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【全国百强校】四川省双流中学2015-2016学年高一下学期入学考试数学试题

时间:2016-04-22


四川省双流中学 2015-2016 学年度高一(下)入学考试





本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 共 4 页,共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

务必将选择题和填空题答案写在答题卷的相应位置.
<

br />第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.答案务必写在答题卷的相应位置. 1.若 sin ? ? 0 ,且 tan ? ? 0 ,则 ? 是 (A)第一象限角 (C)第三象限角 2.函数 f ( x ) ? cos(2 x ? (A) (B)第二象限角 (D)第四象限角

?
6

) 的最小正周期是
(B) ? (C) 2? (D) 4?

? 2

? x 2 ? 1, x ? 1 ? 3.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? , x ? 1 ? ?x
(A)

1 5

(B) 3

(C)

2 3

(D)

13 9

4.已知 a ? 3 , b ? 2 ,若 a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角为 (A)

? 3

(B)

? 4
uu u r

(C)

2? 3

(D)

3? 4

5.如图所示,向量 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,

uur

uuu r

uuu r uur 若 AC ? ?3CB ,则
1 3 (A ) c ? ? a ? b 2 2
(C) c ? ?a ? 2b

A B

3 1 (B) c ? a ? b 2 2
(D) c ? a ? 2b

O

C

2 2 2 3 3 6.三个实数 p ? ( ) ,q ? ( ) 4,r ? log 2 3 的大小关系正确的是 3 3

(A) p ? q ? r

(B) q ? r ? p
x

(C) r ? p ? q

(D) p ? r ? q

7.根据表格中的数据,可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为

x
ex

?1

0
1 2

1

2

3 20.09 5
(D) (2,3)

0.37
1
(B) (0,1)

2.72 3
(C) (1, 2)

7.39
4

x?2
(A) (?1, 0)

8.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化的情况:一种是即时曲线 y ? f ( x) , 另一种平均价格曲线 y ? g ( x) ,如 f (2) ? 3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元;

g (2) ? 3 表示 2 小 时内的平均价格为 3 元.下面给出了四个图象,实线表示 y ? f ( x) ,虚
线表示 y ? g ( x) ,其中可能正确的是

(A)

(B)

(C)

(D)

9.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假 设在某放射性元素的衰变过程中,其含量 M 与时间 t (单位:年)满足函数关系:M (t ) ? M 0e? kt ( M 0 , k 均为非零常数, e 为自然对数的底数) ,其中 M 0 为 t ? 0 时该放射性元素的含 量,若经过 5 年衰变后还剩 余 90 % 的含量,则该放射性元素衰变到还剩余 40 % ,至少需要经过(参考数据: ln 0.2 ? ?1.61 , ln 0.4 ? ?0.92 , ln 0.9 ? ?0.11 ) (A)40 年 (B)4 1 年 (C)42 年 (D)43 年

?2 x ?1 ? 1, 0? x ? 2 ? 10 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? 1 ,则关于 x 的方程 f ( x ? 2), x ? 2 ? ?2
2 6[ f (x )] ? f (x ? ) 1 ? 的实数根的个数为 0

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

第 II 卷(共 100 分)

[来源:学科网 ZXXK]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案务必写在答题卷的 相应位置. 11.已知 a = ? 4,2? , b = ? 6, y ? ,且 a / / b ,则 y ? 12.已知 cos ? ?

. .

4 , ? ? (0, ? ) ,则 tan ? ? 5

[来源:学科网 ZXXK]

13. 已 知 向 量 a, b, c 彼 此 不 共 线 , 且 a, b, c 两 两 所 成 的 角 相 等 , 若 a ? 1 , b ? 1 , c ? 3 , 则

a+b+c ?



14. 已 知 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 2)? f ( x ), 且 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? x , 若 在 区 间 [?1,3] 上 函 数

g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是________ _____.
15.设 a , b 是两个非零向量,则下列命题为真命题的是 ①若 a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? b ? a ? b ; ②若 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a + b 的夹角为 60 ? ; ③若 a ? b ? a ? b ,则存在非零实数 ? ,使得 b ? ? a ; ④若存在非零实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 a ? b ? a ? b ; ⑤若 a 与 b 共线且同向,则 a ? b ? a b . 其中的正确的结论是 (写出所有正确结论的序号) .

数学答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11.________________. 14.________________. 12.________________. 15.________________. 13.________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)计算 lg8 ? 3lg 5 ;

1 ?2 7 1 0 (Ⅱ)计算 (0.027) ? (? ) ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) . 7 9
?

1 3

17. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的终边经过点 P ( , ? ) (Ⅰ)求 sin ? 的值;

4 5

3 5

sin(
(Ⅱ)求

tan(? ? ? ) 的值. sin(? ? ? ) cos(3? ? ?) 2 ?

?

??)

