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[201-2015学年]2015年福州市第一学期高三期末理科数学


福州市 2014-2015 学年度第一学期高三质量检查

理科数学试卷
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选项中有 且只有一个选项是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. 如图,复平面上的点 Z1 , Z2 , Z3 , Z4 到原点的距离都相等.若复数 z 所对应的点为 Z 1 ,则复数 z 的共轭复数所对应的点为( A. Z 1 C. Z 3 B. Z 2 D. Z 4 ) . C. ?1 ) . ) .
Z2 O Z3 y Z1 Z4 x

π 2. 已知 tan( ? ? ) ? 3 ,则 tan? 的值是( 4
A.2 B.

第 1 题图

1 2

D. ?3

3. 已知 A ? B ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的(

?

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序 框图执行(其中 a 为座位号) ,并以输出的值作为下一个输入的值. 若第一次输入的值为 8,则第三次输出的值为( A.8 C.29 分的概率为( A. C. ) . B. D. B.15 D.36
第 4 题图

) .

5. 如图, 若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子, 则豆子落在图中阴影部

1 π 3 π

2 π 1 2
-1共 12 页 第 5 题图

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6. 已知函数 f ? x ? ? lg(1 ? x) 的值域为 (??,1] ,则函数 f ? x ? 的定义域为( A. [?9, ??) B. [0, ??) C. ( ?9,1)

) .

D. [ ?9,1)

7. 已知抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 0.5 .现采用随机模拟试验的方法 估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率:先由计算器产生 0 或 1 的随机数, 用 0 表示正面朝上,用 1 表示反面朝上;再以每三个随机数做为一组,代表这三次 投掷的结果.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 101 111 010 101 010 100 100 011 000 011 010 001 111 011 100 000 A. 0.30 B. 0.35 C. 0.40 111 101 110 101 ) . D. 0.65

据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为(

8. △ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c . 若 为( A. 60 ? 9. 若双曲线 ? :
2 2

cos A b ? ? 2 ,则角 C 的大小 cos B a
D. 120?

) . B. 75 ? C. 90 ?

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点 ? 4,0 ? 到其渐近线的距离为 2 3 ,则 2 a b
) . B. 3 C .2 D.4

双曲线 ? 的离心率为( A. 2

? ?ab, a ? 0 , 10.定 义 运 算 “ ? ”为 : a ? b ? ? a ?b . 若 函 数 f ( x) ? ( x ? 1) ? x , 则 该 函 数 的 图 ? ?2 ,a ≥ 0 象大致是( ) .
y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 x –3 –2 –1 y 5 4 3 2 1 O 1 x

A

B

C

11.已知 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 的坐标分别为 ? 0,1? ,

?

2,0 , ? 0, ?2 ? ,O 为坐标原点, 动

?

D

点 P 满足 CP ? 1 ,则 OA ? OB ? OP 的最小值是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1

) . D. 3

C. 3 ? 1

12.已知直线 l : y ? ax ? b 与曲线 ? : x ?

1 ? y 没有公共点.若平行于 l 的直线与曲线 ? 有 y

且只有一个公共点,则符合条件的直线 l ( A.不存在 B.恰有一条
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) . C.恰有两条
共 12 页

D.有无数条

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分, 把答案填在答题卡的相应位置上. )
? x ≤ 0, ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ? y ≥ 0, ,则 z ? x ? y 的最小值为 ★ ★ ★ . ?y ? x≤ 2 ?

14.已知 (1 ? x)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ? a6 x6 , 则 a0 , a1 , ???, a6 中的所有偶数 的 .. 和等于 ★ ★ ★ . 15.已知椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 9 的左焦点为 F1 ,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点, O 为坐标 原点.若点 D 是线段 PF1 的中点,则 ?F1OD 的周长为 ★ ★ ★ . 16. 若数列 ?an ? 满足 an?1 ? an?1 ? 2an ( n ? 2 ) ,则称数列 ?an ? 为凹数列.已知等差数
? bn ? 列 ?bn ? 的公差为 d ,b1 ? 2 , 且数列 ? ? 是凹数列, 则 d 的取值范围为 ★ ★ ★ . ?n? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , a1 , a 2 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?2n ? an ? 的前 n 项和 Sn .

