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福建省2015届高三上学期第三次月考试卷数学(理) Word版含答案

时间:2014-12-27


四地六校 2014-2015 学年上学期第三次月考试卷 高三理科数学
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,只有一项是符合题目要求的。 1、已知 R 为实数集, M ? {x x 2 ? 2 x ? 0} , N ? {x y ? x ? 1} ,则 M ? (C R N ) ? ( A.{x|0<x<1} B.{x|x<2} C.{x

|0<x<2} D. ? )

1 2.设 a ? (sin x,1), b ? ( , cos x) ,且 a // b ,则锐角 x 为( ) 2
A.

? 3
a 3
b a
3

B.

? 4

C.

? 6
3

D.

? 12


3.棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为(

a a a C. D. 4 6 12 4.在等比数列 {an } 中, a5 ? a6 ? a(a ? 0), a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 的值是( )
A. B. A. B.

3

3

b2 a2

C.

b2 a

D.

b a2


5. 在各项都为正数的等差数列 {an } 中, 若 a1+a2+…+a10=30, 则 a5· a6 的最大值等于 ( A. 3 B. 6 C .9 D. 36

6.设 l , m , n 表示三条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,给出下列四个命题: ①若 l ⊥ ? , m ⊥ ? ,则 l ∥ m ; ②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ⊥ l ,则 m ⊥ n ; ③若 m ? ? , m ∥ n ,则 n ∥ ? ; ④若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? . 其中真命题为( A.①② B.①②③ C.①②③④ ) D.③④

7.将函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图像向右平移 n 个单位后所得图像关于 y 轴对称,则 n 的最 小正值是( A. ) B.

? 6

? 2

C.

7? 6

D.

? 3

8.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心, M 为棱 BB1 的中点,则下列结论中错误 的是( ) .. A.D1O∥平面 A1BC1 B. D1O⊥平面 AMC D.二面角 M-AC-

C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60° B 等于 45° 9.已知函数 f(x)= 1 ? x ?

x2 x3 x4 x 2015 ? ? ??? ,则下列结论正确的是 2 3 4 2015
B. f(x)在(-1,0)上恰有一个零点

A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点

-1-

C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 10.某同学在研究函数 f ( x) ?

D. f(x)在(-1,0)上恰有两个零点

x ( x ?R) 时,分别给出下面几个结论: 1? x
②函数 f (x) 的值域为 (-1,1);

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立;

③若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号是( A.①② B.①②③ ) C. ①③④ D.①②③④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11. tan 600 ?
?



?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ?x ? 2 y ? 0 ?
13. 如图, 一个几何体的三视图是三个直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为





1
3 4 主视图 2 左视图

2 3 4 5 6 7 8 9 10
………… 第 14 题图

俯视图 14.如图,自然数列按正三角形图顺序排列,如数 9 排在第 4 行第 3 个位置;设数 2015 排在 第 m 行第 n 个位置,则 m ? n ?
x 15 .已知函数 f ( x) ? 10 , 若对任意实数 m, n, p ,有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,

f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值为

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( n ? Ν* ,常数 c ? 0 ) ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

3 x x x cos ? 3 cos 2 - 3 3 3 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期及其对称中心; (2)如果三角形 ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f (3x) 的值域。

18. (本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC ,

BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点。
(I)求证: AB1 // 面 BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值

19.(本小题满分 13 分) 如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的边长为 2, 直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30° .

-3-

20.(本小题满分 14 分) 设曲线 y ?

ax3 1 2 ? bx ? cx (a ? 0) 在点 x 处的切线斜率为 k ( x) ,且 k (?1) ? 0 。 3 2
1 2 ( x ? 1) 恒成立 2

对一切实数 x ,不等式 x ? k ( x) ? (I)求 k (1) 的值。 (II)求函数 k ( x) 的表达式;

(III)求证:

1 1 1 2n ? ??? ? k (1) k (2) k ( n) n ? 2

21.(本题满分 14 分) 请考生在第(I) 、 (II) 、 (III)题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分。 I. 选修 4—2 矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ?

? 1 4? ? ? ? 2 3?
-1

(1)求 A 的逆矩阵 A



(2)求 A 的特征值及对应的特征向量。

II.选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? t ? ( t 为参数) 和圆 C 的极坐标方程:? ? 2 2 sin(? ? ) 。 4 ? y ? 1 ? 2t (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系。
已知直线 l 的参数方程:? III.选修 4-5:不等式证明选讲 将 12cm 长的细铁线截成三条长度分别为 a 、 b 、 c 的线段, (1)求以 a 、 b 、 c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值; (2)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和的最小值。

四地六校第三次月考试卷参考答案
一、选择题 1.B 2. B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B

-4-

二、填空题 11. 3 三、解答题 16、解: (1)由题知, a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 ,又 c ? 0 ,故 c ? 2 . (2)当 n ? 2 时,由 an?1 ? an ? cn 得 ………2 分 ………4 分 ………6 分 12.6; 13.29 ? 14. 125 15.lg
4 3

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,


an ? an?1 ? (n ?1)c ,
以上各式相加,得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ... ? ( n ? 1)]c ? 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? n2 ? n ? 2(n ? 2) , 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? n ? 2 ( n ? Ν* ) .

n(n ? 1) c, 2

………9 分 ………11 分 ………12 分 ………13 分

2x 1 ? cos x x x 3 1 2 x 2 3 ? 3 17、解:(1) f ( x) ? sin cos ? 3 cos ? ? sin ? 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2x ? 2x ? 2x ? cos ? cos sin ? sin( ? ) …………….4 分 = sin 3 3 3 3 3 3 2? ……………5 分 ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? 3? 2 3
? 3k? ? ? ? ,0? f ? x ? 的对称中心为 ? 2 ? ? 2
(2)

?k ? z?

