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立体几何几个经典题型


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立体几何(理科)
1、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,
P

AD ? CD , DB 平 分 ?ADC , E 为 的 PC 中 点 ,

AD ? CD ? 1, DB ? 2 2
(1)证明: PA // 平面 BDE (2)证明: AC



E

A

B

? 平面 PBD

D

C

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值

2、 (本题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面

ABC , ?ABC
是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E , F , O 分别为 PA ,
A E F

P

PB , AC 的 中 点 , AC ? 16 ,

G O B

C

PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面

BOE ;
(II)证明: 在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA ,OB 的 距离.

3、如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE= (I) (II)

1 AD 2

F

E

求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; 求平面 AMD 与平面 CDE 所成角的大小;
A M P Q B C D

(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

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4.如图,在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直底面) ABC ? A1 B1C1 中, AB ? D 是 A1 B1 的中点,点 E 在 A1C1 上,且 DE ? AE 。 (I) (II) 证明平面 ADE ? 平面 ACC1 A1
B1 A1 E D

2 AA1 ,
C1

求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值。

A

C

B

5 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, AB= 3 ,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (1) 在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离; (2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离.
P

E D

C

A B

6、如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧
D1

棱 CC1 上的一点, CP ? m 。
A1 B1

C1

P

(Ⅰ) 、试确定 m ,使直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正切值
D

为3 2 ;
A B

C

(Ⅱ) 、在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m , D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。

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7、 如图所示, 等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 , 高 CD ? 3 , 点 E 是线段 BD 上异于点 B,D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF 的位置,使

PE ⊥ AE , 记 BE ? x , V ( x ) 表示四棱锥 P ? ACFE
的体积. (1)求 V ( x ) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x ) 取得最大值?
F A D

P

E

B

(3) 当 V ( x ) 取得最大值时, 求异面直线 AC 与 PF 所 成角的余弦值.

C

8、

如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都
S

是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证: AC ? SD ; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P ? AC ? D 的大小; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。
B A

P

D C

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答案: 立体几何与空间向量解答题(理科) 1、 【解】 证明:设 AC ? BD ? H ,连结 EH,在 ?ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分

?ADC ,所以 H 为 AC 的中点,又有题设,E 为 PC 的中点,故 EH // PA ,又

HE ? 平面BDE, PA ? 平面BDE ,所以 PA // 平面BDE .
(2)证明:因为 PD ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD , 所以 PD ? AC 由 (1) 知,BD ? AC , PD ? BD ? D, 故 AC ? 平面PBD (3)解:由 AC ? 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的 射影,所以 ?CBH 为直线与平面 PBD 所成的角。 由
E

P

A H D C

B

AD ? CD , AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 , 可得DH ? CH ?
在 Rt?BHC 中,tan ?CBH ?

2 3 2 , BH ? 2 2

CH 1 ? ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 BH 3

1 。 3
2、证明: (I)如图,连结 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴, y 轴,

z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,.
O ? 0, 0, 0 ? , A(0, ?8, 0), B (8, 0, 0), C (0,8, 0),



z

P(0, 0, 6), E (0, ?4,3), F ? 4, 0,3? , 由 题 意 得 , ??? ? ??? ? G ? 0, 4, 0 ? , 因 OB ? (8, 0, 0), OE ? (0, ?4, 3) , 因此平面 ? ??? ? BOE 的 法 向 量 为 n ? (0,3, 4) , FG ? ( ?4, 4, ?3 得 ? ??? ? n ? FG ? 0 , 又直线 FG 不 在平 面 BOE 内, 因此 有
FG / / 平面 BOE

P

E F A O B G y C

x

(II)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 , 0 ? ,则 FM ? ( x0 ? 4, y0 , ?3) ,因为 FM ? 平面 BOE,所以 有 FM // n ,因此有 x0 ? 4, y0 ? ?

???? ?

???? ? ?

9 ? 9 ? ,即点 M 的坐标为 ? 4, ? , 0 ? ,在平面直角坐标系 xoy 4 4 ? ?

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?x ? 0 ? 中, ?AOB 的内部区域满足不等式组 ? y ? 0 ,经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组, ?x ? y ? 8 ?
所以在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,由点 M 的坐标得点 M 到 OA ,OB 的 距离为 4,

9 . 4

3、分析:本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用 空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。 【解】方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE / / AP,所以 FA / / EP,同理 AB / / PC。 又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC,EP⊥AD。 由 AB⊥AD,可得 PC⊥AD 设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a ,故∠CED= 60? 。所以异 面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°。 (II)因为 DC ? DE且M为CE的中点,所以DM ? CE.连结MP,则MP ? CE.
又MP ? DM ? M,故CE ? 平面AMD. 而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ? 平面CDE.

