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2016届成都七中周练题4

时间:2015-09-11


文科数学试题

三角函数及导函数综合运用

第 4 次测试题

考试时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,共计 60 分)

A 2、[2014· 全国卷] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则

cos α=( D ) 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 5 5 5 5 π 3、[2014· 福建卷] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下列说法正确的是( D ) 2 A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π ? π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 D.y=f(x)的图像关于点? ?-2,0?对称 2

A C B π π ? ? ? 7、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos? ?2x+6?,④y=tan?2x-4?中,最小正周期为 π 的所有函数为( A ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 2sin2B-sin2A 8、[2014· 江西卷] 在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 的值为( D ) sin2A 1 1 7 A.- B. C.1 D. 9 3 2
9、 (2013 年湖北卷(文) )将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关

于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.
π 12

( B ) C.
π 3

B.

π 6

D.

5π 6

10、 (2015 年上海)已知点 A 的坐标为 (4 3,1) , 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转

? 至 OB , 则点 B 的纵坐标为 ( D ) . 3

A.

3 3 2

B.

5 3 2

C.

11 2

D.

13 2
( C )

11、 (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 1

文科数学试题

三角函数及导函数综合运用

第 4 次测试题
2

2 12 (2014 新课标 II)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是 m

( C ) A.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ? ?

? f ( x) = 3 sin

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴x0 +[ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 3 13、[2014· 全国卷] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 2 14、 (2015 高考湖南) 已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中, 距离最短的两个交点的距离为 2 3 , 则 ? =_____. 【答案】 ? ?

?
2

15、 (2015 高考四川)已知 sinα+2cosα=0,则 2sinαcosα-cos2α 的值是______________. 【答案】-1, 【解析】由已知可得,sinα=-2cosα,即 tanα=-2,

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1 x? 3 co x? s a在 闭 区 间 [0,2 ? ] 上 恰 有 三 个 解 x1 , x2 , x3 , 则 16 、 (2014 上 海 ) 设 常 数 a 使 方 程 s i n
2sinαcosα-cos2α=

x1 ? x2 ? x3 ?

7π 。 3

三、计算题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共计 70 分) 17、 (11 分)[2014· 山东卷] △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= (1)求 b 的值; (2)求△ ABC 的面积. 3 π ,又因为 B=A+2, 3 6 3× 3 π? 6 asin B 所以 sin B=sin? ?A+2?=cos A= 3 ,由正弦定理可得,b= sin A = 3 =3 2. 3 解:(1)在△ ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos2A= 6 π ,B=A+ . 3 2

? π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B= cos( A ? ) =-sin A=- ,由 A+B+C=π,得 C=π-(A+B), 2 3 2
所以 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 1 1 1 3 2 因此△ ABC 的面积 S= absin C= × 3× 3 2× = . 2 2 3 2 π? 18、(11 分)[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f? ?4?=0,其中 a∈R,θ∈(0,π). α? 2 ?π ? ? π? (1)求 a,θ 的值;(2)若 f? ?4?=-5,α∈?2,π?,求 sin?α+3?的值. 解:(1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所以 y2=cos(2x+θ)为奇函数.又 θ∈(0, π? π π),得 θ= ,所以 f(x)=-sin 2x· (a+2cos2x),由 f? ?4?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. 2 α? 1 1 2 4 ?π ? (2)由(1)得,f(x)=- sin 4x,因为 f? ?4?=-2sin α=-5,所以 sin α=5,又 α∈?2,π?, 2 3 ? 6 6 1 3? × + × = , 3 ?- 3 ? 3 3 3

2

文科数学试题

三角函数及导函数综合运用

第 4 次测试题

π? 3 π π 4-3 3 从而 cos α=- ,所以有 sin? ?α+3?=sin αcos3+cos αsin3= 10 . 5

解: (Ⅰ)由图知: 得

2?

?
6

,解得 ω=2.再由 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 1 , =4 ( + ) ? 12 6 12 12

?

?

?

?

2 ? ? ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) .∴ f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) , 4 4 3 6 3
即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= sin(2 x ?

? ? ? 2k? ?

?

2

(k ? Z) ,即 ? ? 2k? ?

?

3

(k ? Z) .由 ?

?

2

?? ?

?

,得 ? ?

?
3



) .………………………………6 分 6 (Ⅱ)由已知化简得: sin A ? sin B ? 2 6 sin Asin B . a b c 3 ∵ ? ? ? ? 2 R (R 为△ ABC 的外接圆半径),∴ 2 R ? 2 3 , sin A sin B sin C sin ? 3 a ∴ sinA= ,sinB= b .∴ a ? b ? 2 6 ? a ? b ,即 a ? b ? 2ab . ① 2R 2R 2R 2R 2R 2R
由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC, 即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. ②

?

3 联立①②可得:2(ab)2-3ab-9=0,解得:ab=3 或 ab= ? (舍去), 2
故△ ABC 的面积 S△ ABC= 1 ab sin C ? 3 3 .…………………………………12 分
2 4

20、 (11 分) (2015 成都一诊模拟)已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( 标分别为 (

?
2

? ? x)(?>0) 的图像上两相邻最高点的坐

?

4 ,2), ( ? ,2) . 3 3

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

b ? 2c 的取值范围. a

3 sin ?x ? cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
6

)
………..(4 分)

由题意知 T ? 2, ? ? 2 .

(Ⅱ) f ( A) ? 2, 即 sin( 2 A ?
?2 A ?

?
6

) ? 1, 又 ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

11? , 6

.

……………………….(8 分)

b ? 2c sin B ? 2 sin C 2 3 2? ? ? ? [sin( ? C ) ? 2 sin C ] ? 2 sin( ? C ) …..(10 分) a sin A 3 3 6
?0 ? C ? 2? ? ? ? b ? 2c ? , ? ? ? ? C ? ,? ? 2 sin( ? C ) ? ( ?2,1) ….(12 分) 3 2 6 6 a 6
3

文科数学试题

三角函数及导函数综合运用

第 4 次测试题

? ? ? ? ? 21 (11 分) (2014 山东)已知向量 a ? (m,cos 2 x) , 设函数 f ( x) ? a ? b , 且 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 3) b ? (sin 2x, n) , 12 2? , ?2) . 和点 ( 3 (Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间。 ? ? ? ? 答案: ( 1) m ? 3 , n ? 1 (2) ? ? , k? ? , k? ? ? 6 2 ? ? 2 ?x 22、(14 分)(全国新课标二卷文 21 题)已知函数 f ( x) ? x e (Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围

所以m(t) ? 2 2 ? 3,为所求

4


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