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重庆市实验中学2015-2016学年八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版


重庆市实验中学 2015-2016 学年八年级数学上学期期中试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.2cm,3cm,5cm B.3cm,3cm,6cm C.5cm,8cm,2cm 2.下列图形是轴对称图形的有( )

D.4cm,5cm,6cm

>A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3. 如图, △ABC≌△BAD, 点 A 和点 B, 点 C 和点 D 是对应点, 如果 AB=6cm, BD=5cm, AD=4cm, 那么 AC 的长是( )

A.4cm B.5cm C.6cm D.无法确定 4.和点 P(2,﹣5)关于 x 轴对称的点是( ) A. (﹣2,﹣5) B. (2,﹣5) C. (2,5) D. (﹣2,5) 5.等腰三角形的一个角是 50°,则它的底角是( A.50° B.50°或 65° C.80° D.65° 6.下列两个三角形中,一定全等的是( ) A.有一个角是 40°,腰相等的两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.有一个角是 100°,底相等的两个等腰三角形 D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形 7.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长等于( A.12 B.12 或 15 C.15 D.15 或 18 ) )

8.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与 书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是( )

A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA

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9.如图,图中直线表示三条相互交叉的路,现要建一个货运中转站,要求它到三条公路的 距离相等,则选择的地址有( )

A.4 处 B.3 处 C.2 处 D.1 处 10.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( )

A.60° B.75° C.90° D.95° 11.如图,在 Rt△AEB 和 Rt△AFC 中,BE 与 AC 相交于点 M,与 CF 相交于点 D,AB 与 CF 相 交于 N, ∠E=∠F=90°, ∠EAC=∠FAB, AE=AF. 给出下列结论: ①∠B=∠C; ②CD=DN; ③BE=CF; ④△ACN≌△ABM. 其中正确的结论是( )

A.①③④

B.②③④

C.①②③

D.①②④

12.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E 是 BC 的中点,DE 平分∠ ADC,如图,则下列说法正确的有几个,大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出正确答 案,是( ) (1)AE 平分∠DAB; (2)△EBA≌△DCE; (3)AB+CD=AD; (4)AE⊥DE; (5)AB∥CD.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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二、填空题(本答题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. 已知△ABC≌△A′B′C′, A 与 A′, B 与 B′是对应点, △A′B′C′周长为 9cm, AB=3cm, BC=4cm,则 A′C′=__________cm. 14.等腰三角形的一个内角是 80°,则另外两个内角的度数分别为__________. 15.如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为:__________ (只添加一个条件即可)Q.

16. 如图, 已知 AD=AE, BE=CD, ∠1=∠2=110°, ∠BAC=80°, 则∠CAE 的度数是__________.

17. 如图△ABC 中, AD 是 BC 上的中线, BE 是△ABD 中 AD 边上的中线, 若△ABC 的面积是 24, 则△ABE 的面积是__________.

18.在△ABC 中,AB=6,AC=8,则 BC 边上中线 AD 的取值范围为__________.

三、解答题(共 78 分) 19.如图,已知:AB 平分∠CAD,AC=AD.求证:BC=BD.

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20.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

21.如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE.

22.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE 交 AB 于 E.求证:△CEB 是等腰三角形.

23.如图,AD 是△ABC 的中线,CE⊥AD 于 E,BF⊥AD,交 AD 的延长线于 F.求证:CE=BF.

24.已知,如图,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,∠CAF=∠DAF.求证:AF⊥CD.

25.已知:∠AOB=90°,∠EOF=90°,AO=BO,EO=FO,连结 AE、BF.则 AE 与 BF 有什么关 系,并说明理由.

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26. 如图①, 将两块全等的三角板拼在一起, 其中△ABC 的边 BC 在直线 l 上, AC⊥BC 且 AC=BC; △EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,EF⊥FP 且 EF=FP. (1)在图①中,请你通过观察、测量,猜想并直接写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置 关系,并证明; (2)将三角板△EFP 沿直线 l 向左平移到图②的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP、BQ.猜 想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想.