故平面 AMD 与平面 CDE 所成角的大小为

? . 2

(III) 解:设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CE ? DE,所以EQ ? CD.因为

PC ? PD,所以PQ ? CD,故?EQP为二面角A ? CD ? E的平面角.
由(I)可得, EP ? PQ,EQ ?

6 2 a,PQ ? a. 2 2
PQ 3 ? , EQ 3

于是在Rt?EPQ中, cos ?EQP ?

方法二:如图所示,建立空间直角坐标系, 点 A 为 坐 标 原 点 。 设 AB ? 1 依 题 意 得 B?1, 0, 0?, C ?1, 1, 0?, ,

D ?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?,

?1 1? F?0, 0, 1?, M? , 1, ?. ?2 2?
(I) 解: BF ? ?? 1, 0, 1?, DE ? ?0, ? 1, 1?,

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于是 cos BF, DE ? BF ? DE BF DE ? 0 ? 0 ?1 1 ? . 2? 2 2

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60? . (II)证明:由AM ? ? , 1, ?, CE ? ?? 1, 0, 1?, AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 ,

?1 ?2

1? 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.

而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ? 平面CDE.
(III) 解:设平面CDE的法向量为u ? ( x,y,z ),则?

? ?u ? CE ? 0, ? ?u ? DE ? 0.

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1) . ? ? y ? z ? 0.
又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0, 0, 1).

所以, cos u,v ?

u ? v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . uv 3 3 ?1

【点评】 纯几何方法求角: 求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算 问题,求异面直线所成的角时,需要选点平移,一般是设法在其中一条直线 上选出一个恰 当的点来平移另一条直线, 然后计算其中的锐角或直角; 线面角的计算关键是找出直线在平 面上的射影,通常需要由直线上的某一点向平面作垂线,求出的应当是一个锐角或直角;面 面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成, 找平面角的方法有定义法、 三垂线定理 法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上 不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法,计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角. 向量法求角给解题带来了极大的方便,其规律见后面的【温馨提示】 。 4、 【解】 (I) 如图所示, 由正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的性质知 AA1 ? 平面 A1 B1C1 ,又 DE ? 平 面 A 1 B 1 C 1 ,所以 DE ? AA 1 . 而 DE ? AE。AA 1 ? AE=A C1A1。 所以 DE ? 平面 AC C 1 A 1 ,又 DE ? 平面 ADE,故平面 ADE ? 平面 AC

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(2)
A1 E D H B1

C1

解法 2

如图所示,设 O 使 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角

坐标系,不妨设 A A 1 = 2 ,则 AB=2,相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0), B( 3 ,0,0) , C 1 (0,1, 2 ) , D(

3 , 2

A F B

C

1 - , 2) 。 2
易知 AB =( 3 ,1,0), AC1 =(0,2, 2 ), AD =( 设平面 ABC 1 的法向量为 n ? ( x, y , z ) ,则有

3 1 ,- , 2 ) 2 2

??? ? ?n ? AB ? 3x ? y ? 0 3 ? ,解得 x=y, z=- 2 y , ? ???? 3 n ? AC ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?
故可取 n=(1,- 3 , 6 )。 所以, cos n, AD =

????

n·AD n · AD

=

2 3 10 ? 3

=

10 。 5 10 。 5

由此即知,直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为

【点评】 本题主要考查面与面之间的关系和线面关系, 同时考查空间想象能力和推理运算能 力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现: “作出来、证出来、指出来、算 出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角,它的三条边分别是 平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角,几何法一般 先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解;向量法则利用斜线和射影的夹角或考

虑法向量,用公式计算 sin ? =

PM ? n PM ? n

( M ? 直线 l ,P? 面 ? ,? 是 l 与平面 ? 所成的角,

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? n 是平面 ? 的法向量,有 ? ? ? -?或? =? - ? ) 2 2
6、 【解】(1) 建立空间直角坐标系 A-BDP,则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、 B(
3

, 0, 0)、C(
1 2

3

, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,

1 2

, 1),依题设 N(x, 0, z),

则 NE =(-x,

, 1-z),由于 NE⊥平面 PAC,

? ? NE ? AP ? 0 ∴? ? ? NE ? AC ? 0
? ?(? x , ? 即? ?(? x , ? ? 1 , 1 ? z ) ? (0, 0, 2) ? 0 ?z ? 1 ? 0 ? 2 ?? 1 1 ? 3x ? ? 0 ? , 1 ? z ) ? ( 3 , 1, 0) ? 0 ? 2 2
P

z

E D

y

C

? 3 ?x ? ?? 6 ,即点 N 的坐标为( ?z ? 1 ?

