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对勾函数全面解析


对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的 函数,所以也要注意它和了解它。 ( 一 ) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如 f(x)=ax+ (接下来写作 f(x)=ax+b/x) 。 当 a≠0,b≠0 时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与

反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这 个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a, b 同号时, f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y=ax 与双曲线 y= b/x 构成, 形状酷似双勾。 故称“对 勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号) 当 a,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠 加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。 )

对勾函数的图像(ab 异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定 a>0 , b>0 。之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很容易得出 结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到:

当 x>0 时,



当 x<0 时, 即对勾函数的定点坐标:



(三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到:

y

O y=ax (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数,

X


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