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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编15 数列综合问题 苏教版


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 15:数列综合问题
填空题 1 .( 江 苏 省 海 门 市 四 校 2013 届 高 三 11 月 联 考 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 { an } 满 足

a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? (1 ? c o 2s

n? 2 n? ,则该数列的前 20 项的和为

_____________. )a n ? s i n 2 2

【答案】 2101 . 2 . (江苏海门市 2013 届高三上学期期中考试模拟数学试卷)如图所示的螺旋线是用以下方法画成 的, ?ABC 是边长为 1 的正三角形,曲线 CA1 , A1 A2 , A2 A3 分别是 A, B, C 为圆心, AC , BA1 , CA2 为半径 画的弧,曲线 CA1 A2 A3 称为螺旋线的第一圈;然后又以 A 为圆心, AA3 半径画弧,如此继续下去,这样画 到第圈.设所得螺旋线 CA1 A2 A 3 ??? A3n ?2 A3n ?1 A3n 的总长度为 S n ,则 S n =_________________
A2

B A C A1

A3

【答案】 n ? 3n ? 1? ? 3 . (江苏省苏南四校 2013 届高三 12 月月考试数学试题)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ), 3 3

其前 n 项和为 S n ,则 S30 为___________. 【答案】470 4 . (江苏省泰州、 南通、 扬州、 宿迁、 淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷) 已知实数 a1,a2,a3,a4 2 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a4 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范围是______. 【答案】

? ?1 ?2

5 ,?1 ? 5 2

?

5 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )已知

f1 ( x) ? e x sin x , f n ( x) ? f n??1 ( x), n ? 2 ,则 ? fi (0) ? __________.
i ?1

2008

【答案】 1 ? 4

502

6 . (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修物理) n 个正整数排列如下: ) 1,2,3,4,,n 2,3,4,5,,n+l 3,4,5,6,, n+2 n,n+l,n+2,n+3,,2n 一 1
1

2

则这 n 个正整数的和 S=______________. 【答案】 n
3

2

7 . (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) )设等比数列 ? an ? 的公比

q ? 1 , S n 表示数列 ?an ? 的前 n 项的和, Tn 表示数列 ?an ? 的前 n 项的乘积, Tn ? k ? 表示 ?an ? 的前 n 项中
Tn n ? n, k ? N ? , k ? n ? ,则数列 T ?1? ? T ?Sn?T? ? ? T ? n ? 的前 n 项的和是____(用 a1 和 q ak n n 2 n

除去第 k 项后剩余的 n-1 项的乘积, 即 Tn ? k ? ? 表示) 【答案】

a12 ?1 ? q n ? 1? q

8 . (江苏省盐城市 2013 届高三 10 月摸底考试数学试题)已知数列 99 项和

?an ? 满足

an ?

1 n ? n ? 1 ,则其前

S99

=________.

【答案】9 【编号】1023 【难度】一般 9 . (南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 已知数列{an}的通项公式为 an=-n+p,数列{bn} 的通项公式为 bn=2 .设 cn=?
n-5

?an,an≤bn, ?bn,an>bn,

若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N*,n≠8),则实数 p 的取值范围是

________. 【答案】(12,17) 10 .( 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 )( 选 修 历 史 )) 已 知

1 ? 12 , 2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 ,, 则 第 n 个 等 式 为
______________________________. 【答案】 11. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn 在

x 轴 上 , 另 两 个 顶 点 Cn 、 Dn 在 函 数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的 图 像 上 , 若 点 Bn 的 坐 标 为 x

? n, 0 ? (n ? 2, n ? N * ) ),矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为 an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? ____.

2

y Dn

Cn

O An

Bn

x

【答案】216 12 .( 扬 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 高 三 数 学 试 题 ) 数 列 ?an ? 满 足

a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) ,且
【答案】 ? 解答题

1 1 1 ? ??? =2,则 a2013 ? 4a1 的最小值为____. a1 a2 a2012

7 2

13 . { 满足: a(n ? N *) (江苏省苏南四校 2013 届高三 12 月月考试数学试题)设数列 a n} 是整数,且 n

a n ?1-a n 是关于 x 的方程
x 2+( a n ?1-2)x-2a n ?1=0 的 根.
(1)若 a1=4, n≥2 时, 4 ? a n ? 8, 且 求数列{an} 的前 100 项和 S100;

1 且 ( (2)若 a1=-8,a 6= , an<an+1 n ? N *), 求数列 ?a n ? 的通项公式.
【答案】

3

14. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)已知数列 {an } 的各项都为正数,且对任意
2 n ? N * ,都有 an?1 ? an an? 2 ? k (k 为常数).

(1)若 k ? (a2 ? a1 ) ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;(2)若 k=0,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求
2

a2 的值; a1

(3)已知 a1 ? a, a2 ? b ( a, b 为常数),是否存在常数 ? ,使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 对任意 n ? N * 都成立? 若存在.求出 ? ;若不存在,说明理由.

4

15 . 江 苏 海 门 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 模 拟 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 {an} 和 {bn} 满 ( 足: a1 ? ? , an ?1 ?

(Ⅰ)若数列{an}前三项成等差数列,求 ? 的值; (Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0<a<b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b?若存在, 求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明: a1 ? ? , a 2 ? 由条件可得 2( ? ? 1) ?

2 an ? n, bn ? (?1)n (an ? 3n ? 9) ,其中 λ 为实数,n 为正整数. 3

2 4 8 ? ? 1, a3 ? ? ? 3 9 3

4 8 ? ? ? ? ,所以 ? ? ?6 9 3 n+1 n+1 2 (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+9]=(-1) ( an-2n+6) 3 2 2 n = (-1) ·(an-3n+9)=- bn 3 3
又 b1= ? (? ? 6) ,所以 当 λ =-6 时,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列, 当 λ ≠-6 时,b1= ? (? ? 6) ≠0,由上可知 bn≠0,∴
+

2 3

bn ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3

故当 λ ≠-6 时,数列{bn}是以-(λ +6)为首项,-

2 为公比的等比数列. 3
5

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 λ =-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.

∴λ ≠-6,故知 bn= -(λ +6)·(-

2 n-1 ) ,于是可得 3

Sn= ? (? ? 6) ?1 ? (? ) n ? 5 3
要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3

? ?

2 ? ?

3 2 n + (λ +6)·[1-(- ) ]<b(n∈N ) 5 3

3 b ? ? (? ? 6) ?            2 n 2 n 5 1 ? (? ) 1 ? (? ) ① 3 3 2 令f (n) ? 1 ? (? ) n,则 3 得
5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 9 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +6)< b ? ?b ? 6 ? ? ? ?3a ? 6. 5 5 5 当 a<b ? 3a 时,由-b-6 ? -3a-6,不存在实数满足题目要求;
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? 当 b>3a 时存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b, 且 λ 的取值范围是(-b-6, -3a-6) 【编号】706 【难度】较难 16.镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) ( 已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) , an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an , n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 . 【答案】解:(1)? 函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

a

? f ??x ? ?