3 6

, 0, 1),

A B x

从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1,

3 6

.
| NA ? NE | | NE |

(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d ,? NE 是平面 PAC 的法向量,则 d=
3 3 1 , 0, 1) ? (? , , 0) | 1 3 6 6 2 ? ? 3? 12 12 . 3 1 | (? , , 0) | 6 2

|(



〖例 9〗如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧棱 CC1 上的一点,

CP ? m 。
(Ⅰ) 、 试确定 m , 使直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正 切值为 3 2 ; (Ⅱ) 、 在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q, 使得对任意的
A1

D1

C1

B1

P

D

C

A

B

m ,D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。
【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力

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和推理运算能力,考查运用向量知识解决数学问题的能力。 9、 【解】法 1: (Ⅰ)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1 B1 相交于点,,连 结 OG, 因为 PC∥平面 BDD1 B1 , 平面 BDD1 B1 ∩平面 APC=OG,
D1 C1

故 OG∥PC,所以,OG=

1 m PC= . 2 2

O1 A1 B1

P

又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1 B1 ,
D G C

故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1 B1 所成的角.
A

O B

2 OA 1 在 Rt△AOG 中,tanAGO= ? 2 ? 3 2 ,即 m= . m GO 3 2
所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

(Ⅱ)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。

〖例 10〗如图所示,等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 BD 上异于 点 B,D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF 的 位置,使 PE ⊥ AE ,记 BE ? x , V ( x ) 表示四棱锥
P

P ? ACFE 的体积.
(1)求 V ( x ) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x ) 取得最大值?
F C A D E B

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(3)当 V ( x ) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值. 10、 【解】 (1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC, S?ABC ? 9 6 , S?BEF ?
V ( x) ? 6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) ; 3 12 6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时, v '( x) ? 0 ,V(x)单调递增; 6 ? x ? 3 6 时 3 4 x2 6 2 ? S?BDC ? x 54 12

(2) V '( x ) ?

v '( x) ? 0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ;

(3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则

BM BF BE BE ? ? ? , MB ? 2BE ? 12 ,PM= 6 2 , 1 AB BC BD AB 2

MF ? BF ? PF ?

6 3 6

BC ?

6 54 ? 9 ? 42 , 3

在△PFM 中, cos ?PFM ?

84 ? 72 2 2 ? ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 42 7 7

【点评】本题采用了函数思想在立体几何中的应用。

〖例 11〗 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍, P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证: AC ? SD ; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P ? AC ? D 的大小; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 11、 【解】法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。 在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,所以 AC ? 平面SBD , 得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ?
B A D C P S

2a 。

又 OD ?

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2

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连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 300 , 即二面角 P ? AC ? D 的大小为 300 。 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE / / 平面PAC

由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行 4

线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 ?BDN 中知 BN / / PO ,又由于 NE / / PC ,故平面

BEN / / 平面PAC

, 得

BE / / 平面PAC

, 由 于
z S

SN:NP ? 2: 1 ,故 SE:EC ? 2: 1.
解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意 知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐标原点, OB, OC, OS 分别为

N

x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。
A

E

P

D

6 设底面边长为 a ,则高 SO ? a。 2
于是

B x

O C y

S (0, 0,

6 2 2 2 a ), D(? a, 0, 0) C (0, a, 0) , OC ? (0, a, 0) 2 2 2 2 OC ? SD ? 0

SD ? (?

2 6 a, 0, ? a) 2 2

故 OC ? SD ,从而 AC ? SD (Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的一个法向量 2 2

OS ? (0, 0,

6 a) , 2
OS ? DS OS DS ? 3 ,所求二面角的大小为 300 2

设所求二面角为 ? ,则 cos ? ?

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(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE / / 平面PAC .由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向

量,且

DS ? (

2 6 2 6 a, 0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2 2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2



CE ? tCS , 则 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (?

而 BE ? DC ? 0 ? t ?

1 ,即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS 3

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE / / 平面PAC 。 【点评】解决存在性问题一般是两种思路,一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的 量;二是首先假设其存在,然后通过推理论证或计算如果得出了一个合理的结果,就说明其 存在;如果得出了一个矛盾的结果,则说明其不存在。


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