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平面向量全部讲义

时间:2016-06-01


第一节平面向量的概念及其线性运算
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

→ → → → 例 3:化简AC-BD+CD-AB得(

)

→ A.AB

→ B.DA

→ C.BC

D .0

例 4:(1)如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =( A.0 B. BE

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

C. AD

??? ?

D. CF

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 2 (2)设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC 2 3
(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

例 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 B.不共线

) D.不可能都是单位向量

C.不可能都是零向量

例 2..给出下列命题:①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 等价于四边形 ABCD 为平行四边形;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 等价于|a|=|b|且 a∥b;⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ ) B.①② C.③④ D.④⑤

??? ?

????

巩固练习: 1.将 4(3a+2b)-2(b-2a)化简成最简式为______________. → → → → → → 2.若|OA+OB|=|OA-OB|,则非零向量OA,OB的关系是( 定 3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________ 4.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于(

) A.平行 B.重合 C.垂直

D .不确

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

CA 2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 求两个向量和的运 算 a+b=b+a; 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c= 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0 λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) a+(b+c)

? ??? ? 1 ??? A.- BC + BA 2

? ??? ? 1 ??? B.- BC - BA 2

? ??? ? 1 ??? C. BC - BA 2

? ??? ? 1 ??? D. BC + BA 2

5.若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子:① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

)

→ → → → 6.如图,在△ABC 中,D,E 为边 AB 的两个三等分点,CA=3a,CB=2b,求CD,CE.

加法

1 → → → DD 巩固练习 1。16a+6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6.解:AB=AC+CB=-3a+2b,∵D,E 2 2 2 2 → → 1→ → → → → → → → 为AB的两个三等分点,∴AD= AB=-a+ b=DE. ∴CD=CA+AD=3a-a+ b=2a+ b.∴CE=CD+DE=2a 3 3 3 3 2 2 4 + b-a+ b=a+ b. 3 3 3

3.共线向量定理:向量 a(a≠0)与 b 共线等价于存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.
例 5.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________

数乘

例 6. 设两个非零向量 a 与 b 不共线,(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线.(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 巩固练习:

??? ?

??? ?

??? ?

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零.④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线.其中错误的命题的个数为( A.1 B .2 C.3 D.4 ) )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A,P,B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任 ??? ? ??? ? ??? ? 一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1).

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =(
3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

第二节
1.平面向量基本定理

平面向量的基本定理及坐标表示

3.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共线,则向 量 a+b+c=( A.a ) B.b C.c D.0

如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a =λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

? ??? ? 1 ??? ??? ? 4 如图,在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=4,且 AD = AC +λ AB (λ∈R),则 AD 4
的长为( A.2 3 ) B.3 3 C.4 3 D.5 3

2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),
2 则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1.

???? ??? ? ??? ? ???? ???? ? 5. 在?ABCD 中,AB =a,AD =b,AN =3 NC , M 为 BC 的中点, 则 MN =________(用
a,b 表示).

(2)向量坐标的求法: ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),| AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ???? ? ??? ? 6.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC 2=16,| AB + AC |=| AB - AC |,则| AM |=________.

??? ?

??? ?

3.平面向量共线的坐标表示
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. → → 例 7.若 A(0,1),B(1,2),C(3,4),则AB-2BC=________ 例 8.已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若 MN =-3a,则点 N 的坐标为( A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)

1 例 5.- 3

例 6. [解] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

)

∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB .∴ AB , BD 共线, 又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. C B D B 1 1 - a+ b 4 4 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 例 9.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a, BC =b, CA =c.(1)求 3a+b-3c;
(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.

巩固练习: 1.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( ) A.3a+b ) B.3a-b A. 2 C.-a+3b D. 10 D.a+3b

2.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则|a|等于( 3.已知向量 a=(-3,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 x=( )

B. 3 C. 5

4.向量的中线公式: 5.三点共线等价关系

??? ? 1 ??? ? ??? ? 若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2

A.4 B.5 C.6 D.7 )

→ → 4.设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且|AB|=2|AP|,则点 P 的坐标为( A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个
2

5.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 ka+b 与 a-3b 平行时,k=(

)

1 A. 4

1 B.- 4

1 C.- 3 )D

1 D. 3

变式训练:

CD ? 1.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB,
A.

????

??? ? ??? ? 1 3

6.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是( A.4 2,0 B.4 2,4 C.16,0 D.4,0 7.已知向量 a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,1),若用 a 和 b 表示 c,则 c=________. 8.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________.

2 3

B.

1 3

C. ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ? 3 2 D. ? 3



)A

1 2 → → → 2..设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+ 2 3 λ2 的值为________.