?1 ? a ? 0 在区间 (0,1) 上恒成立, 2? x 1 1 ,又 g ?x ? ? 在区间 (0,1) 上是增函数 ?a ? 2? x 2? x

? a ? g ?1? ? 1 即实数 a 的取值范围为 a ? 1
(2)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . 当 n ? 1 时, a1 ? (0,1) 成立, 假设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 成立, 当 n ? k ? 1 时,由(1)知 a ? 1 时,函数 f ?x ? ? ln ?2 ? x ? ? x 在区间 (0,1) 上是增函数

? ak ?1 ? f ?ak ? ? ln ?2 ? ak ? ? ak
即 0 ? ak ?1 ? 1 成立,

? 0 ? ln 2 ? f ?0 ? ? f ?ak ? ? f ?1? ? 1 ,

? ? 当 n ? N 时, 0 ? an ? 1 成立

6

下证 a n ? an ?1 .

? 0 ? an ? 1, ? an ?1 ? an ? ln ? 2 ? an ? ? ln1 ? 0.

?a n ? an ?1 .

综上 0 ? an ? an ?1 ? 1

17. (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)设满足以下两个条件的有穷 数列 a1 , a2 , ? ? ?, an 为 n (n ? 2,3, 4,?) 阶“期待数列”: ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 . (1)若等比数列 {an } 为 2k ( k ? N * ) 阶“期待数列”,求公比 q ; (2)若一个等差数列 {an } 既是 2k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式; (3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) : (ⅰ)求证: | S k |?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si } 能否为 n 阶“期待数列”?若能,求出所有这 2

(ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 S m ? 样的数列;若不能,请说明理由.

【答案】解:(1)若 q ? 1 ,则由① a1 ? a2 ? ? ? a2k 由②得 a1 ?

a1 (1 ? q 2 k ) ? =0,得 q ? ?1 , 1? q

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

若 q ? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 综上所述, q ? ?1 . (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2 k (k ∵ a1 ? a2 ? ? ? a2 k ? 0 ,∴ ∴ a1 ? a2 k ? ak ? ak ?1 ? 0 , ∵ d >0,由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0 , ak ?1 ? 0 , 由题中的①、②得 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ?

? 1) 的公差为 d , d >0.

2k ? (a1 ? a2 k ) ? 0, 2

1 , 2

ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k ?
两式相减得, k ? d ? 1 ,
2

1 , 2
∴d ?

1 , k2
7

k (k ? 1) 1 2k ? 1 , ? d ? ? ,得 a1 ? ? 2 2 2k 2 2k ? 1 1 ?2k ? 1 ? i ∴ ai ? a1 ? (i ? 1) ? d ? ? . ? (i ? 1) ? 2 ? 2 2k k 2k 2
又 a1 ? k ? (3)记 a1 , a2 ,, an 中非负项和为 A ,负项和为 B ,

1 1 ,B ? ? , 2 2 1 1 1 (ⅰ) ? ? B ? Sk ? A ? ,即 | S k |? . 2 2 2 1 (ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 S m ? ,由前面的证明过程知: 2
则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ?

a1 ? 0 , a2 ? 0 ,, am ? 0 , am ?1 ? 0 , am? 2 ? 0 ,, an ? 0 ,
且 am?1 ? am? 2 ? ? an ? ?

1 . 2

记数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 的前 k 项和为 Tk , 则由(ⅰ)知, | Tk |?

1 , 2 1 1 ,而 S m ? , 2 2 1 , 2

∴ Tm = S1 ? S2 ? ? ? Sm ?

∴ S1 ? S2 ? ? ? Sm?1 ? 0 ,从而 a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? 0 , am ? 又 am?1 ? am? 2 ? ? an ? ? 则 Sm?1 , Sm ? 2 ,? , Sn ? 0 , ∴ S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S n ,

1 , 2

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 0 与 S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 1 不能同时成立,
所以,对于有穷数列 a1 , a2 , ? ? ?, an (n ? 2, 3, 4,? ),若存在 m ?{1, 2,3,? ,n }使 S m ? 数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 不能为 n 阶“期待数列”. 18. (江苏省2013届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知数列 ? an ? 满足 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,则数列 {ai } 和 2

an ?1 ? an ? 1 ? n (n∈N*),且a2=6. an ?1 ? an ? 1

bn an (n∈N*,c为非零常数),若数列{bn}是等差数列,记cn= n,Sn=c1+c2++cn,求Sn. 2 n?c
an ?1 ? an ? 1 ? n ,得(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1),当 n≥2 时, an ?1 ? an ? 1

【答案】解:(1)由

8



an+1 an 1 =, n+1 n-1 n-1 an+1 an 1 1 1 ==-( - ), n(n+1) (n-1)n n(n-1) n-1 n
an ?1 ? an ? 1 ? n ,得 a1=1,经验证:a1=1,a2=6 均满足 an=n(2n-1). an ?1 ? an ? 1

所以,

由叠加法,得 当 n≥3 时,an=n(2n-1) 把 n=1,a2=6 代入

综上,an=n(2n-1),n∈N* (2)由(1)可知:bn=

n(2n-1) 1 6 15 ,于是 b1= ,b2= ,b3= , n+c 1+c 2+c 3+c
1 15 12 1 + = ,解得 c=- (c=0 舍去). 1+c 3+c 2+c 2

由数列{bn}是等差数列,得 b1+b3=2 b2,即

1 此时,bn=2n,所以,数列{bn}是等差数列.所以 c=- 满足题意 2 所以,cn= n-1. 2 2 3 n n+2 所以 Sn=1+ 1+ 2++ n-1,由错位相减法,得 Sn=4- n-1 2 2 2 2 19. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发 现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

n

1 分给第一个小朋友; 2

1 再从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友 3
后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第 n( n ? 1,2,3,? k ) 个小朋友.如果设分给 n ?1

第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1) 当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2) 请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求出所有 的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? , n ?1 n ?1
即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n,

a2 ? ?a1 ? 2 ? ?