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2015-2016 学年重庆市实验中学八年级(上)期中数学试卷

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.2cm,3cm,5cm B.3cm,3cm,6cm C.5cm,8cm,2cm D.4cm,5cm,6cm 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”, 进行分析. 【解答】解:根据三角形的三边关系,知 A、2+3=5,不能组成三角形; B、3+3=6,不能组成三角形; C、2+5<8,不能组成三角形; D、4+5>6,能够组成三角形. 故选 D. 【点评】 此题考查了三角形的三边关系. 判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数 的和是否大于第三个数. 2.下列图形是轴对称图形的有( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互 相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断. 【解答】解:图(1)有一条对称轴,是轴对称图形,符合题意; 图(2)不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线 两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不符合题意; 图(3)有二条对称轴,是轴对称图形,符合题意; 图(3)有五条对称轴,是轴对称图形,符合题意; 图(3)有一条对称轴,是轴对称图形,符合题意. 故轴对称图形有 4 个. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠 后可重合. 3. 如图, △ABC≌△BAD, 点 A 和点 B, 点 C 和点 D 是对应点, 如果 AB=6cm, BD=5cm, AD=4cm, 那么 AC 的长是( )

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A.4cm B.5cm C.6cm D.无法确定 【考点】全等三角形的性质. 【专题】证明题. 【分析】根据△ABC≌△BAD,及对应为点 A 对点 B,点 C 对点 D,可知 AD=BC,AC=BD,已知 BC 的长即可知 AC 的长. 【解答】解:∵△ABC≌△BAD,对应为点 A 对点 B,点 C 对点 D, ∴AC=BD, ∵BD=5cm(已知) , ∴AC=5cm. 故选 B. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,解答此题的关键在于寻找全等三角形的对应边、对 应角和对应点. 4.和点 P(2,﹣5)关于 x 轴对称的点是( ) A. (﹣2,﹣5) B. (2,﹣5) C. (2,5) D. (﹣2,5) 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】点 P(m,n)关于 x 轴对称点的坐标 P′(m,﹣n) ,然后将题目已经点的坐标代入 即可求得解. 【解答】解:根据轴对称的性质,得点 P(2,﹣5)关于 x 轴对称的点的坐标为(2,5) . 故选:C. 【点评】此题考查了平面直角坐标系点的对称性质,属于对一般知识性内容的考查,难度不 大,学生做的时候要避免主观性失分. 5.等腰三角形的一个角是 50°,则它的底角是( ) A.50° B.50°或 65° C.80° D.65° 【考点】等腰三角形的性质. 【专题】分类讨论. 【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可. 【解答】解: 当底角为 50°时,则底角为 50°, 当顶角为 50°时,由三角形内角和定理可求得底角为:65°, 所以底角为 50°或 65°, 故选 B. 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,分两种情况讨论是解题的关键. 6.下列两个三角形中,一定全等的是( ) A.有一个角是 40°,腰相等的两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.有一个角是 100°,底相等的两个等腰三角形

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D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形 【考点】全等三角形的判定;等腰三角形的性质. 【分析】 根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析, 从而得到答 案. 【解答】解:A、不正确,没有指明该角是顶角还是底角; B、不正确,虽然其角相等,但边不一定相等; C、正确,分析得该 100 度角只能为顶角,符合判定 SAS; D、不正确,没有指明边与角具体是腰还是底边,是顶角还是底角. 故选 C. 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系; 给定等腰三角形的一角是锐角 时,应分情况讨论,AAA 不能判定两个三角形全等. 7.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长等于( ) A.12 B.12 或 15 C.15 D.15 或 18 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【专题】计算题. 【分析】 由于等腰三角形的两边长分别是 3 和 6, 没有直接告诉哪一条是腰, 哪一条是底边, 所以有两种情况,分别利用三角形的周长的定义计算即可求解. 【解答】解:∵等腰三角形的两边长分别是 3 和 6, ∴①当腰为 6 时,三角形的周长为:6+6+3=15; ②当腰为 3 时,3+3=6,三角形不成立; ∴此等腰三角形的周长是 15. 故选 C. 【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算,也利用了等腰三角形的性质,同时也利用了 分类讨论的思想. 8.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与 书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是( )

A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【考点】全等三角形的应用. 【分析】根据图象,三角形有两角和它们的夹边是完整的,所以可以根据“角边角”画出. 【解答】解:根据题意,三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定 理作出完全一样的三角形. 故选 D. 【点评】 本题考查了三角形全等的判定的实际运用, 熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的 关键. 9.如图,图中直线表示三条相互交叉的路,现要建一个货运中转站,要求它到三条公路的 距离相等,则选择的地址有( )

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A.4 处 B.3 处 C.2 处 D.1 处 【考点】角平分线的性质. 【分析】 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等, 可得三角形内角平分线的交 点满足条件; 然后利用角平分线的性质, 可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距 离也相等,这样的点有 3 个,可得可供选择的地址有 4 个. 【解答】解:∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等, ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件; 如图:点 P 是△ABC 两条外角平分线的交点, 过点 P 作 PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC, ∴PE=PF,PF=PD, ∴PE=PF=PD, ∴点 P 到△ABC 的三边的距离相等, ∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有 3 个; 综上,到三条公路的距离相等的点有 4 个, ∴可供选择的地址有 4 个. 故选:A.