18.(本小题满分 12 分) “ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受挑战, 要么选择为慈善机构捐款 (不接受挑战) , 并且不能重复参加该活动. 若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可 以邀请另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不 影响. (Ⅰ)若某被邀请者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概率是多少? (Ⅱ)假定(Ⅰ)中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定,现记 X 为接下来被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

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共 12 页

19.(本小题满分 12 分)
?? ? 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? 在同一半周期内的图象过点 O, P, Q ,其中 O 为坐标原 ?4 ?

点, P 为函数 f ( x) 图象的最高点, Q 为函数 f ( x) 的图象与 x 轴 的正半轴的交点. (Ⅰ)试判断 ?OPQ 的形状,并说明理由. ( Ⅱ ) 若 将 ?O P Q绕 原 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转 角
?? k 时,顶点 P ?, Q ? 恰好同时落在曲线 y ? ? x ? 0? 上 ? 2? x

y
P' P

? ?0 ? ? ?

? ?

Q' O Q

x

(如图所示) ,求实数 k 的值. 20.(本小题满分 12 分)

第 19 题图

一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时,它才能起到有效治疗的作用.已知每服 用 m ( 1 ≤ m ≤ 4 且 m ? R )个单位的药剂,药剂在血液中的含量 y (克)随着时间 x (小
? 10 ,0 ≤ x ? 6, ? ?4 ? x 时)变化的函数关系式近似为 y ? m ? f ( x) ,其中 f ? x ? ? ? . ?4 ? x ,6 ≤ x ≤ 8 ? 2 ? (Ⅰ)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时? (Ⅱ)若病人第一次服用 2 个单位的药剂,6 个小时后再服用 m 个单位的药剂,要使 接下来的 2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 ? 的顶点为坐标原点,焦点为 F (0,1) . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)若点 P 为抛物线 ? 的准线上的任意一点,过点 P 作抛物线 ? 的切线 PA 与 PB , 切点分别为 A, B ,求证:直线 AB 恒过某一定点; (Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论,反思其解题过程,再对命题(Ⅱ)进行变式和推广.请写 出一个你发现的真命题 ,不要求证明(说明:本小题将根据所给出的命题的正确性和一 ... 般性酌情给分) . 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ex sin x ? cos x, g ? x ? ? x cos x ? 2e x ,其中 e 是自然对数的底数.

π (Ⅰ)判断函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 内的零点的个数,并说明理由; 2 ? π? ? π? (Ⅱ) ?x1 ? ?0, ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,试求实数 m 的 ? 2? ? 2? 取值范围; (Ⅲ)若 x ? ?1 ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0 .
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理科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 7.B 8.C 9.C 10.D 11.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 6.D 12.C

13. ?2 14.32 15. 3 ? 6 16. (??, 2] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等 基础知识,考查应用能力、运算求解能力,考查函数与方程思想. 解: (Ⅰ)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根分别为 1,2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 依题意得 a1 ? 1 , a2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 所以 q ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2n ? an ? n ? 2n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ??? ? n ? 2n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ② 2 ? Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 , · 由①-②得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ?2n ? n ? 2n ?1 , ·
n 2? 2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? n ? 2n?1 , · 1? 2 所以 Sn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18.本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识,考查运算求 解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.



?Sn ?

解法一: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A 、 B 、 C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人不接 受挑战. 这 3 个人参与该项活动的可能结果为: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种; · 其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有:? A, B, C? ,? A, B, C? ,? A, B, C? ,? A, B, C? , 共有 4 种. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4 1 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 8 2 (说明:若学生先设“用 ? x, y, z ? 中的 x, y, z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战 的 情 况 ”, 再 将 所 有 结 果 写 成

?

? ?

? ?

? ?

?

? A, B, C ?

,

) ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? ,不扣分.

? A, B, C ?

,

? A, B, C ?



(Ⅱ)因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以每个人接受挑战的概率为 ,不接受挑战的概率也为 . · 2 2
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1 6 3 ?1? ?1? 1?1? ?1? ?? ? ? ? 所以 P ? X ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C6 , ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 32
0 6 2?1? P ? X ? 2 ? ? C6 ?2? ? ? 4?1? P ? X ? 4 ? ? C6 ?2? ? ? 2

