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数学导数及其应用方法与技巧

时间:2017-07-24


(导数及其应用) 导数及其应用)
首先,解答导数及其应用这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题, 首先,解答导数及其应用这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们 应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1.导数概念及其几何意义 (1)了解

导数概念的实际背景。 (2)理解导数的几何意义。 2.导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y = C (C为常数), y = x, y = x , y = x , y =
2 3

1 , y = x 的导数。 x

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 (3)能求简单的复合函数(仅限于形如 f ( ax + b) 的复合函数)的导数。 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多 项式函数一般不超过三次) 。 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 。 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念。 (2)了解微积分基本定理的含义。 好了,搞清楚了导数及其应用的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 好了,搞清楚了导数及其应用的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 内容的具体的解题技巧 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦:1.利用导数研究曲线 y = f ( x) 的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热 点。 2.常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形 式出现,属容易题。 解题技巧:1.导数的几何意义 解题技巧 函数 y = f ( x) 在 x0 处的导数 f ′( x) 的几何意义是:曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s (t ) 对时间 t 的导数) 。
第1页

2.求曲线切线方程的步骤: (1)求出函数 y = f ( x) 在点 x = x0 的导数,即曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率; (2)在已知切点坐标 P ( x0 , f ( x0 )) 和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) 。 注:①当曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可 知,切线方程为 x = x0 ; ②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解。 例 1: (2010 ·海南高考·理科 T3)曲线 y = (A) y = 2 x + 1 (B) y = 2 x ? 1

x 在点 ( ?1, ?1) 处的切线方程为( x+2
(D) y = ?2 x ? 2



(C) y = ?2 x ? 3

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为 y′ =

2 ,所以,在点 ( ?1, ?1) 处的切线斜率 k = y ′ ( x + 2)2

x =?1

=

2 =2, (?1 + 2)2

所以,切线方程为 y + 1 = 2( x + 1) ,即 y = 2 x + 1 ,故选 A. 二、利用导数研究导数的单调性 考情聚焦:1.导数是研究函数单调性有力的工具,近几年各省市高考中的单调性问题,几乎均用它 解决。 2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数 式结构,多以解答题形式考查,属中高档题目。 解题技巧:利用导数研究函数单调性的一般步骤。 解题技巧 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f ′( x ) ; (3)①若求单调区间(或证明单调性) ,只需在函数 f ( x ) 的定义域内解(或证明)不等式 f ′( x ) >0 或 f ′( x ) <0。 ②若已知 f ( x ) 的单调性,则转化为不等式 f ′( x ) ≥0 或 f ′( x ) ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。 例 2: (2010·山东高考文科·T21)已知函数 f ( x ) = ln x ? ax +

1? a ? 1(a ∈ R ) x

(1)当 a = ?1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;
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(2)当 a ≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类 讨论思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率; (2)直接利 用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】 (1) 当 a = ?1 时,f ( x) = ln x + x +

2 ? 1, x ∈ (0,+∞ ), 所以 x

f ′( x) =

x2 + x ? 2 x2

因此, f ′ ( 2 ) = 1 ,即曲线 y = f ( x)在点(2,f (2))处的切线斜率为 1. , 又 f ( 2) = ln 2 + 2, 所以曲线 y = f ( x)在点(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 + 2) = x ? 2,

即 x ? y + ln 2 = 0.
(2)因为 f ( x) = ln x ? ax +

ax 2 ? x + 1 ? a 1? a 1 a ?1 ? 1 ,所以 f ' ( x) = ? a + 2 = ? x x x x2

x ∈ (0,+∞ ) ,令

g ( x) = ax 2 ? x + 1 ? a, x ∈ (0,+∞ ),
(1) 当 a = 0 时, g ( x) = ? x + 1, x ∈ ( 0, +∞ ) , 所以 当 x ∈ ( 0,1) 时, g ( x ) >0,此时 f ′ ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ∈ (1, +∞ ) 时, g ( x ) <0,此时 f ′ ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. (2) 当 a ≠ 0 时,由 f ′ ( x ) = 0 ,即 ① 当a =

