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高一数学必修1函数的基本性质及训练和答案


高中数学必修 1 函数的基本性质
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是

偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: B ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增 函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减 函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
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增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数;增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增 函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周 期函数; (2) 性质: ①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x) 2 2

的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为

T |? |



四.典例解析
【奇偶性典型例题】 例 1.以下五个函数: (1) y ? (5) y ? log2 ( x ?

1 4 x ( x ? 0) ; (2) y ? x ? 1 ; (3) y ? 2 ; (4) y ? log2 x ; x

x 2 ? 1) ,其中奇函数是____ __,偶函数是__ ____,非奇非偶函数是 _________

点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解 析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变) 。 题型二:奇偶性的应用 例 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ _。

例 3. 已知 f ( x ) 奇函数, x ∈ 当 (0, 时, f ( x) ? lg 1)

1 , 那么当 x ∈ (-1, 时, f ( x) 的表达式是 0) 1? x



例 4.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1,1)上的增函数,试求 a 的范围: f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 .
2 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a ? 4)

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因 f(x)是奇函数,故 ? f (a 2 ? 4) ? f (4 ? a 2 ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而

??3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ??1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ?? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5
即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】 例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ?1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?
2

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2
)

(2)函数 y ? x ? bx ? c( x ?[0, ??) )是单调函数的充要条件是(

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 (3)已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ? a 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增区 间为 例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3| 在 上是减函数.



例 3.根据函数单调性的定义,证明函数

例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数, m 、n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 对 且当 x ? 0 时,0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f (x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

1 1 1 1 则 f ( ? 0) ? f ( )?f (0) ,因为 f ( ) ? 0 所以 f (0) ? 1 2 2 2 2 (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 f (? x) ? o 又因为 1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x)?f (? x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ∴ x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0 (3)设 x1 ? x2 则
解:(1)取 m=0,n=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) = f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又因为 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x2 ) ? f (0)
所以 2 x ? x2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 例 5: (复合函数单调性)1.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??) 1 2.函数 y= 2 的单调递增区间为( ) x ? 2 x ? 80
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A. (??, ?8)

B. (??,1)

C. (1, ??)

D. (?8, ??)

题型五:周期问题 例 6.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又
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知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; 求 ③ y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 求 解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 。 ② x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 当 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。

x(1 ) ③ y ? f ( ) ? ? x ?1 ∵

是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,

又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,
2 ∴ 可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ?3 ,

∴k ? ?3 ,∴ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 当 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x 。 ∴ 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 , 当 ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6 6? x?9

?2( x ? 7) ? 5,



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(数学 1 必修)第一章(下)
[基础训练 A 组] 一、选择题
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函数的基本性质

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已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数, 则 m 的值是( ) 1 B 2 A 4 3 C D
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若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A
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3 f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 f (?1) ? f (? ) ? f (2) B 2 3 f (2) ? f (?1) ? f (? ) C 2 3 f (2) ? f (? ) ? f (?1) D 2 3 如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 , 那么 f (x) 在区间 ?? 7,?3? 上是( ) A 增函数且最小值是 ? 5 B 增函数且最大值是 ? 5 C 减函数且最大值是 ? 5 D 减函数且最小值是 ? 5
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设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( ) A 奇函数 C 既是奇函数又是偶函数
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B D

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偶函数 非奇非偶函数

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下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A C
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y? x
y? 1 x

B D
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y ? 3? x

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y ? ?x 2 ? 4


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函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 是( A 是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数
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二、填空题
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设奇函数 f (x) 的定义域为 ? ?5, 5? ,若当 x ? [0, 5]

时, f (x) 的图象如右

图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是
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函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是________________ 已知 x ? [0,1] ,则函数 y ? 下列四个命题

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x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 4 若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是
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(1) f ( x) ?

x ? 2 ? 1 ? x 有意义;

(2)函数是其定义域到值域的映射;

(3)函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一直线; (4)函数 y ? ? 其中正确的命题个数是____________
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? x2 , x ? 0 ? 的图象是抛物线, 2 ?? x , x ? 0 ?

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三、解答题
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判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ? 单调性
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k ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 x

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已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数;
2 (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围
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利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域;

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已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5?
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① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数

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(数学 1 必修)第一章下 [基础训练 A 组] 参考答案
一、选择题

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B D A A A

奇次项系数为 0, m ? 2 ? 0, m ? 2

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f (2) ? f (?2), ?2 ? ?

3 ? ?1 2

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奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性

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F ( ? x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? ? F ( x) y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ?
1 在 (0, ??) 上递减, x

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y ? ? x2 ? 4 在 (0, ??) 上递减,
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A

f (?x) ? x ( ?x ?1 ? ?x ?1) ? x ( x ?1 ? x ?1) ? ? f ( x)
??2 x, x ? 1 ? 2 ??2 x , 0 ? x ? 1 为奇函数,而 f ( x) ? ? , 为减函数 2 x 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?2 x, x ? ?1 ?

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二、填空题 1 2 3
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(?2,0) ? ? 2,5?
[?2, ??)

奇函数关于原点对称,补足左边的图象

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x ? ?1, y 是 x 的增函数,当 x ? ?1 时, ymin ? ?2
该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小; 自变量最大时,函数值最大

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? 2 ? 1, 3 ? ? ?

4 5

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?0, ???
1

k ?1 ? 0, k ? 1, f ( x) ? ? x2 ? 3

(1) x ? 2且x ? 1 ,不存在; (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由 离散的点组成的; (4)两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线 三、解答题
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解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

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k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b 2 ] 是减函数,在 [ ? , ??) 是增函数, 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a b b 2 ] 是增函数,在 [ ? , ??) 是减函数 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a ??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2 2 解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a ) ? f (a ?1) ,则 ? ?1 ? 1 ? a ? 1 , ?1 ? a ? a 2 ? 1 ? ? 0 ? a ?1
当k ? 0, y ?
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解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ?

1 1 1 ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , 2 2 2

1 ? y ? [? , ??) 2
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解: (1) a ? ?1, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37 ∴ f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x ) 在 ? ?5,5? 上单调 ∴ a ? 5 或 a ? ?5
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高一数学必修1函数的基本性质及训练和答案

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