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2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(文科)

时间:2013-01-08


2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(文科)
考生须知: 1. 本试卷分试题卷和答题卡,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卡.

第Ⅰ (选择题,共 60 分

) 卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ≤ 0} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? A. (0, 2] C. [?1,1) 2. B. (??, ?1) ? (2, ??) D. (?1, 0) ? (0, 2)
开始 输入 a,b,c

已知复数 z ? 1 ? ai (a ?R) (是虚数单位)在复平面上 表示的点在第四象限,且 z ? z ? 5 ,则 a ? A. 2 B. ?2

x?a
b ? x?

是 否 是

3.

4.

C. 2 D. ? 2 如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输 出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该 填入下面四个选项中的 A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? D. b ? c ? 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

x?b

x?c

输出 x 结束

(8 ? ? ) 3 6 (8 ? 2? ) 3 B. 6 (6 ? ? ) 3 C. 6 (9 ? 2? ) 3 D. 6
A. 5.

3

1

正视图

2

2 侧视图

俯视图

直线 l1 与 l2 相交于点 A ,点 B 、 C 分别在直线 l1 与 l2 上,若 AB 与 AC 的夹角为 60 , 且 AB ? 2 , AC ? 4 ,则 BC ? A. 2 2 B. 2 3
1 2 2 3

??? ?

??? ?

?

??? ?

????

??? ?

C. 2 6

D. 2 7

6.

若 x ? (1, 4) ,设 a ? x , b ? x , c ? ln x ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为 A. c ? a ? b B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. b ? c ? a 在正项等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a3 ? 4 , a4 a5a6 ? 12 , an?1an an?1 ? 324 ,则 n ? A. 11 B. 12 C. 14 D. 16

7.

8.

已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原 点,且有 | OA ? OB |?| AB | ,那么 k 的值为 A. 2 B. 2 2 关于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

??? ??? ? ?

??? ?

9.

?

C.

2

4

) 与函数 g ( x) ? cos(2 x ?

3? ) ,下列说法正确的是 4

D. 4

A. 函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像有一个交点在 y 轴上 B. 函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像在区间 (0, ? ) 内有 3 个交点 C. 函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像关于直线 x ?

?
2

对称

D. 函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像关于原点 (0, 0) 对称 10. 若两个正实数 x, y 满足 围是 A. (??, ?2] ? [4, ??) C. (?2, 4)

2 1 ? ? 1 ,并且 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范 x y
B. (??, ?4] ? [2, ??) D. (?4, 2)

11. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB // CD 且 AB ? 2 AD ,

3 离心率 e ? A. 5 ? 1
C.

?DAB ?

?

D

C

,则以 A 、 B 为焦点,且过点 D 的双曲线的

B. D.

3 ?1

A

B

3 ?1 2 12. 若直角坐标平面内的两个不同点 M 、 N 满足条件: ① M 、 N 都在函数 y ? f ( x) 的图像上; ② M 、 N 关于原点对称. 则称点对 [ M , N ] 为函数 y ? f ( x) 的一对“友好点对”. (注:点对 [ M , N ] 与 [ N , M ] 为同一“友好点对” ) ?log 3 x?( x ? 0) 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,此函数的“友好点对”有 ? ? x ? 4 x?( x ≤ 0)
A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对

5 ?1 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸中的横线上). ?1 ? 2 ≤ x ≤1 13. 若实数 x, y 满足 ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是____________. ? ? y ≤ x ?1 ? ? 14. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 (2a ? c) ? cos B ? b ? cos C ? 0 , 则 B 的值为____________. 15. 若一个正方体的表面积为 S1 ,其外接球的表面积为 S2 ,则

S1 ? ____________. S2

16. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (x) ? f (x ?5) ?0 ,当 x ? (?1,4] 时, f (x) ? x 2 ?2 x , 则函数 f ( x ) 在 [0, 2013] 上的零点个数是____________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 函 数 f ( x ) ? A sin( x ? ? )( ? 0 ? ? ? A , 部分图像如图所示. ⑴ 求函数 y ? f ( x) 的解析式; ⑵ 当 x ?[?? , ? ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 6 18. (本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 记 bn ? log 3
2 an 1 ,求数列 { } 的前 n 项和 Tn . 4 bn ? bn? 2

0? ,

?
2

?? ?

?
2

x)( 的) ?R

y
1

?

O

π
6

2π 3

x

2 1 ,且 S 2 ? a2 ? 1 . 3 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC1C ? 底面 ABC , AA ? AC ? AC ? 2 , 1 1 1

AB ? BC , AB ? BC , O 为 AC 中点. ⑴ 证明: AO ? 平面 ABC ; 1
⑵ 若 E 是线段 A B 上一点,且满足 1

A1

C1

B1

VE ? BCC1 ?