.例 7.(-3,-3)

例 8.A

例 9.解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). 3.若 M 为 ?ABC 内一点,且满足 AM ?

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ? B C C C C D 2a-b 5

3 1 AB ? AC ,则 ?ABM 与 ?ABC 的面积之比为_________. 4 4

→ → → 4..若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的面积比为 1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 9 D. 25

(

)C

平面向量基本定理及其应用:如果,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1
+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 特别注意:若 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量, a =λ1e1+λ2e2, b ? ?1e1 ? ?2 e2 则 a ? b ? ?

? ?1 ? ?1 ?? 2 ? ? 2
例 10:6

→ → → → → → → → 例 10: (1)如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为 120° ,OA与OC的夹角为 30° ,且|OA → → → → → |=|OB|=1,|OC|=2 3,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________.

2? 4? a? b 3 3

2 9

A

1 2

1:4

C

平面向量共线的坐标表示 例 11.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当实数 k 取何值时,ka+2b 与 2a-4b 平行?

(2)已知

? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____

m 练习:1.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则 等于( n 1 1 A.-2 B.2 C.- D. 2 2

)C

2.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式;(2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标.
(3) .如图,已知 C 为 ?OAB 边 AB 上一点,且 AC ? 2CB, OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 mn =__________

??? ?

??? ?

3.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;(2)若(a+kc)∥(2b -a),求实数 k;
3

例 11.解法一:∵2a-4b≠0,∴存在唯一实数 λ,使 ka+2b=λ(2a-4b).将 a,b 的坐标代入上式, 得(k-6,2k+4)=λ(14,-4),得 k-6=14λ 且 2k+4=-4λ,解得 k=-1. ?k-2λ=0, ? 解法二:同法一有 ka+2b=λ(2a-4b),即(k-2λ)a+(2+4λ)b=0.∵a 与 b 不共线,∴? ?2+4λ=0. ? ∴k=-1. 1.C

性质 定义

几何表示 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 a· a=|a|2 或|a|= a· a

坐标表示 a· b=a1b1+a2b2
2 | a |? a12 ? a 2



2.解:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1),∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2 -x1,y2-y1) a· b=0 a· b cos〈a,b〉= |a||b| (|a||b|≠0) |a· b|≤|a||b|

??? ?

??? ? AB = (x2-x1)2+(y2-y1)2
a1b1+a2b2=0 cos 〈a, b〉 =

∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2.

a⊥b 的等价条件 夹角 |a· b|与 |a||b|的 关系 一、平面向量数量积的运算

??? ? ??? ? ?a-1=4, ?a=5, ? ? (2)∵ AC =2 AB ,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3.
∴点 C 的坐标为(5,-3).
?-m+4n=3, ? (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以? 得 ?2m+n=2, ?

a1b1 ? a 2 b22
2 2 a ? a2 b12 ? b2 2 1

3.[解]

?m=9, ? 8 ?n=9.

5

2 2 | a1b1 ? a 2 b2 |? a12 ? a 2 b12 ? b2

例 1(1)在等边三角形 ABC 中,D 为 AB 的中点,AB=5,求 AB · BC , CD ; (2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)· (2a+3b)和|a+2b|.

? ??? ? ???

??? ?

16 (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=- 13

平面向量的数量积及应用
知识梳理 1.两个向量的夹角

变式训练 1.已知下列各式: a· b b ①|a|2=a2;② 2 = ;③(a· b)2=a2b2;④(a-b)2=a2-2a· b+b2,其中正确的有( |a| a A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.下列命题中: ① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;
? ? ? ?

).
?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

? ?

??? ? ??? ? (1)定义:已知两个__________向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则__________称作向量 a 与
向量 b 的夹角,记作〈a,b〉 . (2)范围:向量夹角〈a,b〉的范围是__________,且__________=〈b,a〉 . (3)向量垂直:如果〈a,b〉=__________,则 a 与 b 垂直,记作__________. 2.平面向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义:__________叫作向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b=__________.可见,a· b是 实数,可以等于正数、负数、零.其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律 ①a· b=__________(交换律) ②(a+b)· c=__________(分配律) ③(λa)· b=__________=a· (λb)(数乘结合律). 3.平面向量数量积的性质:已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)
4

② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ; ③ ( a ? b ) ?| a | ?2 | a | ? | b | ? | b | ;
2
2 2

?

? ?

? ?

?

?

④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ? ? b ? 3, a与b的夹角为120o,求 3.已知 a ? 2, () 1 a ? b;(2) a ? b ;( 3)(2a ? b ) ( ? a ? 3b )
4..已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为

其中正确的是______(答:①)

?

?

?

?