0

6

5

? 1 ? 15 3?1? ?? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 32
1

3

4

? 1 ? 15 5?1? ?? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
0

5

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . · ? ? ? ? 故 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 6 X 1 3 15 5 15 3 1 P 16 64 32 64 64 32 64 10 分 1 3 15 5 15 3 1 所以 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3 . 64 32 64 16 64 32 64 故所求的期望为 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二:因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以每个人接受挑战的概率为 ,不接受挑战的概率也为 . · 2 2 (Ⅰ)设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战”, 1 ?1? ?1? 3?1? ? .· 则 P( M ) ? C32 ? ? ? ? ? ? C3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ? 2? ? 2? ? 2? 2 (Ⅱ)因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数, ? 1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 X ~ B ? 6, ? .· ? 2? 1 6 3 0?1? ?1? 1?1? ?1? 所以 P ? X ? 0 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 , P ? X ? 1? ? C6 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 64 ? 32 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 15 ? 1 ? 20 5 3?1? P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , , P ? X ? 3? ? C6 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 16
2 6 4?1? P ? X ? 4 ? ? C6 ?2? ? ? 4 2 4 3 3 0 6 5 2 3

6

? 1 ? 15 5?1? ?? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
0

2

5

6 3 ?1? ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 32

1

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . ? ? ? ? 故 X 的分布列为: 0 X 1 P 64 10 分 1 所以 E ? X ? ? 6 ? ? 3 . 2

6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 3 32 2 15 64 3 5 16 4 15 64 5 3 32 6 1 64

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故所求的期望为 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函 数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识,考查运算求解能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 解法一: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 理由如下: ?? ? 因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? , ?4 ? 2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4, 所以 T ? ? 4 所以 OQ ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又因为 P 为函数 f ( x) 图象的最高点, 所以点 P 坐标为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 3) ,所以 OP ? 4 , · 又因为 Q 坐标为 (4, 0) ,所以 PQ ? (2 ? 4)2 ? (2 3 ? 0)2 ? 4 , 所以 ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,
? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) , · 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 4cos ? ? ? ?,4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3? 3 ?? ? ? ? ?? ? ?? 2 k ? 代入 y ? ,得 k ? 16cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 8sin(2? ? π) , 3? ? 3? 3 x ? 且 k ? 16sin ? cos ? ? 8sin 2? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 ? 所以 sin 2? ? sin(2? ? π) ,结合 sin 2 (2? ) ? cos2 (2? ) ? 1 , 0 ? ? ? , 3 2 1 解得 sin 2? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 所以 k ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 理由如下: ?? ? 因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? , ?4 ? 2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4,所以 OQ ? 4 , · 所以 T ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 4 因为 P 为函数 f ( x) 的图象的最高点,

所以点 P 坐标为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 3) ,所以 OP ? 4 ,所以 OP ? OQ . ·
2 3 ? 3 ,所以 ?POQ ? 60? , 2 所以 ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

又因为直线 OP 的斜率 k ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,
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? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) ,· 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 4cos ? ? ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , 3 3 ?? ? ? ? ? k 因为点 P? , Q? 在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上, x ? ?? ? ?? ? ?k ? 16 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? , 所以 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3? ? 3 ? ,· ? ?k ? 16sin ? cos ? ?