【点评】 本题考查了角平分线的性质. 掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关 键,注意数形结合思想的应用. 10.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( )

A.60° B.75° C.90° D.95° 【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】根据图形,利用折叠的性质,折叠前后形成的图形全等. 【解答】解:∠ABC+∠DBE+∠DBC=180°,且∠ABC+∠DBE=∠DBC;故∠CBD=90°. 故选 C. 【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决此类问题,应结合题意,最好实 际操作图形的折叠,易于找到图形间的关系.

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11.如图,在 Rt△AEB 和 Rt△AFC 中,BE 与 AC 相交于点 M,与 CF 相交于点 D,AB 与 CF 相 交于 N, ∠E=∠F=90°, ∠EAC=∠FAB, AE=AF. 给出下列结论: ①∠B=∠C; ②CD=DN; ③BE=CF; ④△ACN≌△ABM. 其中正确的结论是( )

A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 根据题目中所给的大部分选项先判断该证明哪两个三角形全等, 然后对各选项采取 排除法得到正确选项. 【解答】解:∵∠EAC=∠FAB ∴∠EAB=∠CAF 又∵∠E=∠F=90°,AE=AF ∴△ABE≌△ACF ∴∠B=∠C,BE=CF. 由△AEB≌△AFC 知:∠B=∠C,AC=AB; 又∵∠CAB=∠BAC, ∴△ACN≌△ABM; (故④正确) 由于条件不足,无法证得②CD=DN;故正确的结论有:①③④; 故选 A. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求 证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件. 12. 在数学活动课上, 小明提出这样一个问题: ∠B=∠C=90°, E 是 BC 的中点, DE 平分∠ADC, 如图,则下列说法正确的有几个,大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出正确答案,是 ( ) (1)AE 平分∠DAB; (2)△EBA≌△DCE; (3)AB+CD=AD; (4)AE⊥DE; (5)AB∥CD.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质. 【分析】此题可以通过作辅助线来得解,取 AD 的中点 F,连接 EF.根据平行线的性质可证

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得(1) (4) (5) ,根据梯形中位线定理可证得(3)正确.根据全等三角形全等的判定可证 得(2)的正误,即可得解. 【解答】解:如图:取 AD 的中点 F,连接 EF. ∵∠B=∠C=90°, ∴AB∥CD;[结论(5)] ∵E 是 BC 的中点,F 是 AD 的中点, ∴EF∥AB∥CD,2EF=AB+CD(梯形中位线定理)①; ∴∠CDE=∠DEF(两直线平等,内错角相等) , ∵DE 平分∠ADC, ∴∠CDE=∠FDE=∠DEF, ∴DF=EF; ∵F 是 AD 的中点,∴DF=AF, ∴AF=DF=EF②, 由①得 AF+DF=AB+CD,即 AD=AB+CD;[结论(3)] 由②得∠FAE=∠FEA, 由 AB∥EF 可得∠EAB=∠FEA, ∴∠FAE=∠EAB,即 EA 平分∠DAB;[结论(1)] 由结论 (1) 和 DE 平分∠ADC, 且 DC∥AB, 可得∠EDA+∠DAE=90°, 则∠DEA=90°, 即 AE⊥DE; [结论(4)]. 由以上结论及三角形全等的判定方法,无法证明△EBA≌△DCE. 正确的结论有 4 个,故选 D.

【点评】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角 形的判定等知识点,是一道难度较大的综合题型. 二、填空题(本答题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. 已知△ABC≌△A′B′C′, A 与 A′, B 与 B′是对应点, △A′B′C′周长为 9cm, AB=3cm, BC=4cm,则 A′C′=2cm. 【考点】全等三角形的性质. 【分析】全等三角形的对应边相等,周长也相等,可据此求出 A′C′的长,做题时要根据 已知找准对应边. 【解答】解:∵△ABC≌△A′B′C′,A 与 A′,B 与 B′是对应点, ∴A′C′=AC, 在△ABC 中,周长为 9cm,AB=3cm,BC=4cm, ∴AC=2cm,即 A′C′=2cm. 故填 2. 【点评】本题考查了全等三角形的性质;要熟练掌握全等三角形的性质,注意求边长时要在 同一个三角形中进行.

