c)(x2 - c) =- 4x1x2 + 5c(x1 + x2) - 5c2 = 10b2, ②式可化为 λ2+4λ=0,解得 λ=0 或 λ=-4. x2 y2 14. 如图所示, 已知双曲线a2-b2=1(b>a>0)且 a∈[1,2],

它的左、右焦点分别为 F1、F2,左、右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x2+y2= a2 的切线,切点为 T,交双曲线于 P,Q 两点. (1)求证:直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直; (2)若 M 为 PF2 的中点,O 为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ |AB|,求实数 λ 的取值范围.[来源:学科网 ZXXK] x2 y2 b 解 (1)证明:双曲线a2-b2=1(b>a>0)的渐近线为 y=± ax,设直线 PQ 的方 程为 y=k(x-c)(不妨设 k<0),由于直线 PQ 与圆 x2+y2=a2 相切, ∴ |kc| k2+1 a2 a =a,即 k2=b2,直线 PQ 的斜率 k=-b.

b 因为第一、三象限的渐近线的斜率为 , a ab ∴-b· a=-1. 所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直.

?y=k?x-c?, (2)由?x2 y2 ?a2-b2=1,
得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

? ? 则? -a k c -a b xx= , ? b -a k ?
-2a2k2c x1+x2= 2 , b -a2k2
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2

所以| PQ|=

?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]

2ab2?1+k2? 2ab2 = 2 = . |b -a2k2| b2-a2

1 1 因为|OM|=2|PF1|,|F2M|=2|PF2|, 1 ∴|F2M|-|OM|=2(|PF2|-|PF1|)=a, |OM|-|MT|=1, 代入上式得|F2M|-|MT|=a+1. 又|F2M|-|MT|=|F2T|= 因为|AB|=2a,|PQ| = b2 ?a+1?2 c2-a2=b,所以 b=a+1.

, b2-a2

2ab2

a2 λ= 2 = = +1. b -a2 2a+1 2a+1 t-1 令 t=2a+1,则 a= 2 ,t∈[3,5], 1? 1 ? 所以 λ=4?t+ t -2?+1, ? ? 1 设 y=t+ t , 1 因为 t+ 在[3,5]上为增函数,

t

?4 9? 所以 λ∈? , ?. ?3 5?


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