1 8. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3 f ( x ) (Ⅰ)求函数 的单调递增区间;
? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2



19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ?1 2x ? 1

(Ⅰ)试判断函数的单调性并加以证明; (Ⅱ)当 f ( x) ? a 恒成立时,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 某电力公司调查了某地区夏季居民的用电量 y (万千瓦时)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的 函数,记作 y ? f (t ) ,下表是某日各时的用电量数据:

t (时) y (万千瓦时)

0 2.5

3 2

6 1.5 2

9
[来源:学科网]

12 2.5

15 2

18 1.5

21 2

24 2.5

经长期观察 y ? f (t ) 的曲线可近似地看成函数 y ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0,0 ? ? ? ? ) . (Ⅰ)根据以上数据,求出函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 的解析式; (Ⅱ)为保证居民用电,电力部门提出了“消峰平谷”的想法,即提高高峰时期的电价,同时降低低峰时

期的电价, 鼓励企业在低峰时用电. 若居民用电量超过 2.25 万千瓦时, 就要提高企业用电电价, 请依据 (Ⅰ) 的结论,判断一天内的上午 8:00 到下午 18:00,有几个小时要提高企业电价?

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

21.(本小题满分 14 分)

?, 对 于 函 数 f ( x) , g ( x )

( x ) ) 那 么 称 ? ( x) 为 如 果 存 在 实 数 a , b 使 得 ? ( x ) ? a ? f ( x)? b? g( x ,

f ( x), g ( x) 的线性组合函数.如对于 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x 2 ? 2 x , ? ( x) ? 2 ? x2 ,存在 a ? 2, b ? ?1 ,
使得 ? ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ,此时 ? ( x) 就是 f ( x), g ( x) 的线性组合函数.
2 2 2 (Ⅰ)设 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? x, ? ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,试判断 ? ( x) 是否为 f ( x), g ( x)

的线性组合函数?并说明理由; ( Ⅱ ) 设 f ( x) ? log 2 x, g ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ? 1 , 线 性 组 合 函 数 为 ? ( x) , 若 不 等 式
2

? 3? 2 ( x ? ) ? 2 x? ( ) m ? 在 x? 0? ? 2, 4 ? 上有解,求实数 m 的取值范围;
(Ⅲ)设 f ( x) ? x, g ( x) ? 的取值范围.

1 ?1 ≤ x ≤ 9 ? ,取 a ? 1, b ? 0 ,线性组合函数 ? ( x) 使 ? ( x) ≥ b 恒成立,求 b x

参考答案
[来源:学科网 ZXXK]

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.3. 12.

3 . 4

13.2.

14. (0, ] .

1 4

15. ③⑤.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) 3 .????????????????????????????6 分 (Ⅱ) ?45 .??????????????????????????12 分 17. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) ?

3 .????????????????????????????6 分 5 5 (Ⅱ) .????????????????????????????12 分 4

18. (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)令 2k ? ?

? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ( k ? Z) 2 3 2 ? ?? ? x ? k? ? (k ? Z) 解得 k ? ? 12 12 ? ? 5? , k ? ? ]( k ? Z) ?????6分 所以函数 y ? sin(2 x ? ) 的单调增区间为 [k ? ? 3 12 12
? 2

(Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? [0, ?] , (2 x ? ) ?[? , 所以当 2 x ?

? 3

? ?? ] 3 3

3 ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, y ? s in(2 x ? ) 取得最小值 ? ; 3 3 3 2 ? ? ?? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, y ? sin(2 x ? ) 取得最大值 1 ?????12 分 3 2 12 3 x 2 ?x 19.解析: (Ⅰ)函数 f ( x) ? x 的定义域为 R,函数 f ( x) 在 R 上是增函数, 2 ?1 设 x1 , x 2 是 R 内任意两个值,并且 x1 ? x 2
则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ? ? 2 x1 ? 2 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

2(2 x1 ? 2 x2 ) ??????????????????????????5 分 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2(2 x1? ? 2 x2 ) ? 0. 即? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? f ( x) 是 R 上的增函数.???????????????????????7 分

(Ⅱ) f ( x) ?

2x ?1 2 ? 1? x x 2 ?1 2 ?1
2 ?2 1? 2x 2 ? ?1 ? 1 ? ?1 1? 2x ?0 ?

? 2x ? 0

?2x ?1 ? 1

? ?2 ?

2 ?0 1? 2x 即 ? 1 ? f ( x) ? 1???????????????????????????10 分 , a ? 1??????????????????????12 分 当 f ( x) ? a恒成立时

20.解析: (Ⅰ)由表中数据,知 T ? 12 , ? ? 由?

?
6



? A ? B ? 2.5 ? ,得 A ? 0.5 , B ? 2 ∴ y ? 0.5sin( x ? ? ) ? 2 . 6 ?? A ? B ? 1.5 ? 又函数 y ? 0.5sin( x ? ? ) ? 2 过点 (0, 2.5) . 6 ? ? 代入,得 ? ? ? 2 k? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? . 2 2 ? ? 故所求函数解析式为 y ? 0.5sin( x ? ) ? 2 .????????????????5 分 6 2 ? ? (Ⅱ)由题意知, 0.5sin( x ? ) ? 2 ? 2.25 . 6 2 ? ? ? 1 ∴ 0.5sin( x ? ) ? 0.25 即 cos x ? . 6 2 6 2 ? ? ? ∴ ? ? 2 k? ? t ? ? 2 k? ( k ? Z ) . 3 6 3 ∴ ?2 ? 12k ? t ? 2 ? 12k ( k ? Z ) .????????????? ????????10 分 ∵ 0 ? t ? 24 ,故可令 k ? 0,1, 2 ,得 0 ? t ? 2 或 10 ? t ? 14 或 22 ? t ? 24 .
∴在一天内的上午 8:00 到下午 18:00,有 4 个小时要提高企业电价.??????13 分 21(本小题满分 14 分)


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