9

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 , n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 ,

1 a ? a ? 即 (1 ? a0 ) ? 3 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 , 2 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅 读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有 5 名小朋友,每个小朋 友都分到糖果,求 a0 的最小值. 20. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题) 已知整数 n ? 4, 集合M ? {1, 2,3,?, n} 的所有 3 个元素的子集记为 A1,A2,,AC. (1)当 n=5 时,求集合 A1,A2,,AC 中所有元素之和; (2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 Pn ? m1 ? m2 ? ? ? mC , 试求Pn (用n表示). 【答案】 (1)当 n=5 时,含元素 1 的子集中,必有除 1 以外的两个数字,两个数字的选法有 C4 =6 个,所以 含有数字 1 的几何有 6 个.同理含 2,3,4,5 的子集也各有 6 个, 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)× C4 =6×15=90 (2)证明:不难得到 1≤mi≤n-2,mi∈Z,并且以 1 为最小元素的子集有 Cn ?1 个,以 2 为最小元素的子集有
2 2 2

C n2? 2 个,以 3 为最小元素的子集有 C n2? 3 ,,以 n-2 为最小元素的子集有 C22 个.则

21. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)设 S n 是各项均为非零实数的数列 ?a n ?的
10

前 n 项和,给出如下两个命题上: 命题 p : ?a n ?是等差数列;命题 q :等式

1 1 1 kn ? b 对任意 n ( n ? N * )恒成 ? ??? ? a1 a 2 a 2 a3 a n a n?1 a1 a n ?1

立,其中 k, b 是常数. ⑴若 p 是 q 的充分条件,求 k, b 的值; ⑵对于⑴中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; ⑶若 p 为真命题,对于给定的正整数 n ( n ? 1)和正数 M,数列 ?a n ? 满足条件 a1 ? a n ?1 ? M ,试求 S n
2 2

的最大值. 【答案】解:(1)设 an ? 的公差为 d ,则原等式可化为

?

1? 1 1 1 1 1 1 ? kn ? b 1 nd kn ? b , 所以 ? , ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? d ? a1 a2 a2 a3 an an ?1 ? a1an ?1 d a1an ?1 a1an ?1
即 ? k ? 1? n ? b ? 0 对于 n ? N 恒成立,所以 k ? 1, b ? 0.
?

(2)当 k ? 1, b ? 0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若 任意的 n n ? N 当 n ? 1 时,

1 1 1 n ? ?? ? ? ①对于 a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1

?

?

? 恒成立,则 ?a ? 为等差数列”.
n

1 1 ? 显然成立 a1a2 a1a2
1 1 1 n ?1 ? ?? ? ? ②,由①-②得, a1a2 a2 a3 an ?1an a1an ?1

当 n ? 2 时,

1 1? n n ?1 ? ? ? ? ? ,即 nan ? ? n ? 1? an ?1 ? a1 ③. an an ?1 a1 ? an ?1 an ?
当 n ? 2 时, a1 ? a3 ? 2a2 ,即 a1 、 a2 、 a3 成等差数列, 当 n ? 3 时, ? n ? 1? an ?1 ? ? n ? 2 ? an ? a1 ④,即 2an ? an ?1 ? an ?1 .所以 an ? 为等差数列,即 p 是否为 q 的必要条件 (3)由 a1 ? an ?1 ? M ,可设 a1 ? r cos ? , an ?1 ? r sin ? ,所以 r ?
2 2

?

M.

设 an ? 的公差为 d ,则 an ?1 ? a1 ? nd ? r sin ? ? r cos ? ,所以 d ? 所以 an ? r sin ? ?

?

r sin ? ? r cos ? , n

? a1 ? an ? n ? ? n ? 1? cos ? ? ? n ? 1? sin ? r r sin ? ? r cos ? , Sn ? 2 2 n
11

?

? n ? 1?

2

? ? n ? 1? 2

2

? M ?

2 2 M ? n 2 ? 1? ,所以 S n 的最大值为 M ? n 2 ? 1? 2 2

22 .( 江 苏 省 泰 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 数 列

an ? n ? 16 , bn ? (?1) n n ? 15 ,其中 n ? N *
(1)求满足 an ?1 = bn 的所有正整数 n 的集合 (2)n ? 16,求数列

bn 的最大值和最小值 an

(3)记数列 ?an bn ? 的前 n 项和为 S n ,求所有满足 S2 m ? S2 n (m<n)的有序整数对(m,n) 【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立, 当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈N*} (2)
n bn (?1) n ? 15 = n ? 16 an

(i)当 n>16 时,n 取偶数

bn n ? 15 1 = =1+ an n ? 16 n ? 16

当 n=18 时(

bn 3 )max= 无最小值 an 2 bn 1 =-1an n ? 16

n 取奇数时

n=17 时(

bn )min=-2 无最大值 an

bn (?1) n (n ? 15) (ii)当 n<16 时, = an n ? 16
当 n 为偶数时

bn ? (n ? 15) 1 = =-1an n ? 16 n ? 16

n=14 时(

bn 1 b 13 )max=- ( n )min=an 2 an 14 bn n ? 15 b 1 1 14 = =1+ , n=1 , ( n )max=1= , an n ? 16 an n ? 16 15 15

当 n 奇数

n=15,(

bn )min=0 an
12

综上,

bn 3 最大值为 (n=18)最小值-2(n=17) an 2
n-1

(3)n≤15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 ,n>15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0 ?S16=S14 m=7, n=8 23. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移 1 到相邻的另一个顶点的概率均为 ,刚开始时,棋子在上底面点 A 处,若移了 n 次后,棋子落在上底 3 面顶点的概率记为 pn. (1)求 p1,p2 的值; 1 n > . n+1 i=1 4Pi-1
B C
n
2

n

(2)求证: ∑

A

D F (第 23 题)

E

2 【答案】解(1)p1= , 3

p2= × + ×(1- )= .

2 3

2 1 3 3

2 3

5 9

???????? 2 分

(2)因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn,故落在下底面顶点的概率为 1-pn. 2 1 1 1 于是移了 n+1 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn+1= pn+ (1-pn)= pn+ . 3 3 3 3 ???????? 4 分 1 1 1 从而 pn+1- = (pn- ). 2 3 2 1 1 1 所以数列{pn- }是等比数列,其首项为 ,公比为 . 2 6 3 1 1 1 n-1 1 1 1 所以 pn- = ×( ) .即 pn= + × n. 2 6 3 2 2 3 用数学归纳法证明: 1 3 1 3 1 ①当 n=1 时,左式= = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 2 5 2 4× -1 3 ???????? 6 分

13

1 1 78 4 78 4 当 n=2 时,左式= + = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 55 3 55 3 4× -1 4× -1 3 9 ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 ∑ 1 k > . k+1 i=1 4Pi-1
2 2

k

2

则 n=k+1 时,左式= ∑

1 1 k 1 k 3 + > + = + k+1 . 4Pk+1-1 k+1 1 1 1 k+1 3 +2 i=1 4Pi-1 4( + × k+1)-1 2 2 3
2

k

k+1

要证

3 (k+1) + k+1 ≥ , k+1 3 +2 k+2 3 (k+1) k ≥ - . k+1 3 +2 k+2 k+1
k+1
2

k2

k+1

k+1

2

2

只要证

3 k +3k+1 只要证 k+1 ≥ 2 . 3 +2 k +3k+2 只要证 2 1 . k+1≤ 3 k2+3k+1
k+1
2

只要证 3 ≥2k +6k+2. 因为 k≥2,
k+1 k 2 2 2 所以 3 =3(1+2) ≥3(1+2k+4C2)=6k +3=2k +6k+2+2k(2k-3)+1>2k +6k+2, k

3 (k+1) 所以 + ≥ . k+1 3k+1+2 k+2 即 n=k+1 时,不等式也成立.
n 1 n 由①②可知,不等式 ∑ > 对任意的 n∈N*都成立. ????????10 分 n+1 i=1 4Pi-1
2

k2

k+1

2

24 . 2012-2013 学 年 度 苏 锡 常 镇 四 市 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 二 ) 数 学 试 题 ) 已 知 数 列 ?bn ? 满 足 (

b1 ?