…………….6 分

b2 ? ac

? cos x ?

2 2 a2 ? c 2? b 2 a ? c ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

………..8 分

? 又 x ? ? 0, ? ? ? x ? (0, ] 3
而 f ? 3x ? ? sin ? 2 x ?

……………9 分

? ?

??
? 3?

……………10 分

? ?? ? ? 由 x ? (0, ] ,得 2 x ? ? ? , ? ? 3 3 ?3 ?

-5-

?? ? ? f ? 3x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ?0,1? 3? ?
18.解: (1)连接 B1C,交 BC1 于点 O,则 O 为 B1C 的中点, ∵D 为 AC 中点, ∴OD∥B1A

……………….13 分

………………2 分

又 B1A ? 平面 BDC1,OD ? 平面 BDC1 ∴B1A∥平面 BDC1 (也可证明 AB1 ? n 且 AB1 ? 平面 BDC1) (2)∵AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1 ∴CC1⊥面 ABC 则 BC⊥平面 AC1,CC1⊥AC ………………4 分

如图以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 x 轴,CB 所在直线为 y 轴, CC1 所在直线为 z 轴 建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ………………7 分 ∴设平面 C1DB 的法向量为 n ? (x, y, z) ,由 n ? C 1 D, n ? C1B

? ? ? x ? 3z ? 0 ?n ? C1 D ? 0 得 ?? ,即 ? ,取 z ? 2 , 则 n ? (6,3, 2) 2 y ? 3z ? 0 ? ? n ? C B ? 0 1 ?
又平面 BDC 的法向量为 CC1 ? (0,0,3) cos ? C1C, n ? ?

………………9 分

………………10 分

C1 C ? n | C1C || n |

?

2 7

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

又二面角 C1—BD—C 为锐二面角 ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 19.解:

2 7

-6-

20.解: (I)由对一切实数 x ,不等式 x ? k ( x) ?

1 2 ( x ? 1) 恒成立 2

-7-

得 1 ? k (1) ?

1 (1 ? 1) , 2

? k (1) ? 1

…………3 分

(II) k ( x) ? y? ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

?a ? b ? c ? 1 由 k (1) ? 1, k (?1) ? 0 得 ? ?a ? b ? c ? 0
又 x ? k ( x) ?



1 ? a?c ? ? ? 2 ? ?b ? 1 ? 2 ?

…………5 分

1 2 ( x ? 1) 恒成立 2

? ?a ? 0 ? 1 1 1 ? 2 则由 ax ? x ? c ? 0 (a ? 0) 恒成立得 ?? ? ? 4ac ? 0 ? a ? c ? 2 4 4 ? 1 ? a?c ? ? 2 ?
1 1 1 x ? ? c ? 0 恒成立得 a ? c ? 2 2 4 1 1 1 2 1 1 ? k ( x) ? x ? ? 综上, a ? c ? , b ? 4 2 4 2 4
同理由 ( ? a) x ?
2

…………7 分

1 2

…………8 分 …………9 分

(III) k (n) ?

n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ? ? 4 4 k (n) (n ? 1) 2
1 1 1 n ? 2 ??? ? 2 2 2n ? 4 2 3 (n ? 1)

…………10 分

要证原不等式,即证:

…………11 分

?

1 1 1 1 ? ? ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? 2 ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )? ? ? 2 2 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4 2 3 (n ? 1)

?

?

1 1 1 2n ? ??? ? k (1) k (2) k ( n) n ? 2

…………14 分

注:第(III)小题也可用数学归纳法证明。

-8-

21. I. 解: (1)∵ | A |? 1? 3 ? 2 ? 4 ? ?5
? 3 ?? ?? 5 ? 2 ? ? 5 4 ? ? 5 ? 1 ? ? ? 5?

∴A 可逆

…………1 分

∴A

?1

……………………3 分

(2)A 的特征多项式 f (? ) ?

?4 ? (? ? 1)(? ? 3) ? 8 ? ?2 ? 4? ? 5 ………4 分 ?2 ? ?3 由 f (? ) ? 0 ,得 ? ? 5 或 ? ? ?1 ; ……………………5 分 ? 4x ? 4 y ? 0 ?1? 当 ? ? 5 时,由 ? 得特征向量 ?1 ? ? ?1? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ?? 2 x ? 4 y ? 0 ? ? 2? 当 ? ? ?1 时,由 ? 得特征向量 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ……………………7 分 ?? 2 x ? 4 y ? 0 ? ?
……………………3 分

? ?1

II. 解: (1) l : 2 x ? y ? 1 ? 0 , C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 (2)圆心 C (1,1) ,半径 r ? 圆心到直线的距离为 d ?

2
? r ,∴直线和圆相交。
……………………7 分

|2| 5

III.解: (1) a ? b ? c ? 12 , V ? abc ? (

当且仅当 a ? b ? c ? 4 时,等号成立.

a?b?c 3 ) ? 64 ; 3
……………………3 分

(2)设正三角形的边长为 l , m, n ,则 l ? m ? n ? 4 由柯西不等式 (l 2 ? m 2 ? n 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? (l ? m ? n) 2 ? 16 ………5 分 ∴这三个正三角形面积和 S ? 当且仅当 l ? m ? n ?

3 2 3 16 4 3 (l ? m 2 ? n 2 ) ? ? ? 4 4 3 3

4 时,等号成立. 3

∴这三个正三角形面积和的最小值为

4 3 3

……………………7 分

-9-


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