2 ? ?k ? 8sin(2? ? π), 所以 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ,· ?k ? 8sin 2? ? 2 消去 k 得, sin 2? ? sin(2? ? π) , 3 2 2 所以 sin 2? ? sin 2? cos π ? cos 2? sin π , 3 3 3 3 3 cos 2? ,所以 tan 2? ? 所以 sin 2? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 3 ? ? 1 又因为 0 ? ? ? ,所以 2? ? ,所以 sin 2? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 6 2 所以 k ? 4 .所以所求的实数 k 的值为 4.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法三: (Ⅰ)同解法一或同解法二; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?OPQ 为等边三角形. k 因为函数 y ? ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? k 由图象可知,当 ? ? 时,点 P? , Q? 恰在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x 12 ? ? 此时点 Q? 的坐标为 (4cos , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 4sin ) , · 12 12 ? ? ? 所以 k ? 16sin cos ? 8sin ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 12 12 6 20. 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知 识,考查应用意识、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想等. ? 30 ,0 ≤ x ? 6, ? ?4 ? x 解: (I)因为 m ? 3 ,所以 y ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ?12 ? 3x ,6 ≤ x ≤ 8 ? 2 ? 30 当 0 ≤ x ? 6 时,由 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ≥ 2 ,解得 x ≤11 ,此时 0 ≤ x ? 6 ; · 4? x 3x 20 20 当 6 ≤ x ≤ 8 时,由 12 ? ≥ 2 ,解得 x ≤ ,此时 6 ≤ x ≤ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 3 3 20 综上所述, 0 ≤ x ≤ . 3
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20 小时. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 1 10 10m ]?8? x? (Ⅱ)当 6 ≤ x ≤ 8 时, y ? 2 ? (4 ? x) ? m[ ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4 ? ( x ? 6) x?2 10m 因为 8 ? x ? ≥ 2 对 6 ≤ x ≤ 8 恒成立, x?2 x2 ? 8x ? 12 即 m≥ 对 6 ≤ x ≤ 8 恒成立, 10 x2 ? 8x ? 12 等价于 m ≥( · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 )max , 6 ≤ x ≤ 8 .· 10 x2 ? 8x ? 12 ( x ? 4)2 ? 4 令 g ( x) ? ,则函数 g ( x) ? 在 [6, 8]是单调递增函数, · · · · · · · · · · · · · · 10 分 10 10 6 x2 ? 8x ? 12 当 x = 8 时,函数 g ( x) ? 取得最大值为 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 10 6 6 所以 m ≥ ,所以所求的 m 的最小值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 5 解法二: (Ⅰ)同解法一; 1 10 10m ]?8? x? (Ⅱ)当 6 ≤ x ≤ 8 时, y ? 2 ? (4 ? x) ? m[ ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4 ? ( x ? 6) x?2 10m 注意到 y1 ? 8 ? x 及 y2 ? ( 1 ≤ m ≤ 4 且 m ? R )均关于 x 在 [6,8] 上单调递减, x?2 10m 则 y ?8? x ? 关于 x 在 [6,8] 上单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x?2 6 10m 5m 5m 故 y ≥8 ? 8 ? ,由 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ≥ 2 ,得 m ≥ , · 8?2 3 3 5 6 所以所求的 m 的最小值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 21. 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基 础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特 殊与一般思想等. 解: (Ⅰ)依题意可设抛物线 ? 的方程为: x2 ? 2 py ( p ? 0 ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 p 由焦点为 F (0,1) 可知 ? 1 ,所以 p ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 所以所求的抛物线方程为 x 2 ? 4 y . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ)方法一: ? x2 ? ? x2 ? 1 设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,由(Ⅰ)知, y ? ? x . 4 4 2 ? ? ? ?
故若一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗的时间可达

1 1 x1 , k2 ? y? x ? x ? x2 , 2 2 2 1 2 1 1 2 1 故切线 PA、PB 的方程分别为 y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ) , y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) , · · · · · · · · · · · · · 4分 4 2 4 2
则切线 PA、PB 的斜率分别为 k1 ? y? x ? x ?
1

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x ? x2 ? x? 1 , ? x ?x 1 ? 2 联立以上两个方程,得 ? .故 P 的坐标为 ( 1 2 , x1 x2 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 4 ?y ? 1 x x 1 2 ? 4 ? 1 因为点 P 在抛物线 ? 的准线上,所以 x1 x2 ? ?1 ,即 x1 x2 ? ?4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程 x 2 ? 4 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , 所以 x1 x2 ? ?4m ,即 ?4m ? ?4 ,所以 m ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 故 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,故直线 AB 恒过定点 (0,1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
? x2 ? ? x2 ? 方法二:设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,设 P ? m, ?1? , 4? ? 4? ? 易知直线 PA、PB 斜率必存在,可设过点 P 的切线方程为 y ? 1 ? k ? x ? m ? .

? y ? 1 ? k ? x ? m? , 由? 2 ,消去 y 并整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? km ? 1? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ① ? x ? 4 y, 因为切线与抛物线有且只有一个交点,

所以 ? ? ? 4k ? ? 16(km ? 1) ? 0 ,整理得 k 2 ? mk ? 1 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ②
2

所以直线 PA、PB 斜率 k1 ,k2 为方程②的两个根,故 k1 ? k2 ? ?1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 另一方面,由 ? ? 0 可得方程①的解为 x ? 2k , 所以 x1 ? 2k1 , x2 ? 2k2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 假设存在一定点,使得直线 AB 恒过该定点,则由抛物线对称性可知该定点必在 y 轴 上,设该定点为 C (0, c) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则 CA ? ( x1 ,
x12 x2 ? c) , CB ? ( x2 , 2 ? c) . 4 4