1 1 , ? bn ?1 ? 2(n ? 2, n ? N *) . 2 bn

(1)求 b2 , b3 ,猜想数列 ?bn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明;
x (2)设 x ? bn , y ? bn ,比较 x 与 y 的大小.
n
y

n ?1

【答案】

14

25. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)已知数列 ?an ? 是 首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q(q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 an 与 bn 的大小,并说明理由. 【答案】解:(1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 , 故d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4

所以 an ? 1 ? 20(n ? 1) ? 20n ? 19 , 令 Sn ? 1? 1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n ?1 , 则 3Sn ? ①

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②
15

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? ? 3 ? 32 ? ? ? ? ? 3n ?1 ? ? (20n ? 19) ? 3n ,
? 1+20 ? 3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3n ? 29 2

(2)因为 ak ? bk , 所以 1 ? (k ? 1)d ? q k ?1 ,即 d ? 故 an ? 1 ? (n ? 1) 又 bn ? q n ?1 ,
? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?

qk ?1 ? 1 , k ?1

q k ?1 ? 1 , k ?1

? 1 ?(k ? 1) ? qn?1 ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?1 ? 1?? ? k ?1 ?
q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ? (ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知 ? bn ? an ? ? q ?1 ? (k ? n) ? q n?2 ? q n?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q n?1 ?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?
(q ? 1)2 qn ?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1

??

?0, (ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? 1) ? q n?2 ? q n?3 ? ??? ? q k ?1 ? ? (n ? k ) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )q k ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 q k ? 2 (n ? k ) ? 0 ,

综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1 k 时, an ? bn . , (注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分.) 26. (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)设无穷数 列 ?an ? 满足: ?n ?Ν? , an ? an ?1 , an ? N? .记 bn ? aan ,cn ? aan ?1 (n ? N* ) . (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值;
16

(2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论. 【答案】 【解】 (1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾, 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . ????????????4 分 于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 . ????????????7 分 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: ???????????????9 分
an ?1 ? an ? n≥2 时, an ? an ?1 ,所以 an≥an?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)
? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) ,?????????????????13 分

即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1 an?1 ? an ,又 an?1 ? an≥ , ≥ 1 所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列.???????????16 分 27. (2011 年高考(江苏卷) )设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已 知对任意的整数 k ? M ,当整数 n ? k 时, S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 都成立. (1)设 M ? {1} , a 2 ? 2 ,求 a 5 的值; (2)设 M ? {3, 4},求数列 {a n } 的通项公式. 【答案】 【命题立意】本小题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考 查考生分析探究及逻辑推理的能力. 【解析】(1)由题设知,当 n ? 2 时, Sn ?1 ? Sn ?1 ? 2( Sn ? S1 ) ,即 ( Sn?1 ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? 2S1 ,从而

an?1 ? an ? 2a1 ? 2 .又 a2 ? 2 ,故当 n ? 2 时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2 .所以 a5 的值为 8.
(2)由题设知,当 k ? M ? {3, 4} 且 n ? k 时, Sn ? k ? Sn ?k ? 2Sn ? 2Sk 且 Sn ?1? k ? Sn ?1? k ? 2Sn ?1 ? 2Sk . 两式相减得 an ?1? k ? an ?1? k ? 2an ?1 ,即 an ?1? k ? an ?1 ? an ?1 ? an ?1?k . 所以当 n ? 8 时, an ?6 , an ?3 , an , an ?3 , an ?6 成等差数列,且 an ?6 , an ?2 , an ? 2 , an ?6 也成等差数列. 从而当 n ? 8 时, 2an ? an ?3 ? an ?3 ? an ?6 ? an ?6 , (*) 且 an ? 6 ? an ?6 ? an ? 2 ? an ? 2 ,所以当 n ? 8 时, 2an ? an ? 2 ? an ?2 ,即 an ? 2 ? an ? an ? an ?2 ,于是当 n ? 9 时, an ?3 , an ?1 , an ?1 , an ?3 成等差数列,从而 an ?3 ? an ?3 ? an ?1 ? an ?1 ,故由(*)式知 2an ? an ?1 ? an ?1 ,即

an?1 ? an ? an ? an?1 .当 n ? 9 时,设 d ? an ? an?1 .
当 2 ? m ? 8 时, m ? 6 ? 8 ,从而由(*)式知 2am? 6 ? am ? am ?12 ,故 2am?7 ? am?1 ? am?13 . 从而 2(am?7 ? am?6 ) ? am?1 ? am ? (am?13 ? am?12 ) ,于是 am?1 ? am ? 2d ? d ? d .

4 ) 因 此 , an ?1 ? an ? d 对 任 意 的 n ? 2 都 成 立 . 又 由 Sn ? k? S ?n ? 2 S ?n 2 S ( ? { 3 , 可}知 k kk
17

( Sn? k ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?k ) ? 2Sk .故 9d ? 2S3且16d ? 2S4 ,解得 a4 ?
此数列 {an } 为等差数列.由 a1 ? 1知d ? 2 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

7 3 d d , 从而a2 ? d , a1 ? .因 2 2 2

28. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试 (数学) (选修物理) 已知数列 {an } 的前项和为 S n , 且 )

Sn ? n2 S n ,数列 {bn } 为等比数列,且 b1 =l, b4 =64.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若数列 {an } 满足 cn ? ab ,求数列 {cn } 的前项和 Tn ; (3)在(2)的条件下, 数列 {cn } 中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项,若不存 在,说明理由. 【答案】

29. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ? 1 象上的两点,且

2x 图 2x ? 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? 1 ???? ???? ? OP ? (OP ? OP2 ) ,点 P、A、B 共线,且 CP ? x1 CA ? x2 CB 1 2 (1)求 P 点坐标
(2)若 S2011 ?
2010 i ?1

? f ( 2011)

i

求 S 2011

18

(3)若 Sn ?

? f ( n ) ,记 T
i ?1

n

i

n

为数列 ?

? ?

? 1 ? ? 前 n 项的和, ? ( S n ? 2)( S n ?1 ? 2) ? ? ?

若 Tn ? a ( S n ?1 ? 2) 时,对一切 n ? N * 都成立,试求 a 的取值范围。 【答案】解(1)? P. A.B 共线且 CP ? x1 CA ? x2 CB ,? x1 ? x2 ? 1 又? f ( x) ? f (1 ? x) ?

??? ?

??? ?

??? ?

2x 21? x 2x 2 ? 1? x ? x ? x ?1 x 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2

1 1 ? P( , ) 2 2
(2) S2011 ?
2010 i ?1

? f ( 2011) ? f ( 2011) ? f ( 2011) ? ? ? f ( 2011) ? f ( 2011)

i

1

2

2009

2010

? S2011 ? f (

2010 2009 2 1 )? f ( ) ?? f ( )? f ( ) 2011 2011 2011 2011

? 2S2011 ? 2010 ? S2011 ? 1005
(3) Sn ?