ax 2 ? x + 1 ? a = 0 ,解得 x1 = 1, x2 =

1 ?1 . a

1 时, x1 = x2 , g ( x ) ≥ 0 恒成立,此时 f ′ ( x ) ≤ 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 ② 当 0 < a < 时, ?1 > 1 > 0 , 2 a

x ∈ ( 0,1) 时, g ( x ) > 0 ,此时 f ′ ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减
? 1 ? x ∈ ?1, ? 1? 时, g ( x ) <0,此时 f ′ ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增 ? a ? ?1 ? x ∈ ? ? 1, +∞ ? 时, g ( x ) > 0 ,此时 f ′ ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减 ?a ?
③ 当 a < 0 时,由于

1 ?1 < 0 , a
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x ∈ ( 0,1) 时, g ( x ) > 0 ,此时 f ′ ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减: x ∈ (1, +∞ ) 时, g ( x ) <0,此时 f ′ ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增.
综上所述: 当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 在 ( 0,1) 上单调递减;函数 f ( x ) 在 (1, +∞ ) 上单调递增 当a =

1 时,函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递减 2 1 ? 1 ? 时,函数 f ( x ) 在 ( 0,1) 上单调递减;函数 f ( x ) 在 ? 1, ? 1? 上单调递增; 2 ? a ?

当0 < a <

函数 f ( x ) 在 ?

?1 ? ? 1, +∞ ? 上单调递减. ?a ?

【方法技巧】 1、分类讨论的原因 (1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出; (2)数的运算:如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对数中真数与底数 的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等; (3)含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变; (4)在研究几何问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定),引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准; (2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏; (3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤 (1)明确讨论对象,确定对象的范围; (2)确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; (3)逐段逐类讨论,获得阶段性结果; (4)归纳总结,得出结论. 三、利用导数研究函数的极值与最值 考情聚焦:1.导数是研究函数极值与最值问题的重要工具,几乎是近几年各省市高考中极值与最值 问题求解的必用方法。 2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对
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数式结构,多以解答题形式出现,属中高档题。 解题技巧:1.利用导数研究函数的极值的一般步骤: 解题技巧 (1)确定定义域。 (2)求导数 f ′( x ) 。 (3)①或求极值,则先求方程 f ′( x ) =0 的根,再检验 f ′( x ) 在 方程根左右值的符号,求出极值。 (当根中有参数时要注意分类讨论) ②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f ′( x ) =0 的根的大小或存在情况,从而求解。 2.求函数 y = f ( x) 的极值与端点处的函数值 f ( a ), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值。 例 3: (2010·天津高考理科·T21)已知函数 f ( x) = xe? x ( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y = g ( x) 的图象与函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 1 对称,证明当 x > 1 时,

f ( x) > g ( x)
(III)如果 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,证明 x1 + x2 > 2 【命题立意】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算 能力及用函数思想分析解决问题的能力。 【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。 【规范解答】 (Ⅰ)解:f’ ( x ) = (1 ? x )e
?x

,令 f’(x)=0,解得 x=1,

当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表 x f’(x) ( ?∞,1 ) + 1 0 极大值[来源: f(x) 学。科。网] 所以 f(x)在( ?∞,1 )内是增函数,在( 1, +∞ )内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= ( 1, +∞ ) -

1 e
x?2

(Ⅱ)证明:由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) e
?x x?2 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x ) = xe + ( x ? 2)e

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于是 F '( x) = ( x ? 1)(e

2 x?2

? 1)e? x ? 1 > 0, 又e ? x > 0, 所以F ’(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+∞)是增函数。