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14. 等腰三角形的一个内角是 80°, 则另外两个内角的度数分别为 50°, 50°或 20°、 80°. 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】80°的角可作底角,也可作顶角,故分两种情况进行计算即可. 【解答】解:①当 80°的角是顶角,则两个底角是 50°、50°; ②当 80°的角是底角,则顶角是 20°. 故答案是 50°,50°或 20°、80°. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是注意分情况进行讨论. 15.如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为:BC=EF(只 添加一个条件即可)Q.

【考点】全等三角形的判定. 【专题】开放型. 【分析】本题是开放题,应先确定题中给出的条件,再对应三角形全等条件求解. 【解答】解:所添条件为:BC=EF. ∵BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE ∴△ABC≌△DEF(SAS) . 【点评】本题考查了全等三角形的判定,三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角 形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后 再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 16.如图,已知 AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAC=80°,则∠CAE 的度数是 20°.

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】运用 SAS 证明△ABD≌△ACE,得∠B=∠C.根据三角形内角和定理可求∠C 和∠CAE 的度数. 【解答】解:∵BE=CD,∴BD=CE. 在△ABD 和△ACE 中,

∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴∠B=∠C. ∵∠BAC=80°, ∴∠C=(180°﹣80°)÷2=50°. ∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°.

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故答案为 20°. 【点评】 此题考查等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理, 证明三角形为等腰三角形 是关键. 17. 如图△ABC 中, AD 是 BC 上的中线, BE 是△ABD 中 AD 边上的中线, 若△ABC 的面积是 24, 则△ABE 的面积是 6.

【考点】三角形的面积. 【专题】计算题. 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分,求出面积比,即可解答. 【解答】解:∵AD 是 BC 上的中线, ∴S△ABD=S△ACD= S△ABC, ∵BE 是△ABD 中 AD 边上的中线, ∴S△ABE=S△BED= S△ABD, ∴S△ABE= S△ABC, ∵△ABC 的面积是 24, ∴S△ABE= ×24=6. 故答案为:6. 【点评】 本题主要考查了三角形面积的求法, 掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两 部分,是解答本题的关键. 18.在△ABC 中,AB=6,AC=8,则 BC 边上中线 AD 的取值范围为 1<AD<7. 【考点】全等三角形的判定与性质;三角形三边关系. 【分析】延长 AD 到 E,使 DE=AD,然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等,根据全等 三角形对应边相等可得 CE=AB,然后根据三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边求出 AE 的取值范围,然后即可得解. 【解答】解:如图,延长 AD 到 E,使 DE=AD, ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴BD=CD,

在△ABD 和△ECD 中, ∴△ABD≌△ECD(SAS) , ∴CE=AB,



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∵AB=6,AC=8, ∴8﹣6<AE<8+6, 即 2<AE<14, 1<AD<7. 故答案为:1<AD<7.

【点评】本题考查了三角形的三边关系,全等三角形的判定与性质,遇中点加倍延,作辅助 线构造出全等三角形是解题的关键. 三、解答题(共 78 分) 19.如图,已知:AB 平分∠CAD,AC=AD.求证:BC=BD.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据全等三角形的判定(ASA)可证得△ABC≌△ABD,易证 BC=BD. 【解答】证明:在△ABC 和△ABD 中

∴△ABC≌△ABD ∴BC=BD 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 SSA、HL. 20.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】可通过证△ABF≌△DCE,来得出∠A=∠D 的结论. 【解答】证明:∵BE=FC, ∴BE+EF=CF+EF, 即 BF=CE; 又∵AB=DC,∠B=∠C, ∴△ABF≌△DCE; (SAS) ∴∠A=∠D. 【点评】此题考查简单的角相等,可以通过全等三角形来证明,判定两个三角形全等,先根 据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件, 再去证什么条件. 21.如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE.

【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的判定. 【专题】证明题. 【分析】求出 BC=EF,根据 SSS 证△ABC≌△DEF,推出∠B=∠DEF,根据平行线判定推出即 可. 【解答】证明:∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC, ∴BC=EF, 在△ABC 和△DEF 中,

, ∴△ABC≌△DEF(SSS) , ∴∠B=∠DEF, ∴AB∥DE. 【点评】本题考查了平行线的判定,全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的 判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

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22.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE 交 AB 于 E.求证:△CEB 是等腰三角形.