? f (n) ? f (n) ? f (n) ?? f (
i ?1

n

i

1

2

n ?1 ) ? f (1) n

? Sn ? f (1) ? f ( ? Sn ?
令 bn ?

n ?1 ? 2 2

n ?1 2 1 ) ?? f ( ) ? f ( ) n n n

1 4 ? ( Sn ? 2)( Sn ?1 ? 2) (n ? 1)(n ? 2)

?Tn ?

2n n?2

2n n?2 4n 4n 4 ?a ?a? ? 2 ? 2 n?2 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 1 ?a ? 2
30 . 江 苏 省 海 门 市 四 校 2013 届 高 三 11 月 联 考 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 (
a1 ? m, an?1 ? ? an ? n, bn ? an ? 2n 4 ? , 3 9

?an ? 和 ?bn ? 满 足

(Ⅰ)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 ? , ?an ? 一定不是等差数列;

?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

1 (Ⅱ) 当 ? ? ? 时,试判断 ?bn ? 是否为等比数列; 2 * (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若 1 ? Tn ? 2 对任意的 n ? N 恒成立,求实数 m 的范围.
【答案】解:(1) 当m ? 1时,a1 ? 1.a2 ? ? ? 1, a3 ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2
假设?an ? 是等差数列,由a1 ? a3 ? 2a2,得? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? 1?
19

故对于任意的实数?, n ?一定不是等差数列 即? 2 ? ? ? 1 ? 0,? ? ?3 ? 0,方程无实根。 ?a

1 1 2n 4 (2) 当? ? ? 时,an?1 ? ? an ? n, bn ? an ? ? 2 2 3 9
bn ?1 ? an ?1 ? 2 ? n ? 1? 3 ?

1? 2n 4 ? 1 4 ? 1 1 n 2 ? 2 ? n ? 1? 4 ? ? ? an ? n ? ? ? ? ? an ? ? ? ? ? an ? ? ? ? - bn 9 ? 2 3 9 2 3 9 2? 3 9? 2 ?

又b1 ? m ?

2 4 2 ? ? m? 3 9 9

2 2 1 ?当m ? 时, n ?是以m ? 为首项, 为公比的等比数列 ? ?b 9 9 2 2 当m ? 时, n ?不是等比数列 ?b 9 2 (3) 当m ? , Tn ? 0 ,不成立 9

2 2 2 1 n 时 Tn ? (m ? )[1 ? (? ) ] 9 3 9 2 1 n 3 1 n 3 当 n 为奇数时 [1 ? (? ) ] ? (1, ] ,当 n 为偶数 [1 ? (? ) ] ? [ ,1) 2 2 2 4 20 从而求得 m ? 9
当m ? 31 . 苏 州 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 “ 三 模 ” 数 学 试 卷 及 解 答 ) 已 知 数 列 {a n } , {bn } , 且 满 足 (

an ?1 ? an ? bn ( n ? 1, 2,3,? ).
(1)若 a1 ? 0, bn ? 2n ,求数列 {a n } 的通项公 式; (2)若 bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 .记 cn ? a6n ?1 (n ≥1) ,求证:数列 {cn } 为常数列; (3)若 bn ?1bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 a1 ? 1 , b1 ? 1, b2 ? 2 .求数列 {an } 的前 36 项和 S36 . 【答案】,解:(Ⅰ) an ? n ? n
2

(Ⅱ)先证 bn ?3 ? bn ? 0 ,即 b6 n ?3 ? b6 n ? 0 , 然后 Cn ?1 ? Cn ? a6 n ?5 ? a6 n ?1 ? 2(b6 n ?3 ? b6 n ) ? 0 ,数列 {cn } 为常数列 (Ⅲ) S
36

? 795

32. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁) 2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知数列 {a n } 满足
a n?1 ? 1 2 1 a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2

(1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;
n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

【答案】⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* )

20

①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 , 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 , 2 2 2 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* )

2 ⑵原不等式等价于 (1 + ) n ≥ 4 . n 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 2 2 2 2 2 2 n 2 2 2 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? ? ? Cn ( ) n ≥ C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n n 2 2 2 > C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? 5 ? ? 4 , n n n n n n
n 综上所述,当 n≥ 2 时, an ≥ 4n n

33. (2013 江苏高考数学)本小题满分 10 分.
k个 ????????? k -1 1,? 设 数 列 ?an ?: 2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1 k, ,(-1 k -1k ) ? )

,





(k ? 1 k ) (k ? 1 k ) (- k ?n? ? k ? N ? ? 时, an ? 1)?1k ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? an ? n ? N ? ? ,对于 l ? N ? , 2 2
定义集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l

?

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数. 【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳 法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 ?a n ?的定义 得: a1 ? 1 , a 2 ? ?2 , a 3 ? ?2 , a 4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a 7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 , a10 ? ?4 ,

a11 ? 5
∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S 8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 ,

S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a 6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1)
21

事实上, ① 当 i ? 1 时, S i ( 2i ?1) ? S 3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m ( 2 m ?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S ( m?1)[ 2( m?1)?1} ? S ( m?1)( 2 m?3} ? S m ( 2 m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2

? ?(2m 2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)( 2m ? 3)
综合①②得: S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1) 于是

S (i ?1)[ 2i ?1} ? S i ( 2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: S i ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 S i ( 2i ?1) ? j ? S i ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)( 2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所 以

S (i ?1)( 2i ?1)? j ? S (i ?1)( 2i ?1) ? j (2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j (2i ? 2)





a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的倍数
故当 l ? i (2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? 2i - 1 ? i ( )
2

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( ? j ? 2i ? 1 时,集合 Pl 中元素的个数为 i ? j 1 )
2

又 2000 ? 31 ? 2 ? 31 ? 1 ? 47 ( ) 故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

1 1 1 34. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知 Sn=1+ + ++ . 2 3 n (1)求 S2,S4 的值; 7n+11 (2)若 Tn= ,试比较 S 2n 与 Tn 的大小,并给出证明. 12 1 3 1 1 1 25 【答案】解:(1)S2=1+ = ,S4=1+ + + = 2 2 2 3 4 12 7+11 3 7×2+11 25 (2)当 n=1,2 时,T1= = ,T2= = ,所以, S 2n =Tn. 12 2 12 12
22

7×3+11 8 1 1 1 1 1 1 1 761 8 当 n=3 时,T3= = ,S8=1+ + + + + + + = > =T3. 12 3 2 3 4 5 6 7 8 280 3 于是,猜想,当 n≥3 时, S 2n >Tn 下面用数学归纳法证明: ①当 n≥3,显然成立; ②假设 n=k(k≥3)时, S 2k >Tk; 那么,当 n=k+1 时, S2k ?1 = S 2k + > > 1 1 1 + k ++ k+1 2 +1 2 +2 2
k