当 x>1 时,2x-2>0,从而 e
-1 -1

2x-2

又 F(1)= e ? e = 0,所以x>1时,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). (Ⅲ)证明: (1) 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 则x1 = x2 = 1.与x1 ≠ x2矛盾。 (2)若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) > 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 得x1 = x2 .与x1 ≠ x2矛盾。 根据(1) (2)得 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) < 0, 不妨设x1 < 1, x2 > 1. 由(Ⅱ)可知, f(x2 ) > g(x2 ) ,则 g(x2 ) = f(2-x2 ) ,所以 f(x2 ) > f(2-x2 ) ,从而 f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为

x2 > 1 , 所以 2 ? x2 < 1 , (Ⅰ) 又由 可知函数 f(x)在区间 (-∞, 内是增函数, 1) 所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 + x2 >2。
四、利用导数研究函数的图象 考情聚焦:1.该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值) 、零点及数形结合思想等重 要考点,而成为近几年高考命题专家的新宠。 2.常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分 式、指、对数式结构,多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
3

例 4: (2010·福建高考理科·T20)(Ⅰ)已知函数 f(x)=x -x,其图像记为曲线 C. (i)求函数 f(x)的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 x1,曲线 C 与其在点 P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2). 曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3 (x3 f(x3)) ,线段 P1P2,P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别

记为 S1,S2,则

s1 为定值: s2
3 2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a ≠ 0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证 明。 【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括、推理论证、运算求解 能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。 【思路点拨】第一步(1)利用导数求解函数的单调区间, (2)利用导数求解切线的斜率,写出切线 方程,并利用定积分求解 S1 ,S2 及其比值;第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题,并 利用平移的方法进行证明。

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【规范解答】 (Ⅰ) (i) f ' ( x ) = 3 x 2 ? 1 = ( 3 x + 1)( 3 x ? 1) ,令 f ' ( x ) > 0 得到

x>

1 1 1 1 , f ' ( x) < 0 有 ? 令 , 因此原函 或x < ? <x< 3 3 3 3 1 1 ) 和( ,+∞ ) ;单调递减区间为 3 3

数的单调递增区间为 ( ?∞,?

(?

1 1 , ) 3 3 ;

3 (ii) f ' ( x) = 3 x 2 ? 1 , P1 ( x1 , x1 ? x1 ) , f ' ( x1 ) = 3 x12 ? 1 ,因此过点 P1 的切线方程为:

? y = ( 3 x12 ? 1) x ? 2 x13 ? y = ( 3 x12 ? 1) ( x ? x1 ) + x13 ? x1 ,即 y = ( 3 x12 ? 1) x ? 2 x13 ,由 ? 得 y = x3 ? x ? ?
x3 ? x = ( 3 x12 ? 1) x ? 2 x13 ,所以 x = x1 或 x = ?2 x1 ,故 x2 = ?2 x1 ,进而有 S1 =

∫ (x
?2 x1 x1

3

3 ?1 ? ?2 x1 27 4 ? 3 x12 x + 2 x13 ) dx = ? x 4 ? x12 x 2 + 2 x13 x ? = x1 ,用 x2 代替 x1 ,重复上面的计 2 4 ?4 ? x1
27
4

算,可得 x3 = ?2 x2 和 S 2 = 4 x2 ,又 x2 = ?2 x1 ≠ 0 ,∴ S 2 =

S 1 27 × 16 4 x1 ≠ 0 ,因此有 1 = S 2 16 。 4

(Ⅱ) 【命题】若对于任意函数 g ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图像为曲线 C ' ,其类似于(I)(ii)的命题为: 若对任意不等于 ?

b 的实数 x1 , 曲线与其在点 P ( x1 , g ( x1 )) 处的切线交于另一点 P2 ( x2 , g ( x2 )) , 曲线 C ' 与 1 3a

其在点 P2 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线交于另外一点 P3 ( x3 , g ( x3 )) ,线段 P P2 、 P2 P3 与曲线 C ' 所围成面积为 1

S1、S 2 ,则

S1 1 = 。 S 2 16

3 2 【证明】对于曲线 y = ax + bx + cx + d ,无论如何平移,其面积值是恒定的,所以这里仅考虑

y = ax 3 + bx 2 + cx 的情形, y ' = 3ax 2 + 2bx + c , P1 ( x1 , ax13 + bx12 + cx1 ) , f ' ( x1 ) = 3ax12 + 2bx1 + c ,
因此过点 P1 的切线方程为:

? y = (3ax12 + 2bx1 + c ) x ? 2 x13 ? bx12 ? y = (3ax + 2bx1 + c ) x ? 2 x ? bx ,联立 ? ,得到: ? y = ax 3 + bx 2 + cx ?
2 1 3 1 2 1

ax 3 + bx 2 ? 3ax12 + 2bx1 x + bx12 + 2 x13 = 0 ,
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(

)

化简:得到 从而 ( x ? x1 ) 2 ( ax + b + 2 ax1 ) = 0 所以 P2 ( ? 可以得到 x3 =

b + 2 ax1 2b 2 + 4 a 2 x12 + 6 abx1 + ac , ) 同样运用(i)中方法便 a a

2b + 4 x1 = ?2 x2 a

所以

S1 1 = 。 S 2 16

【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算,利用导数判断函数单调性、极值、 最值等问题,试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系,类型有交点个数、恒成立问 题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法,主要考查导 数的工具性作用。

例 5. (2010·江西高考理科·T12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S (t )( S (0) = 0) ,则导函数 y = S '(t ) 的图像大致为

【命题立意】本题将各知识点有机结合,属创新题型,主要考查对函数的图像识别能力,灵活分析问题和 解决问题的能力,考查分段函数,考查分段函数的导数,考查分类讨论的数学思想,考查函数的应用,考 查平面图形面积的计算,考查数形结合的思维能力. 【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法;也可先求面积的函数,再求其导数,最后结合 图像进行判断. 【规 范解答】选 A.方法一:在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况,第 一段和第三段的变化趋势相同,只有选项 A、C 符合要求,从而先排除 B、D,在第二段变化中,面积的增 长速度显然较慢,体现在导函数图像中其图像应下降,排除选项 C,故选 A.

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方法二:设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为 1,且设 tan 18 = m ,则依据
0

1 ? t ? 2mt = mt 2 ? 2 ? (m + 1 + m 2 )( ? x 2 + 4 x ? 3) + m ? 题意可得: ? S (t ) = ? m( m + 4 ? 5m 2 ? 4 1 + m 2 ) mx 2 + ? 1+ m2 ? 2 3 2 2 ?? 1 + m 2 x 2 + 4( m + 1 + m 2 ) x + m ? 9m ? 4( m + m + 1) 1 + m ? 1+ m2 ?

0 ≤ t ≤1 2m 1< t ≤ +1 1+ m2 2m +1 < t ≤ 2 1+ m2 2m 2< t ≤ 2+ 1 + m2

2mt ? ? ( 1 + m 2 + m)(?2t + 4) ? 其导函数 S ′(t ) = ? 2mt ? 2 ? ? 2 1 + m t + 4( 1 + m 2 + m ) ?

0 ≤ t <1 2m 1< t ≤ +1 1 + m2 2m +1 < t ≤ 2 1 + m2 2m 2<t ≤ 2+ 1+ m2

故选 A .

【方法技巧】从题设条件出发,结合所学知识点,根据“四选一”的要求,逐步剔除干扰项,从而得 出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时,先根据某些 条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以排除,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾, 这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高 考选择题中考查较多. 例 6. (2010·全国高考卷Ⅱ理科·T10)若曲线 y = x 的面积为 18,则 a = [来 (A)64 (B) 32 (C)16 (D)8
? 1 2

在点 ? a, a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形 ?

【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义,曲线的切线方程求法,考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】先求出切线方程,然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。 【规范解答】选 A, y′ = ?
3 1 1 ? ? ? ? 1 ?2 x , 所以曲线 y = x 2 在点 ? a, a 2 ? 处的切线: 2 ? ? 1

y?a

?

1 2

1 ? 3 ? = ? a 2 ( x ? a ),由x = 0得y = a 2 ,由y = 0得,x = 3a, 2 2 1 3 ?2 × a 3a = 18, 解得a = 64. 2 2
1

3

所以,

【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型: (1) “在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导, 代入点的横坐标得到斜率。 “过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点, (2)
第9页

故应先设切点,再求切点坐标。

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