nbhkdz.com冰点文库

2018届高三数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明夯基提能作业本理

时间:2017-10-28


第二节

不等式的证明

A 组 基础题组 1.如果 x>0,比较( -1) 与(
2

+1) 的大小.

2

2.已知 a,b,c 都是正数,求证:

≥abc.

3.已知 x,y 都是正数,求证:x + y ≥x y+xy .

3

3

2

2

4.已知△ABC 的三边长分别是 a,b,c,且 m 为正数,求证:

+

>

.

1

5.设 n 是正整数,求证: ≤

+

+…+ <1.

6.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:

(1)ab+bc+ca≤ ;

(2) + + ≥1.

B 组 提升题组

7.(2016 江西赣州一模)设 a、b 为正实数,且 + =2

.

2

(1)求 a +b 的最小值; (2)若(a-b) ≥4(ab) ,求 ab 的值.
2 3

2

2

8.(2016 江西质量检测)已知函数 f(x)=|x-1|. (1)解不等式 f(2x)+f(x+4)≥8;

(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:

>f

.

3

答案全解全析 A 组 基础题组 1. 解析 ( =( =-4 因为 所以( -1+ . >0,所以-4 -1) <(
2

-1) -(

2

+1)

2

+1)[(

-1)-(

+1) ]

<0,
2

+1) .
2 2 2 2 2 2 2

2. 证明 因为 b +c ≥2bc,a >0,所以 a (b +c )≥2a bc.① 同理,b (a +c )≥2ab c,② c (a +b )≥2abc .③ ①②③相加得 2(a b +b c +c a )≥2a bc+2ab c+2abc , 从而 a b +b c +c a ≥abc(a+b+c).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0,因此 3. 证明 (x +y )-(x y+xy ) =x (x-y)+y (y-x) =(x-y)(x -y ) =(x-y) (x+y), ∵x,y 都是正数,∴(x-y) ≥0,(x+y)>0, 即(x +y )-(x y+xy )≥0, ∴x +y ≥x y+xy .
3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

≥ abc.

4. 证明 要证

+

>

,

只需证 a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0, 即证 ab c+abm+acm+am +abc+abm+bcm+bm -abc-acm -bcm-cm >0, 即证 abc+2abm+(a+b-c)m >0. 由于 a,b,c 分别是△ABC 的三边长,故有 abc>0,ab>0,a+b>c. 因为 m>0,所以(a+b-c)m >0,2abm>0, 所以 abc+2abm+(a+b-c)m >0 成立,
2 2 2 2 2 2

因此

+

>

成立.
4

5. 证明 由 2n≥n+k>n( k=1,2,…,n),

得 ≤

< .

当 k=1 时, ≤

< ;

当 k=2 时, ≤ ……

< ;

当 k=n 时, ≤

< ,

所以 = ≤

+

+…+ < =1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

6. 证明 (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) =1, 即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1, 所以 3(ab+bc+ca)≤1,
2 2 2 2

即 ab+bc+ca≤ .

(2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,

故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c),

即 + + ≥a+b+c.

所以 + + ≥1. B 组 提升题组

7. 解析 (1) 由 2

= + ≥2

得 ab≥ ,

当 a=b= 时取等号.

5

故 a +b ≥2ab≥1,当 a=b= 时取等号. 所以 a +b 的最小值是 1.
2 2

2

2

(2)由(a-b) ≥4(ab) 得

2

3

≥4ab.



- ≥4ab,从而 ab+ ≤2.

又 ab+ ≥2,所以 ab+ =2, 又 a,b 为正实数,所以 ab=1. 8. 解析 (1)f( 2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|

=

当 x<-3 时,由-3x-2≥8,解得 x≤- ;

当- 3≤x< 时,-x+4≥8 无解;

当 x≥ 时,由 3x+2≥8,解得 x≥2. 所以不等式 f(2x)+f(x+4)≥8 的解集为

.

(2) 证明:

>f

等价于 f(ab)>|a|f

,

即|ab-1|>|a-b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.
2 2 2 2 2 2 2 2



>f

.

6


赞助商链接

...选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法 ...

2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法 含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届高考数学(理)...

2018届高三数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二...

2018届高三数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件夯基提能作业本理 - 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 A 组 基础...

2018届高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第...

2018届高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理 - 第三节 合情推理与演绎推理 A 组 基础题组 1.正弦函数是奇...

2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第七章 不...

2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第七章 不等式第四节 基本不等式及其应用 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第四节 基本不等式及其应用 A 组...

2018届高三数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不...

2018届高三数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题夯基提能作业本文_数学_高中教育_教育专区。第三节 二元一次不等式(组)及...

2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节...

2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式夯基提能作业本理 - 第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 A 组 ...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性夯基提能作业本理 - 第二节 导数与函数的单调性 A 组 基础题组 1.函数 f(x)=e -x ...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用夯基提能作业本理_数学_高中教育_教育专区。第四节 导数的综合应用 A 组 基础题组 1.(2016 ...

2018届高三数学一轮复习第二章函数第八节函数与方程夯...

2018届高三数学一轮复习第二章函数第八节函数与方程夯基提能作业本理 - 第八节 函数与方程 A 组 基础题组 1.(2015 安徽,2,5 分)下列函数中,既是偶函数...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数...

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性夯基提能作业本文_数学_高中教育_教育专区。第二节 x 导数与函数的单调性 A组 基础题组 )...