7k+11 1 1 1 1 1 1 +( k + k ++ k + k ++ k+1) k-1)+( k k-1 k-1 12 2 +1 2 +2 2 +2 2 +2 +1 2 +2 +2 2 7k+11 1 1 k-1 k-1 7k+11 1 1 7(k+1)+11 + k + + = , k-1×2 + k+1×2 = 12 2 +2 2 12 3 4 12

这就是说,当 n=k+1 时, S 2n >Tn. 根据①、②可知,对任意不小于 3 的正整数 n,都有 S 2n >Tn. 综上,当 n=1,2 时, S 2n >Tn;当 n≥3 时, S 2n >Tn 35. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 已知数列{an}中,a1=2,n∈N ,an>0,数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 an ?1 ?
+

2 . Sn?1Sn ? 2

(Ⅰ)求{Sn}的通项公式; (Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求 b3; + (2)存在 N(N∈N ),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围. 【答案】

36. (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题) 设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有
*

(kn ? b )(a1 ? an )? p ? 2( 1 ? a 2? ? an ) a ,(其中 k 、 b 、 p 是常数).
23

(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3) 若 数 列 ? an ? 中 任 意 ( 不 同 ) 两 项 之 和 仍 是 该 数 列 中 的 一 项 , 则 称 该 数 列 是 “ 封 闭 数 列 ”. 当

k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数
列”

?an ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn

? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 .若存在,求数列 ? ? ? ??? ? 12 S1 S2 S3 Sn 18

?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由.
【答案】解:( 1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,



用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ② ②-①得, 3(an ?1 ? an ) ? 2an ?1 , an ?1 ? 3an , 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an =

3n ? 1 2
③ ④

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) , ④-③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,



用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 , ⑥ ⑥-⑤得, nan ? 2 ? 2nan ?1 ? nan ? 0 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , ∴数列 {an } 是等差数列. ∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 9?3

(3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) .
24

又 ? an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
? ?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, 又由已知,

1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 . 12 S1 18 11

一方面,当

18 ? a1 ? 12 时, 11
1 1 1 1 1 1 . ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12

Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有
另一方面, 当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

1 1 1 ? ? , Sn n n ? 1



1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? , S1 S2 S3 Sn n ?1

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意 S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18


18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

37 . 江 苏 省 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 (
n a1 ? 2 , an?1 ? an ?1 ? (n ? 1) .

(1)证明: a n ? n ( n ? 3 ); (2)证明: 2 ? 3 ? 4 4 ? ? ? n n ? 2 .
3

25

【答案】(1)因为 a1 ? 2, a2 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 3 ? 5 ? 3.
3

假设当 n ? k ? 1 时,因为 ak 所以, ak ?1 ? ak
k ?1

k ?1

? k k ?1 ? k 2 ? k ? 9k ? 2k ? 2 ,

? k ? 1 ? k ? 1. 由数学归纳法知,当 n ? 3 时 an ? n
n
n

(2)由(1)知, an ? an ?1 ? n ? 0, 得 an ?1 ? n , 所以 an ?1 ?
n
n? n? n . 所以 an ?1 ? ? n ? 1? ? n n , 即 an ?1 ? ? n ? 1? ? n n , 2 2

n ?1 所以 an ? 2 ? n ? 1 ? n n ,以此类推,得 2 ? a1 ?

2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n ,问题得证

38. (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 )已知数列 {a n } 的相邻两项 a n , an?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0(n ? N *) 的两根,且 a1 ? 1 .

1 (1)求证:数列 {an ? ? 2 n } 是等比数列; 3
(2)设 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和,问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n? N * 都成立,若存在, 求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1) a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0(n ? N *) 的两根,
2 n

?a ? a n ?1 ? 2 n ?? n . a n a n ?1 ? bn ?

1 n?1 1 ? 2 ? ?(a n ? ? 2 n ) , 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1的等比数列 . 3 3 3 1 n 1 1 n n ?1 n (2)由(1)得 a n ? ? 2 ? ? (?1) , 即 a n ? [2 ? (?1) ] . 3 3 3 1 ? bn ? a n a n?1 ? [2 n ? (?1) n ][ 2 n?1 ? (?1) n?1 ] 9
由 a n ? a n ?1 ? 2 ,得 a n ?1 ?
n

又? S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n

1 ? {( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) n ]} 3
1 (?1) n ? 1 ? [2 n ?1 ? 2 ? ] . 3 2
要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N 都成立有:
*

①当 n 为正奇数时,有:

26

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n?1 ? 1) ? ? (2 n?1 ? 1) ? 0 ,? 2 n?1 ? 1 ? 0 , 9 3 1 n ? 1 所以有: (2 ? 1) ? ? 0 ,即 ? ? (2 n ? 1) ,对任意正奇数 n 都成立. 9 3 3 1 1 又因为 { (2 n ? 1)} 单调递增,所以当 n ? 1时, (2 n ? 1) 有最小值 1.? ? ? 1 . 3 3 ②当 n 为正偶数时,有: 1 1 bn ? ?S n ? (2 n ? 1)( 2 n?1 ? 1) ? ? (2 n?1 ? 2) ? 0 , 9 3 1 n 1 n?1 即: (2 ? 1)( 2 n?1 ? 1) ? ? (2 ? 2) ? 0 9 3 1 n 2 即: (2 ? 1)( 2 n?1 ? 1) ? ? (2 n ? 1) ? 0 ,又因为 2 n ? 1 ? 0 9 3 1 n ?1 2 1 所以有: (2 ? 1) ? ? ? 0 ,即 ? ? (2 n?1 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 9 3 6 1 1 3 3 . { (2 n?1 ? 1)} 单调递增, 所以当 n ? 2 时, (2 n ?1 ? 1) 有最小值 .? ? ? 6 6 2 2
bn ? ?S n ?
综上所述,在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立, ? 的取值范围是 (??,1) . 39. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且对任意正整数 k ,当 a k ? bk ? 0 时, a k ?1 ?
1 1 3 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4 1 1 3 a k ? bk , bk ? 1 ? bk ; 当 a k ? b k ? 0 2 4 4

(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a, b 满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ? 【答案】⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an ?1 ?
3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

1 1 3 an ? bn 且 bn ?1 ? bn , 2 4 4 1 1 3 1 所以 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) , 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn ?1 ? ? an ? bn 且 an ?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn ?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) , 4 4 2 2 1 因此,数列 ?a n ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2

?1? 所以, a n ? bn ? ( a ? b) ? ? ?2?

n ?1

27

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1

3 ?3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1

n ?1

,

?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ?2?