1 VABC ? A1B1C1 ,求 A1E 的长度. 12
A O B C

20. (本小题满分 12 分) 椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离为 2 a b 2

2 3. ⑴ 求椭圆的方程;

⑵ 过 M ?0,?1? 作直线交椭圆于 A, B 两点,交 x 轴于 N 点,满足 NA ? ? 的方程. 21. (本小题满分 12 分)

??? ?

? 7 ??? NB ,求直线 5

已知函数 f ( x) ? e x (ax 2 ? 2 x ? 2) , a ? R 且 a ? 0 . ⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; ⑵ 当 a ? 0 时,求函数 f (| sin x |) 的最小值. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,已知⊙ 和⊙ 相交于 A、B 两点, O M AD 为⊙ 的直径,直线 BD 交⊙ 于点 C, M O

? 点 G 为 BD 中点,连结 AG 分别交⊙ O、BD 于点 E、F,连结 CE. ⑴ 求证: AG ? EF ? CE ? GD ;
GF EF 2 ? . ⑵ 求证: AG CE 2

A

E O C B

M F G D

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面

? 3 t ?x ? 5 ? ? 2 (为参数). 直角坐标系,设直线的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2 ⑴ 求曲线 C 的直角坐标方程与直线的普通方程; ⑵ 设曲线 C 与直线相交于 P 、 Q 两点,以 P Q 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该
矩形的面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a . ⑴ 当 a ? 5 时,求函数 f (x) 的定义域; ⑵ 若函数 f (x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2. B 3. A 4. A 5. B 7. C 8. A 9. D 10. D 11. B 简答与提示: 1. 2. 3. C 6. B 12. C

x 2 ? x ? 2 ≤ 0 可得 ?1 ≤ x ≤ 2 ,由 y ? ln(1 ? x) 可知 1 ? x ? 0 , x ? 1 则 A ? B 为 [?1,1) ,故选 C.
2

B 由 (1 ? ai)(1 ? ai) ? 1 ? a ? 5 可得 a ? ?2 ,又 1 ? ai 在第四象限,则 a ? ?2 ,故选 B. A 由于要取 a , b , c 中最大项,输出的 x 应当是 a , b , c 中的最大者,所以应填

4.

比较 x 与 c 大小的语句 c ? x ,故选 A. A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成,且高都 为 3 ,因此该几何体体积为

5.

1 ?1 1 3? 4 3 ?8 ? ? ? 3 ? ,故选 A. V ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 ?2 3 6 3 6 ? B 由题意 ?ABC 中 ?A ? 60? , AB ? 2 , AC ? 4 ,由余弦定理可知 BC ? 2 3 ,故
选 B. B 由于 x ? 1 ,所以根据指数函数性质 x ? x ? 1 ,即 b ? a ? 1 ;又 1 ? x ? 4 ,所以
2 3 1 2

6. 7.

1 ? x ? 2 ,所以 0 ? ln x ? 1,即 c ? 1 ,所以 b ? a ? c ,故选 B. 3 3 C 由 a1a2a3 ? 4 ? a1 q3 与 a4a5a6 ? 12 ? a1 q12 可得 q9 ? 3 ,
3 an?1 ? an ? an?1 ? a1 ? q3n?3 ? 324 ,因此 q3n?6 ? 81 ? 34 ? q36 ,所以 n ? 14 ,故选 C.

8.

A 当 | OA ? OB |?| AB | 时, O , A , B 三点为矩形的三个顶点,可知 OA ? OB ,由 图可知直线过 (2, 0) 点,此时 k ? 2 ,故选 A.

??? ??? ? ?

??? ?

9.

D

y ? cos(2 x ?

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 关于原点对称,故选 D. 4? ? 4y x 2 2 10. D x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 y ? x ? 2 ? 8 ,当且仅当 ? ,即 4y ? x ? ? x y x y ?x y?
2 时等号成立. 由 x ? 2 y ? m ? 2m 恒成立,则 m ? 2m ? 8 , m ? 2m ? 8 ? 0 ,解得 ?4 ? m ? 2 ,故选 D.
2 2

3? ? ? ? ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? sin(2 x ? ) 与 4 4 2 2 4 4

11. B 由题可知,双曲线离心率 e ?

| AB | , | DB | ? | DA | 设 | AD |?| BC |? t 则 | AB |? 2t , | CD |? 2t ? 2t cos 60? ? t ,

| BD |? t 5 ? 4cos 60? ? 3t ,所以 e ?

| AB | ? | DB | ? | DA |

2t ? 3t ? t
y

3 ? 1 ,故选 B.

