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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.1 第1课时 椭圆及其标准方程

时间:2015-03-27


选修 1-1

第二章

2.1

第 1 课时

一、选择题 1.椭圆 2x2+3y2=12 的两焦点之间的距离是( A.2 10 C. 2 [答案] D x2 y2 [解析] 椭圆方程 2x2+3y2=12 可化为: + =1, 6 4 a2=6,b2=4,c2=6-4=2,∴2c=2 2. 2.

椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k 的值为( A.-1 C. 5 [答案] B y2 [解析] 椭圆方程 5x2+ky2=5 可化为:x2+ =1, 5 k 5 5 又∵焦点是(0,2),∴a2= ,b2=1,c2= -1=4, k k ∴k=1. x2 y2 3.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( 25-m m+9 A.-9<m<25 C.16<m<25 [答案] B m+9>0 ? ? [解析] 由题意得?25-m>0 ? ?m+9>25-m B.8<m<25 D.m>8 ) B.1 D.- 5 ) B. 10 D.2 2 )

,解得 8<m<25.

5 3? 4.两个焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),并且经过点 P? ?2,-2?的椭圆的标准方程是 ( ) x2 y2 A . + =1 10 6 x2 y2 C. + =1 9 25 4 4 [答案] A y2 x2 B. + =1 10 6 y2 x2 D. + =1 9 25 4 4

[解析] 设 F1(-2,0),F2(2,0), x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意得, a b |PF1|+|PF2|= =2 10=2a, ∴a= 10, x2 y2 又 c=2,∴b2=6,椭圆的方程为 + =1. 10 6 x2 y2 5. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1、 F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4, ∴△PF1F2 为直角三角形. 6.已知椭圆的两个焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.射线 [答案] A [解析] ∵|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PQ|+|PF1|=2a, 又∵F1、P、Q 三点共线, ∴|PF1|+|PQ|=|F1Q|,∴|F1Q|=2a. 即 Q 在以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆上. 二、填空题 7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离 分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程为________. [答案] x2 y2 + =1 4 3 ) B.椭圆 D.直线 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

?5+2?2+9+ ?2 ? 4

?5-2?2+9 ?2 ? 4

?a+c=3 ?a=2 ? ? [解析] 由题意可得? ,∴? , ?a-c=1 ?c=1 ? ?

x2 y2 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 8.过点(-3,2)且与 + =1 有相同焦点的椭圆方程是________. 9 4 [答案] x2 y2 + =1 15 10

x2 y2 9 [解析] 因为焦点坐标为(± 5,0),设方程为 2+ 2 =1,将(-3,2)代入方程可得 2+ a a -5 a 4 x2 y2 =1,解得 a2=15,故方程为 + =1. 15 10 a -5
2

9.动点 P 到两定点 A(-3,0)、B(3,0)距离之和为 10,则点 P 的轨迹方程为________. [答案] x2 y2 + =1 25 16

[解析] ∵|AB|=6<10,∴所求轨迹为以 A、B 为焦点的椭圆,由定义知 a=5,c=3, ∴b=4, x2 y2 ∴方程为 + =1. 25 16 三、解答题 10.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. x2 y2 9 [解析] 当焦点在 x 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0).由椭圆过点 P(3,0),知 2+ a b a 0 x2 2 2 2 2=1,又 a=3b,解得 b =1,a =9,故椭圆的方程为 +y =1. b 9 y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 0 9 由椭圆过点 P(3,0),知 2+ 2=1,又 a=3b,联立解得 a2=81,b2=9,故椭圆的方程 a b y2 x2 为 + =1. 81 9 y2 x2 x2 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y2=1. 81 9 9

一、选择题 x2 y2 11.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4 A.5 C.3 或 5 [答案] C [解析] 2c=2,∴c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, )

B.3 或 8 D.20

∴m=5 或 m=3,故答案为 C. x2 y2 12.设椭圆的标准方程为 + =1,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是( k-3 5-k A.k>3 C.4<k<5 [答案] C [解析] 由题意得 k-3>5-k>0, ∴4<k<5. x2 y2 13.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过 F2 的直线交椭圆于点 A、B,若|AB| 16 9 =4,则|AF1|+|BF1|等于( A.12 C.9 [答案] A [解析] ∵a=4,∴2a=8.由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,∴|AF1|+ ) B.10 D.16 B.3<k<5 D.3<k<4 )

|BF1|=4a-(|AF2|+|BF2|)=16-|AB|=12. 14.若曲线 ax2+by2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a、b 满足( A.a2>b2 C.0<a<b [答案] C x2 y2 1 1 [解析] 将方程变为标准方程为 + =1,由已知得, > >0,则 0<a<b,选 C. 1 1 a b a b 二、填空题 x2 y2 15.若椭圆 + =1 的一个焦点坐标为(0,1),则实数 m 的值为________. 5 m [答案] 6 [解析] 由题意知,c=1, ∴m-5=1,∴m=6. x2 y2 16.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________; 9 2 ∠F1PF2 的大小为________. [答案] 2 120° [解析] 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| 1 1 B. < a b D.0<b<a )



16+4-28 1 =- . 16 2

∴∠F1PF2=120° . 三、解答题 x2 y2 π 17.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F1PF2= , 100 64 3 求△F1PF2 的面积. [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n. 根据椭圆定义有 m+n=20, 又 c= 100-64=6,∴在△F1PF2 中, π 由余弦定理得 m2+n2-2mncos =122, 3 ∴m2+n2-mn=144,∴(m+n)2-3mn=144, 256 ∴mn= , 3 1 ∴S△F1PF2= |PF1||PF2|sin∠F1PF2 2 1 256 3 64 3 = × × = . 2 3 2 3


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