?3? ? a? ? ?4?

n ?1

,

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列 ⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? 所以

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2

3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2 n?1 ? ? a2 n?1 ? b2 n?1 ? b2 n?1 4 2 4 4 4 4

3 1 所以 (b2 n ?1 ? b2 n ?1 ) ? ? (a2 n ?1 ? b2 n ?1 ) , 4 4
?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?
2n?2

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2 n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2 n?1 ? b2 n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 ( a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? ?1 ? ? ? ? , 4 4 3 ? ?4? ? ? ?

n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

40. (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题(数学)WORD 版)已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列
2 * 2 {an}的前 n 项和,且满足:S2=3n an+Sn-1,an≠0,n≥2,n∈N . n

(1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值;
28

(2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.
2 2 【答案】解:(1)在 S2=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得 n

(a+a2) =12a2+a ,(a+a2+a3) =27a3+(a+a2) , 因为 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2=3n an+Sn-1. n 2 2
2 2 2 2 2 (2)由 S2=3n an+Sn-1,得 S2-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an, n n

2

2

2

2

即(Sn+Sn-1)an=3n an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n ,(n≥2),① 2 所以 Sn+1+Sn=3(n+1) ,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,,及数列 a3,a5,a7,都是公差为 6 的等差数列, 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

2

2

?a,n=1, ? 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ?3n-2a+6,n为偶数, ?
要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a, 3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数), 9 15 解得 <a< . 4 4 9 15 所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列 4 4 41. (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试 (详细解答) 2013 年 3 月 ) 已知 a 为实数,数列 ? an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? ?

?an ?1 ? 3 ?4 ? an ?1

(an ?1 ? 3) (an ?1 ? 3)

,

(Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ; (Ⅱ)证明:对于数列 ? an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;
*

(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a . ,当 2 ? a ? 3 时,求证: ? bi ? n n 12 2 ? (?1) i ?1

【答案】解:(Ⅰ) 当a ? 100 时, 由题意知数列 ? an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列,从 第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而 S100 =

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1) 共34项 共66项
29

=

(100 ? 1) ? 34 66 ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立 ②若 a1 ? 3 ,此时数列 ? an ? 的前若干项满足 an ? an ?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ? 1) . 设 a1 ? ? 3k ,3k ? 3? , (k ? 1, k ? N ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3? .
*

从而此时命题成立 ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立 (Ⅲ)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ?

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)

a ? ? 2 n ? ( ?1) n a ? 所以 bn ? n n n = ? 2 ? (?1) ? 4 ? a ? 2 n ? ( ?1) n ?

(n为奇数) (n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可.

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? ? 而 b2 k ?1 ? b2 k ? 2 k ?1 2 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? 4 k ?1 2 k ?1 ? ? 2k 2 ? 2 ?1 24 k ?1 2
①当 n ? 2k (k ? N 且k ? 2) 时,
*

2k a 4?a a?4 a?4 a?4 bi ? b1 ? b2 ? ? bi ? ? ? ( 2?2 ? 2?3 ? ???? 2?k ) ? 3 3 2 2 2 i ?1 i ?3 2k

1 1 1 (a ? 4) ? (1 ? ( )k ?1 ) (1 ? ( )k ?1 ) 4 4 4 a ? 4 20 ? a 4 4 4 ? . ? ? ? ? ? ? (a ? 4) ? 2 1 12 3 12 3 12 3 1? 4
②当 n ? 2k ? 1(k ? N 且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以
*

2 k ?1 i ?1

? bi ? ? bi <
i ?1

2k

20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立 42 .( 徐 州 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足: a1 ? a + 2(a ≥ 0) , an ?1 ?

an + a , n ? N* . 2

⑴若 a ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式;
30

⑵设 bn ? an?1 ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,证明: Sn ? a1 . ⑴若 a ? 0 时, a1 ? 2 , an ?1 ?

an 2 ,所以 2an ?1 ? an ,且 an ? 0 . 2

两边取对数,得 lg 2 + 2lg an?1 ? lg an ,

1 化为 lg an?1 + lg 2 ? (lg an + lg 2) , 2
因为 lg a1 + lg 2 ? 2lg 2 , 所以数列 {lg an + lg 2} 是以 2lg 2 为首项,

1 为公比的等比数列 2

2?n 1 所以 lg an + lg 2 ? 2( )n?1 lg 2 ,所以 an ? 2 2 ?1 2

⑵由 an ?1 ?

an + a 2 ,得 2an ?1 ? an + a ,① 2

当 n≥ 2 时, 2a 2 ? an?1 + a ,② n ① ? ②,得 2(an?1 + an )(an?1 ? an ) ? an ? an?1 , 由已知 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an 与 an ? an ?1 同号
2 因为 a2 ? a + 1 ,且 a ? 0 ,所以 a12 ? a2 ? (a + 2)2 ? (a + 1) ? a 2 + 3a + 3 ? 0 恒成立,

所以 a2 ? a1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 0 因为 bn ? an?1 ? an ,所以 bn ? ?(an?1 ? an ) , 所以 Sn ? ?[(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + ? + (an?1 ? an )]

? ?(an?1 ? a1 ) ? a1 ? an?1 ? a1
43. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求证:数列{ }是等差数列; (2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立,求数列{an}的通项公式; (3)记 bn=aan (a>0),求证:

Sn n

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ . n 2 n(n-1) Sn n-1 d,从而 =a1+ d. 2 n 2

【答案】解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 所以当 n≥2 时, -

Sn Sn-1 n-1 n-2 d =(a1+ d)-(a1+ d)= . n n-1 2 2 2
31

即数列{ }是等差数列 (2)因为对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立, 所以 Sn+1+ Sn-1=2 Sn,即数列{ Sn}是等差数列 设数列{ Sn}的公差为 d1,则 Sn= S1+(n-1)d1=1+(n-1)d1, 所以 Sn=[1+(n-1)d1] ,所以当 n≥2 时,
2

Sn n

an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2d2n-3d2+2d1, 1 1
因为{an}是等差数列,所以 a2-a1=a3-a2,即 (4d2-3d2+2d1)-1=(6d2-3d2+2d1)-(4d2-3d2+2d1), 1 1 1 1 1 1 所以 d1=1,即 an=2n-1. 又当 an=2n-1 时,Sn=n , Sn+k+ Sn-k=2 Sn对任意正整数 n,k(n>k)都成立, 因此 an=2n-1 (3)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,bn=aan, 所以
2

bn d =aan an-1=a , bn-1

即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列 记公比为 q(q>0). 以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. 因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1q -b1q -b1q =b1(q -1)( q -1). 当 q>1 时,因为 y=q 为增函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≥0,q -1≥0,所以 b1+bn≥bp+bk. 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk. 当 0<q<1 时,因为 y=q 为减函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≤0,q -1≤0,所以 b1+bn≥bp+bk. 综上,b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n 所以 n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)++(b1+bn) ≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)++(bn+b1) =(b1+b2++bn)+(bn+bn-1++b1), 即
p-1 k-1 x p-1 k-1 x n-1 p-1 k-1 p-1 k-1

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ n 2

44. (江苏省徐州市 2013 届高三期中模拟数学试题)已知数列

?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P?a

n

, a n ?1 ? n ? N ?

?