? ? ? ? 3? ,求 (3a ? b) ? (a ? 2b) 。 4

5.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a 等于( ). A.(26,-78) B.(-28,-42) C.-52 D.-78

3.已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____(答: 30? ) 二、求平面向量的模 例 2. (1)设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 及 3a ? 2b ? 3 ,求 3a ? b 的值

? ?

?

?

? ?

? ? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

. 4、已知 a ? (6,0) , b ? (?5,5) ,则 a 与 b 的夹角为(

?

?

?

?



A、 450

B、 600

C、 1350

D、

(2)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|3a+b|等于( A. 5 B. 6 C. 17 D. 26

).

1200

? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 5.已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____(答:1) ;
变式训练

2

2

4

1.已知| a |=2,| b |=5, a · b =-3,则| a + b |=

?

?

?

?

? ?

,| a - b |=

? ?

王新敞
奎屯

新疆

π 2. 若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=__________. 3

6.已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______(答:

?

?

? ?

?

?

12 ) 5

3.△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________(答:-9) ; 四。利用数量积解决垂直问题 3x 3x? x? ? x ? π π? 4.已知向量 a=? ?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos2,-sin2?,且 x∈?-3,4?. (1) 求 a· b 及|a+b|;(2)若 f(x)=a· b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 例 4 若非零向量 ? 、 ? 满足 ? ? ? ? ? ? ? ,证明: ? ?

? ??

? ??

? ??

??

??

? ? ??

? ? ??

??

?? ?

三、求夹角 例 3 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61.(1)求 a 与 b 的夹角 θ;

变式训练:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?

(答:

3 ) ; 2

变式训练:

2.以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,?B ? 90? , 则点 B 的坐标是________ (答: (1,3)或 (3, -1) ) ;

, b? 1. 已知 a ? 1

?

?

? ? ? ? ? 2,且a ? b与a垂直,求a与b的夹角。

? ?? ? ?? ?? ? 3.已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, ?a)或(?b, a) )

2.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角(

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

) 4.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( B
5

? A. 6

? B. 3

C.

2? 3

D.

5? 6

) 答案:

A. 7

B. 2

C. 3

D. 5

a ? (2 cos 2

?
2

,2 sin ? cos ? ) ? 2 cos

?
2

(cos

?
2

, sin

?
2

) b ? (2 sin 2

?
2

,2 sin

?
2

cos

?
2

) ? 2 sin

?
2

(sin

?
2

, cos

?
2

)

5.在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值

因为 ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ,所以
王新敞
奎屯 新疆

?

? (0, ) , ? ( , ? ) ,故 a ? 2 cos , b ? 2 sin , 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

五:求夹角范围 例 5 ( )

cos?1 ?

a?c a?c

?

? ? ? ? ? ? ? ( 1 )已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角的取值范围是

因为 0 ? 故

?
2

?

?

A.[0,
? ?

? ] 6
?

B. [ , ? ]

?

3

C. [ ,

? 2?
3 3

]

D. [ , ? ]

?

? ??
2

??

?

2

6

3

b?c 2 ? cos ? 2 ? sin ? ? cos( ? ? ? ) cos? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 b?c 2 cos 2 sin 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? 2 ? ? ,又 ? 1 ? ? 2 ? , 所以 ? ? ? , 2 2 2 6 2 2 2 6 ? ?? ? 1 ? sin( ? ) ? ? 。 ,所以 sin 4 6 2

2 cos2

?

2 sin 2

?

(2)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是

?

变式训练. 1. 设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是( A、 (? ,2) ? (2,??) )答案:A

1 2

B、 (2,?? )
? ?? ? ??

C、 (? ,?? )

1 2

D、 (??,? )

1 2

2. 已 知 ?O F Q的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 ((

? ?? ? ?? 1 3 ,则 OF , FQ 夹 角 ? 的取值范围是 _________ ?S? 2 2

? ? , )) ; 4 3

六、向量与三角综合应用

( o s ( , ?1 ) n s i ? , )?c ( o sn s i , ( ? , ) b 0 0 ,? 例 6. 设a ?c

?

?

2 ? ? ? ? 4 4 a ? b 互相垂直.(Ⅰ)求实数 ? 的值;(Ⅱ)若 a ? b ? ,且 tan ? ? ,求 tan ? 的值. 5 3

?

)?

??

?? ? ? ?

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是平面上的两个向量, 若向量 a ? b 与

? ?

变式训练.设 a ? (1 ? cos? , sin ? ) ,b ? (1 ? cos? , sin ? ) ,c ? (1,0) ,其中 ? ? (0,? ) , ? ? (? ,2? ) ,a 与 c 的 夹角为 ? 1 , b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? 【答案】
6

?

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?

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?

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6

,求 sin

? ??
4

的值。


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