12. C 由题意, 当 x ? 0 时,将 f ( x) ? log3 x 的图像关 于原点对称后可知 g ( x) ? ? log3 (? x) ( x ? 0) 的图 像与 x ? 0 时 f ( x) ? ? x ? 4 x 存在两个交点,故“友 好点对”的数量为 2,故选 C.
2

O

x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 5 14.

2? 3

15.

2

?

16. 1207

简答与提示: 13. 由 题 可 知 可 行 域 为 如 图 所 示 阴 影 部 分 , 由 目 标 函 数 为

1 z z y ? ? x ? 可知,当直线过 (1, 2) 点时, 取得最大值, 2 2 2 即 z 取得最大值,为 zmax ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . 14. 由正弦定理可将 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 转化为 2sin A ? cos B ? sin C ? cos B ? sin B cos C ? 0 ,经计算 2sin A cos B ? sin( B ? C) ? 0 得 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,

1

O 1

x

2? 1 又 A 为 ?ABC 内角,可知 sin A ? 0 ,则 cos B ? ? ,则 ?B ? . 3 2 15. 设正方体棱长为 a , 则正方体表面积为 S1 ? 6a2 , 其外接球半径为正方体体对角线长的

1 S 6a 2 2 3 2 2 ,即为 ? . a ,因此外接球表面积为 S2 ? 4? r ? 3? a ,则 1 ? 2 2 2 S2 3? a ?
16. 由 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 可知 f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,又 f ( x) ? x 2 ? 2x 在 故 故 x ? (?1, 4] 区间内有 3 个零点, f ( x) 在任意周期上都有 3 个零点, x ? (3, 2013] 上 包含 402 个周期, x ? [0,3] 时也存在一个零点 x ? 2 , 又 故零点数为 3 ? 402 ? 1 ? 1207 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一中任选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用, 以 及三角函数的值域的有关知识. 【试题解析】解:(1)由图像得 A ? 1 ,

( ,1) 代入得 1 ? sin( ? ? ) ,而 ? ? ? ? ,所以 ? ? ,因此函数 6 6 2 2 3
f ( x) ? sin( x ?

?

?

?

T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? 2? ,则 ? ? 1 ;将 4 3 6 2

?

?

?

3

);

(6 分)

(2) 由于 x ? [ ?? , ? 值范围是 [?1 , 1 ] . 2

?
6

],?

2? ? ? ? 1 ≤ x ? ≤ ,所以 ?1 ≤ sin( x ? ) ≤ ,所以 f ( x) 的取 3 3 6 3 2

( 12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式, 其中还包括对数 的运算与裂项求和的应用技巧. 【试题解析】解:(1)设等比数列的公比为 q ,由题意 a1 ?

2 1 , S 2 ? a2 ? 1 ,所以 3 2

2 2 1 2 1 ? q ? ? q ? 1 ,即 q ? , 3 3 2 3 3 2 1 n ?1 2 n ?1 因此 an ? a1 ? q ? ? ( ) ? n . 3 3 3 2 a ?2 n (2) bn ? log 3 n ? log 3 3 ? ?2n , 4
所以

(6 分)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ), bn ? bn ? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ) 8 1 3 2 4 n ?1 n ? 1 n n ? 2 8 2 n ?1 n ? 2 1 3 1 1 ? ( ? ? ) . (12 分) 8 2 n ?1 n ? 2
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体,考查平面几何的基础知识.同时题目指出 侧面的一条高与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考 查了空间直线垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和 运算求解能力. 【试题解析】解:(1) ? AA ? AC ? AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点, 1 1

? AO ? AC ,又? 侧面 AAC1C ? 底面 ABC ,交线为 AC , AO ? 面A1 AC , 1 1 1 ? AO ? 平面 ABC . (6 分) 1 1 1 1 3 (2) VE ? BCC1 ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? BCC1 , 因此 BE ? BA1 , 即 A1 E ? A1 B , 又在 12 4 4 4 Rt?AOB 中, AO ? OB , AO ? 3 , BO ? 1 可得 A1B ? 2 ,则 A1E 的长度为 3 . 1 1 1
2
(12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线及椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的综合应用,考 查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. |c? 6 | ? 2 3 ,c ? 6 ? ?2 6 , c ? 6 【试题解析】 ⑴设右焦点为 (c, 0) , 解: 则 2 或 c ? ?3 6 (舍去)(2 分)

c 3 6 3 , , a ? 2 2 , b ? a2 ? c2 ? 2 , ? ? a 2 a 2 x2 y 2 故椭圆方程为 ? ? 1 . (4 分) 8 2
又离心率 ⑵ 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , N ( x0 ,0) ,因为 NA ? ?

??? ?