所以 CA// CB , x2 x2 xx 所以 x1 ( 2 ? c ) ? ( 1 ? c) x2 ? 0 ,整理得 c( x1 ? x2 ) ? 1 2 ( x2 ? x1 ) 4 4 4 所以 x1 ? x2 , xx 4k k 所以 c ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4 4 所以直线 AB 过定点 ? 0,1? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ) 结论一: 若点 P 为直线 l : y ? t( t ? 0 ) 上的任意一点, 过点 P 作抛物线 ? : x2 ? 2 py ( p ? 0 )的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 (0, ?t ) . · · · · · · · · · · · · · · 12 分 结论二:过点 Q ? 0, m ? ( m ? 0 )任作一条直线交抛物线 ? : x2 ? 2 py ? p ? 0? 于 A, B 两点, 分别以点 A, B 为切点作该抛物线的切线, 两切线交于点 P , 则点 P 必在定直线 y ? ?m 上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 结论三:已知点 P 为直线 l : y ? kx? b 上的一点,若过点 P 可以作两条直线与抛物线
? : x 2 ? 2 py ( p ? 0 )相切,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 ? pk , ?b ? .· · · · · · 12 分

说明:①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论; ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变;
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③该小题评分可对照以下表格分等级给分: 得分 答题情况 写出与命题(ⅰ)无关的结论. 0分 所给命题的条件与结论均存在问题. 将准线或抛物线改为其它特殊情况,结论正确. 1分 将准线或抛物线其中一个一般化,但结论中的定点(或定直线)有误. 写出命题的逆命题,结论正确.( 其它分点逆命题相应给分) 2分 将准线和抛物线都推广成一般情况,但结论中的定点(或定直线)有误. 将准线和抛物线其中一个推广成一般情况,结论正确. 3分 将准线和抛物线都推广成一般情况,但 m ? 0, p ? 0 中漏写一个或两个. 4分 将准线和抛物线都推广成一般情况,结论正确. 22.本题主要考查函数的零点、函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结 合思想等. π 解:(Ⅰ)函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2 理由如下: 因为 f ? x ? ? ex sin x ? cos x ,所以 f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

π ,所以 f ?( x) ? 0 , 2 π 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上是单调递增函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 π π 因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f ( ) ? e 2 ? 0 , 2 根据函数零点存在性定理得 π 函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 (Ⅱ)因为不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 等价于 f ( x1 ) ≥ m ? g ( x2 ) , π π 所以 ?x1 ?[0, ], ?x2 ?[0, ] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,等价于 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 f ( x1 )min ≥ ? m ? g ( x2 ) ?min ,即 f ( x1 )min ≥ m ? g ( x2 )max . ·
因为 0 ? x ?

π π 当 x ?[0, ] 时, f ? ? x ? ? ex sin x ? e x cos x ? sin x ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增,所 2 2 以 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
又 g ? ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2ex ,由于 0 ≤ cos x ≤1, x sin x ≥ 0, 2e x ≥ 2 ,

π 所以 g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减, 2 因此, x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
? 2 ?1 . 所以 ?1≥ m ? ? 2 ,所以 m ≤-

?

?

所以实数 m 的取值范围是 ??, ?1 ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? .·
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?

(Ⅲ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 f ? x ? ? g ? x ? , 只要证 e x sin x ? cos x ? x cos x ? 2e x , 只要证 e x sin x ? 2 ? ? x ? 1? cos x ,
ex cos x ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x ? 1 sin x ? 2 ex cos x ? 下面证明 x ? ?1 时,不等式 成立. x ? 1 sin x ? 2

?

?

由于 sin x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,只要证

令 h ? x? ?

e x ? x ? 1? ? e x xe x ex ? ,则 , h x ? ? ? ? ? x ? ?1? 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取得极小值也就是最小值为 1. 令k ?
cos x sin x ? 2

,其可看作点 A ? sin x,cos x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率,

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 , 由于点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交或相切, 当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 ? 1 ? h ? 0 ? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k . · 故 x ? 0 时, k ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

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福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《数列复习》适应性练习B卷

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福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《三角函数》适应性练习B卷

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福建省福州市2015届高三上学期期末质量检测数学理试题含答案

福州市 2014-2015 学年度第一学期高三质量检查 理科数学试卷(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,...

福建省福州市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)

福建省福州市 2015高三学期期末数学试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)如图,复平面上的点 Z1、Z2、Z3、Z4 ...

福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《立体几何》适应性练习A卷

福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《立体几何》适应性练习A卷_数学_高中教育_教育专区。福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《立体几何》适应性练习A...