? 在直
32

线 x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求数列

?a n ?的通项公式;
1 1 1 1 ?n ? N , 且n ? 2?, ? ? ??? n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an 求函数 f (n) 的最小值;

f ( n) ?
(2)

bn ?
(3)设

1 , Sn ?b ? an 表示数列 n 的前 n 项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得
对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,写出 g ?n ? 的解

S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ?

析式,并加以证明;若不存在,试说明理由. 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,

【答案】解:(1)由点 P 即

(a n , a n ?1 )

a n?1 ? a n ? 1

,

a 且 a1 ? 1 ,数列{ n }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列
an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n(n ? 2) a1 ? 1 a ?n , 同样满足,所以 n

f ( n) ?
(2)

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? n?2 n?3 n?4 2 n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2 n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2 n ? 2 n ? 1 f (n ? 1) ?
所以 f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是

f (2) ?

7 12

(3)

bn ?

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? ? ? ? S n ? S n ?1 ? (n ? 2) n ,可得 2 3 n, n
,

nSn ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1

(n ? 1) S n?1 ? (n ? 2) S n?2 ? S n?2 ? 1

S 2 ? S1 ? S1 ? 1
nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n?1 ? n ? 1 S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n?1 ? nSn ? n ? n( S n ? 1)
,n≥2
33

g (n) ? n
故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立 45. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a an ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数. 【答案】解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) an ?1 ? 1 . 令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,
??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an ?1 ? 3an ?1 ? 1 下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t ,

? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1) 4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,
3 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 t ?1) ? 44t ?5 ? ? ? (?1) r C r t ?1) ? 44t ? 4 ? r ? ? ? C 4t t??1) ? 4 , 4( 4( 4(

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立

46 . 2011 年 高 考 ( 江 苏 卷 ) 设 整 数 n ? 4 , P(a, b) 是 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 的 点 , 其 中 ( )

a, b? {1, 2 ,?, n , }? b 3 a,
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 (a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn . 【答案】 【命题立意】本小题主要考查计数原理,考查探究能力和解决实际问题的能力. 【解析】(1)点 P 的坐标满足条件: 1 ? b ? a ? 3 ? n ? 3 ,所以 An ? n ? 3 . (2)设 k 为正整数,记 f n ( k ) 为满足题设条件以及 a ? b ? 3k 的点 P 的个数,只要讨论 f n (k ) ? 1 的情形. 由 1 ? b ? a ? 3k ? n ? 3k 知 f n (k ) ? n ? 3k ,且 k ?

1 3

n ?1 . 3
34

设 n ?1 ? 3m ? r 其中 m ? N * , r ?{0,1, 2}, 则k ? m ,所以

Bn ? ? f n (k ) ? ? (n ? 3k ) ? mn ?
k ?1 k ?1

m

m

3m(m ? 1) m(2n ? 3m ? 3) . ? 2 2

将m ?

n ?1 ? r (n ? 1)(n ? 2) r (r ? 1) 代入上式,化简得 Bn ? . ? 3 6 6

? n(n ? 3) n ? 6 , 3 是整数, ? 所以 Bn ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) , n 不是整数。 ? 6 3 ?
47.南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) ( 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?
an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出所有满 3n

n(an ? a1 ) . 2

足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)令 n=1,则 a1=S1= (2)由 Sn ? 得

1(a1 ? a1 ) =0 2
① ② ③ ④

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 . 2

Sn ?1 ?

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 .

③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 (3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,
2p 1 q ? ? 3 p 3 3q 2p 1 ? ) (☆). 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, p ?1 3 3 3 3

所以, q ? 3q (

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2p 1 ? ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. p 3 3 33 3
35

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但 在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分. 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属 C 能要求, 属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列{an}为等差数列,则数列{ k an }(k>0 且 k≠1)为等比数列;反之若数列{an}为等比数列, 则数列{ log a an }(a>0 且 a≠1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数 m,p,q(其中 m<p<q),使 bm,bp,bq 成等比数列?若存在,求 出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时, 只须添加当 m≥2 时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. a 对于第(2)问,在得到关系式: (n ? 1)an ?1 ? nan 后,亦可将其变形为 n ?1 ? n ,并进而使用累乘法(迭乘 an n ?1 法),先行得到数列{an}的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明 n≥2. 考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测, 因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问 4 分,不设置任何的障 碍,基本让学生能得分. 48. (江苏省海门市四校 2013 届高三 11 月联考数学试卷 )设函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 {an } 满足

an?1 ? f (an ) .
(1)若 a1 ? 2 ,试比较 a2 与 a3 的大小; (2)若 0 ? a1 ? 1 ,求证: 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立.
*

【答案】设函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 {an } 满足 an ?1 ? f (an ) . (1)若 a1 ? 2 ,试比较 a2 与 a3 的大小; (2)若 0 ? a1 ? 1 ,求证: 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立.
*

解:(1) a1 ? 2 时, a2 ? f (2) ? 2 ? sin 2 ? (0, 2) , 所以 sin a2 ? 0 , 所以 a3 ? a2 ? ? sin a2 ? 0 , 所以 a2 ? a3 (2)用数学归纳证明当 0 ? a1 ? 1 时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立,
*

① n ? 1 时,结论成立; ②设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 , 则当 n ? k ? 1 时,
36

ak ?1 ? ak ? ? sin ak ? 0 ,即 ak ?1 ? ak ? 1 ,
当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 即 f ( x) 是 (0,1) 上的单调递增增函数, 所以 ak ?1 ? f (ak ) ? f (0) ? 0 ,即 0 ? ak ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时,结论成立, 综上可得,当 0 ? a1 ? 1 时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立,
*

49. (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)为稳定房 价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地上建造 10 幢 楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与 楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米 的平均综合费用为多少元? 【答案】 【解】 (1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,?????????? 3分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 1 270= , 10×1 000×5 解之得:k=50.?????????????????????6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知

f (n) =


16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 10×1 000×n

1 600 +25n+825≥2 1 600×25+825=1 225 (元). ???????10 分

n

1 600 当且仅当 =25n,即 n=8 时等号成立.??????12 分

n

答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元.????14 分 50. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数), n(an-a1) 其前 n 项和 Sn 满足:Sn= (n?N*). 2
37

(1)求数列{an}的通项公式; 1 2 (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4 (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为第 3p-2 项?若存 在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 1?(a1-a1) nan 【答案】(1)证明:由已知,得 a1=S1= =0,?Sn= , 2 2 (n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2 ?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1).
1 2 2 2 2 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n ?n+11=(m?1) ,即 4(m?1) -(2n?1) =43, 4 ?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0,
?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11 ?2m+2n-3=43

(III)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. 若 a<0,则 n? 若 a>0,则 n?

p-b +1,不合题意,舍去; a p-b +1. a

∵不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, p-b ?3p-2? +1<3p-1,

a

即 2a-b<(3a-1)p?3a-b,对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解得 a= , 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 1 2 故存在实数 a、b 满足条件, a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1 3 3

38


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