? 7 ??? NB ,所以 5

7 7 ( x1 ? x0 , y1 ) = ? ( x2 ? x0 , y2 ) , y1 ? ? y2 ① 5 5
于是设的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0) ,联立 ?

(6 分)

易知当直线的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立,

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? 4 y ? 8

消x得

(8 分) (4k 2 ? 1) y 2 ? 2 y ?1 ? 8k 2 ? 0 ② 因为 ? ? 0 ,所以直线与椭圆相交, 2 1 ? 8k 2 于是 y1 ? y2 ? ? 2 ③, y1 y2 ? ④, 4k ? 1 4k 2 ? 1 5 7 由①③得, y2 ? , y1 ? ? 2 代入④整理得 8k 4 ? k 2 ? 9 ? 0 , k 2 ? 1 , 2 4k ? 1 4k ? 1 (12 分) 所以直线的方程是 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的几何意义,用导数 来研究函数的单调性、极值等,考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解:由题意得: f ?( x) ? (e )? ? (ax ? 2x ? 2) ? e ? (ax ? 2x ? 2)?
x 2 x 2

2 ? e x (ax 2 ? 2x ? 2) ? e x (2ax ? 2) ? ae x ( x ? )( x ? 2) ; (3 分) a (1)由曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2))处的切线垂直于 y 轴,结合导数的几何意义得 2 2a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ; (6 分) f ?(2) ? 0 ,即 a ? e 2 ? (2 ? )(2 ? 2) ? 4ae2 ? a a (2) 设 | sin x |? t (0 ≤ t ≤ 1) ,则只需求当 a ? 0 时,函数 y ? f (t )(0 ≤ t ≤1) 的最小值. 2 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? ?2 ,而 a ? 0 ,即 ? ?2 . a a

从而函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 和 ( , ??) 上单调递增,在 ( ?2, ) 上单调递减.

2 a

2 a

2 ≥ 1 时,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上为减函数, ymin ? f (1) ? (a ? 4)e ; a 2 当 0 ? ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的极小值即为其在区间 [0,1] 上的最小值, a 2 2 ymin ? f ( ) ? ?2e a . a 综上可知,当 0 ? a ≤ 2 时,函数 f (| sin x |) 的最小值为 (a ? 4)e ;当 a ? 2 时,函数
当 (12 分) 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质, 以及圆中角的性质 等知识. 【试题解析】证明(1):已知 AD 为⊙ 的直径,连接 AB ,则 ?BCE ? ?BAE , M

f (| sin x |) 的最小值为 ?2e a .

2

?CEF ? ?ABC ? 90? ,由点 G 为弧 BD 的中点可知 ?GAD ? ?BAE ? ?FCE ,故 CE EF ?CEF ∽ ?AGD ,所以有 ? ,即 AG ? EF ? CE ? GD . (5 分) AG GD GF DG EF D ∽ ?DGF , ? ? (2)由(1)知 ?DFG ? ?CFE ? ?ADG , ?A 故 G 所以 , DG AG CE

GF EF 2 ? . 即 AG CE 2

(10 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程向 直角坐标方程转化,参数方程向普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等.
2 2 2 【试题解析】解:(1)对于 C :由 ? ? 4cos ? ,得 ? ? 4? cos? ,进而 x ? y ? 4 x ;

? 3 t ?x ? 5 ? 1 ? 2 (为参数) ( x ? 5) ,即 x ? 3 y ? 5 ? 0 .(5 分) 对于:由 ? ,得 y ? 3 1 ?y ? t ? ? 2
(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为 (2, 0) ,半径为 2,则弦心距 d ?
2

| 2 ? 3 ?0 ?5| 3 ? , 2 1? 3

弦长 | PQ |? 2 2 ? ( ) ? 7 ,因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积
2

3 2

S ? 2d ? | PQ |? 3 7 .

(10 分)

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识, 具体涉及到绝对值不等式的解法及性 质等内容. 【试题解析】解:(1) 当 a ? 5 时, f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ,由

? x ≥ ?1 ? ?2 ≤ x ? ?1 ? x ? ?2 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ≥ 0 得 ? 或? 或? ,解得 x ≥ 1 ?2 x ? 2 ≥ 0 ??2 ≥ 0 ? ?8 ? 2 x ≥ 0

或 x ≤ ?4 .即函数 f (x) 的定义域为{x| x ≥ 1 或 x ≤ ?4 }.

(5 分)

(2) 由题可知 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a ≥ 0 恒成立,即 a ≤| x ? 1| ? | x ? 2 | 恒成立,而

| x ? 1| ? | x ? 2 |≥| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1 ,所以 a ≤ 1 ,即 a 的取值范围为 (??,1] .
(10 分)


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