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二面角训练题教师版

时间:2017-08-12


二面角训练题 1.(2009 山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别 是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 解法一:证(1

)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所 以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一 个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵ E1 E A F D A1 A1 D1 C1 B1

E1 E A

D F

C B

D1 F1 P O

C1 B1

C B

OP OF 1 2 ∴ OP ? , ? ?2 ? CC1 C1 F 2 22 ? 22

2 OP 7 1 14 2 2 ? 2 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? ,所以 ?3 ? BP 7 2 2 14 2
二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7
A1

z D1 C1 B1

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),

E1 A x

D E M F

C B

y

C1 ( 0,2,2 ) ,E (

3 2

,

?

1 2

,0 ) ,E1 (

3

,-1,1 ) , 所 以

???? ???? ? ???? ? ??? ? 3 1 EE1 ? ( , ? ,1) , CF ? ( 3, ?1,0) , CC1 ? (0,0, 2) FC1 ? (? 3,1,2) 设平面 CC1F 的法 2 2
1

? ??? ? ? ? ? n ? CF ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? 向 量 为 n ? ( x, y, 则 ? ? ???? 所 以 ? 取 n ? (1, 3,0) , 则 z) ? ? z?0 ?n ? CC1 ? 0 ? ?

? ???? ? ???? 3 1 n ? EE1 ? ?1 ? ? 3 ? 1? 0 ? 0 ,所以 n ? EE1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . 2 2 ?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? FB ? 0 ? ( 2 ) FB ? (0, 2,0) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ?? ???? 所以 ? ?n1 ? FC1 ? 0 ?

?? ? ?? y1 ? 0 ? ? ,取 n1 ? (2,0, 3) ,则 n ? n1 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 , ? ?? 3 x1 ? y1 ?2 z1 ? 0 ?
? ?? | n |? 1 ? ( 3) 2 ? 2 , | n1 |? 22 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7 ,

? ?? ? ?? n ? n1 2 7 所以 cos? n, n1 ? ? ? ??? ? ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角,所以二面角 ? 7 | n || n1 | 2 ? 7
B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7
1 AD 2

2、 (2009 天津卷理) 如图, 在五面体 ABCDEF 中, ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, ? AD, FA AB M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,

, 以点 A 为坐标原点。 AB ? 1 依题意得 B?1 0,?, ?1 1 ?, 设 ,0 C ,0 ,

D?0,0?, E ?0, ?, F?0,1?, 2, 1, 1 0,
?1 1? M? , ?. 1, ? 2 2?
(I) 解: ? ?? 1 0, DE ? ?0, 11? BF ,1?, ?, ,

于是 cos BF, ? DE

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2
0

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 . (II)证明:由AM ? ? , ?, CE ? ?? 1 0, AD ? ?0,0? 1, ,1?, 2,,可得CE ? AM ? 0 ,

?1 ?2

1? 2?

2

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.
而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.
(III) 解:设平面 CDE的法向量为u ? ( x,y,z ),则?

?u ? CE ? 0, ? ?u ? DE ? 0. ?

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, ) 1,. 1 ?? y ? z ? 0.
0, 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0,1).

3、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面
0

PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD
又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45
0

SD 4、 2009 全国卷Ⅰ理) ( 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, ? 底面 ABCD ,

AD ? 2
DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。 证(I)略 解(II) :利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点

F ,则点 F 为 AM 的中点,过 F 点在平面 ASM 内作 GF ? AM ,GF 交 AS 于 G,
连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的中点, G F
3

∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ?GFB 即为所求二面角. ∵ SM ?

2 ,则 GF ?

2 ,又∵ SA ? AC ? 6 ,∴ AM ? 2 2

0 ∵ AM ? AB ? 2 , ?ABM ? 60 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ? 3

在△ GAB 中, AG ?

6 0 , AB ? 2 , ?GAB ? 90 ,∴ BG ? 2
2 2

3 11 ?4 ? 2 2

1 11 ?3? GF ? FB ? BG 2 ? ?2 ? ? 6 cos?BFG ? ? 2 2GF ? FB 3 2 6 2? ? 3 2
2

G F

∴二面角 S ? AM ? B 的大小为 arccos(?

6 ) 3

6(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, 1

CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;
(2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB ? 1 , 依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A (0,0, 4) , E ? 1, , 0 ? 1

? 3 ? 2

? ?

(1) 证 明 : 易 得 EF ? ? 0, ,1? , A D ? (0,2, ?4) , 于 是 1

? 1 ? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? E ? ? ? D3 ? F A ? c o E F 1 A ?D ? ?1 ? ? ? ?? ? ? s , ? , ? E F 1 A D5

??? ?

???? ?

所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为

3 5

(2)解:设平面 EFD 的法向量 n = ( x, y, z ) ,则 n ? EF = 不妨令 x =1,可得 n =(1,2,-1),

??? 1 ? ??? ? 1 y ? z =0 且 n ? ED = ? x ? y =0, 2 2

设平面 A1ED 的法向量 m = m , ,p ) m ? ED = ? m ? ( 则 n

??? ?