【考点】等腰三角形的判定. 【专题】证明题. 【分析】由线的平行可得角相等,进行角的等量代换后再由两角相等确定等腰三角形. 【解答】证明:∵CE∥DA, ∴∠A=∠CEB. 又∵∠A=∠B, ∴∠CEB=∠B. ∴CE=CB. ∴△CEB 是等腰三角形. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定;进行角的等量代换是正确解答本题的关键. 23.如图,AD 是△ABC 的中线,CE⊥AD 于 E,BF⊥AD,交 AD 的延长线于 F.求证:CE=BF.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】可以考虑把结论中的线段 BF,CE 放到△BFD 和△CED 中,寻找全等的条件,得出对 应边相等.全等的条件有 BD=CD,两个直角,对顶角. 【解答】证明:∵AD 是△ABC 中 BC 边上的中线, ∴BD=CD. ∵CE⊥AD 于 E,BF⊥AD, ∴∠BFD=∠CED. 在△BFD 和△CED 中

, ∴△BFD≌△CED(AAS) . ∴CE=BF. 【点评】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三 角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件,再去证什么条件. 24.已知,如图,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,∠CAF=∠DAF.求证:AF⊥CD.

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题;图形的全等. 【分析】 利用 SAS 得到三角形 ABC 与三角形 AED 全等, 利用全等三角形对应边相等得到 AC=AD, 再由已知角相等,利用三线合一性质判断即可得证. 【解答】证明:在△ABC 与△AED 中,

, ∴△ABC≌△AED(SAS) , ∴AC=AD, ∵∠CAF=∠DAF,即 AF 为∠CAD 的平分线, ∴AF⊥CD. 【点评】 此题考查了全等三角形的判定与性质, 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题 的关键. 25.已知:∠AOB=90°,∠EOF=90°,AO=BO,EO=FO,连结 AE、BF.则 AE 与 BF 有什么关 系,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】AE=BF,通过全等三角形的判定得到△AEO≌△BFO(SAS) ,再根据全等三角形的对 应边相等证得结论. 【解答】解:AE=BF. ∵△AOB 与△EOF 是等腰等腰直角三角形, ∴AO=OB,EO=OF, ∴∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF, 在△AEO 和△BFO 中,



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∴△AEO≌△BFO(SAS) , ∴AE=BF(全等三角形对应边相等) . 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定 是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具. 在判定三角形全等时, 关键是选择 恰当的判定条件. 26. 如图①, 将两块全等的三角板拼在一起, 其中△ABC 的边 BC 在直线 l 上, AC⊥BC 且 AC=BC; △EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,EF⊥FP 且 EF=FP. (1)在图①中,请你通过观察、测量,猜想并直接写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置 关系,并证明; (2)将三角板△EFP 沿直线 l 向左平移到图②的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP、BQ.猜 想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】 (1)根据等腰直角三角形性质得出 AB=AP,∠BAC=∠PAC=45°,求出∠BAP=90°即 可; (2)求出 CQ=CP,根据 SAS 证△BCQ≌△ACP,推出 AP=BQ,∠CBQ=∠PAC,根据三角形内角 和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°,推出∠PAC+∠AQG=90°,求出∠AGQ=90°即可. 【解答】 (1)AB=AP 且 AB⊥AP, 证明:∵AC⊥BC 且 AC=BC, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠ABC= (180°﹣∠ACB)=45°, 又∵△ABC 与△EFP 全等, 同理可证∠PEF=45°, ∴∠BAP=45°+45°=90°, ∴AB=AP 且 AB⊥AP. (2)BQ 与 AP 所满足的数量关系是 AP=BQ,位置关系是 AP⊥BQ,

证明:延长 BQ 交 AP 于 G, 由(1)知,∠EPF=45°,∠ACP=90°,

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∴∠PQC=45°=∠QPC, ∴CQ=CP, ∵∠ACB=∠ACP=90°,AC=BC, ∴在△BCQ 和△ACP 中

, ∴△BCQ≌△ACP(SAS) , ∴AP=BQ,∠CBQ=∠PAC, ∵∠ACB=90°, ∴∠CBQ+∠BQC=90°, ∵∠CQB=∠AQG, ∴∠AQG+∠PAC=90°, ∴∠AGQ=180°﹣90°=90°, ∴AP⊥BQ. 【点评】 本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定, 三角形的内角和定理 等知识点,主要考查了学生的推理能力和猜想能力,题目比较好.

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