???? ? 1 n =0 且 m ? DA1 = ?2n ? 4 p =0, 2

4

取 p =1,则 n =2, =1, m = 于是 m 则 (1,2,1) cos n,m =

n?m 2 5 从而 sin n,m = , = , |n || m | 3 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

5 3

6、2008 天津 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 解: (Ⅰ)证明:在 ?PAD 中,由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 ,AD=2 可得

PA 2 ? AD 2 ? PD 2 ,于是 AD ? PA 。在矩形 ABCD 中, AD ? AB .又 PA ? AB ? A ,
所以 AD ? 平面 PAB .

(Ⅱ)解:由题设, BC // AD ,所以 ?PCB (或其补角)是 异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ?PAB 中,由余弦定理得

PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB? cos PAB ? 7
由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB , 因而 BC ? PB , 于是 ?PBC 是直角三角形, 故 tan PCB ?

PB 7 ? BC 2 7 . 2

所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan

(Ⅲ)解:过点 P 做 PH ? AB 于 H,过点 H 做 HE ? BD 于 E,连结 PE 因为 AD ? 平面 PAB , PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD ? AB ? A , 因而 PH ? 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE ,从而 ?PEH 是二面角 P ? BD ? A 的平面角。 由题设可得,

5

PH ? PA ? sin 60? ? 3, AH ? PA ? cos 60? ? 1, BH ? AB ? AH ? 2, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 13, AD 4 HE ? ? BH ? BD 13
于是在 Rt?PHE 中, tan PEH ?

PH 39 ? HE 4 39 . 4

所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan

7、2011 广东如图 5.在椎体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的棱形,且∠DAB=60 ? ,

PA ? PD ? 2 ,PB=2,
E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ? 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值. (1)取 AD 中点为 G,因为 PA ? PD, PG ? AD. 又 AB ? AD, ?DAB ? 60?, ?ABD 为等边三角形,因此, BG ? AD ,从而 AD ? 平 面 PBG。 延长 BG 到 O 且使得 PO ? OB,又 PO ? 平面 PBG,PO ? AD, AD ? OB ? G, 所以 PO ? 平面 ABCD。 以 O 为坐标原点, 菱形的边长为单位长度, 直线 OB, 分别为 x OP 轴,z 轴,平行于 AD 的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系。

1 1 P(0, 0, m), G (n, 0, 0), 则A(n, ? , 0), D(n, , 0). 2 2 设

??? ? ??? ? 3 ?| GB |?| AB | sin 60? ? 2 ? B(n ? 3 3 3 1 n 3 1 m ,0,0), C (n ? ,1,0), E (n ? , ,0), F ( ? , , ). 2 2 2 2 2 4 2 2

???? ???? ??? ? 3 n 3 m AD ? (0,1, 0), DE ? ( , 0, 0), FE ? ( ? , 0, ? ) 2 2 4 2 由于

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AD ? DE ? 0, AD ? FE ? 0, AD ? DE, AD ? FE, DE ? FE ? E ? AD ? 平 面 得

6

DEF。

??? ? ??? ? 1 3 ? PA ? (n, ? , ?m), PB ? (n ? , 0, ?m) 2 2 (2)

? m2 ? n2 ?

1 3 2 3 ? 2, (n ? ) ? m2 ? 2, 解之得m ? 1, n ? . 4 2 2

取平面 ABD 的法向量

n1 ? (0,0, ?1), 设平面 PAD 的法向量 n2 ? (a, b, c)

??? ? ??? ? 3 b 3 b PA ? n2 ? 0, 得 a ? ? c ? 0,由PD ? n2 ? 0, 得 a ? ? c ? 0, 2 2 2 2 由
3 2 ? ? 21 . ? cos ? n1 , n2 ?? 3 7 7 n2 ? (1, 0, ). 1? 4 2 取 ?

8、2012 广东如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE 。

, (1) 证明: BD ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1 AD ?2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值;
解析】 (1) PC ? 平面 BDE , BD ? 面 BDE ? BD ? PC PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? BD ? PA 又 PA ? PC ? P ? BD ? 面 PAC ? ( 2 ) AC ? BD ? O 由 ( 1 ) 得 : B D PA ? 1, AD ? 2 ? AB ? 2 , 的平面角 在

A? C

? B A ,

A D

PC ? 平面 BDE ? BF ? PC OF? PC ?BFO 是二面角 B ? PC ? A ? , ?PBC
中 ,

PB ? 5, BC ? 2, PC ? 3 ? ?PBC ? 90? ? BE ?


Rt ?BOF

BP ? BC 2 5 ? PC 3
中 ,

BO ? 2, OE ? BF 2 ? BO 2 ?

2 BO ? tan ?BFO ? ?3 3 OF 得:二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3

7

8


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