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2013年高考数学资料:2008-2012年5年高考数学试题分类汇编与解析09直线与圆

时间:2012-09-11


5 年高考数学试题分类汇编与解析 09 直线和圆
一、选择题 1.【2012 高考山东文 9】圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

2.【2012 高考安徽文 9】若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a)

? y ? 2 有公共点,则实数 a 取
2 2

值范围是 (A) [-3,-1] (C) [ -3,1] 【答案】C 【解析】圆 ( x ? a) ? y ? 2 的圆心 C ( a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ,
2 2

(B)[-1,3] (D) (- ? ,-3]U[ 1 ,+ ? )

则 d ?r?

2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1 。

4. 【2012 高考浙江文 4】 设 a∈R , 则 “a=1” 是 “直线 l1: ax+2y=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行的 A 充分不必要条件 【答案】A 【解析】当 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

a 1 ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?2 .所以,当 a=1 是,两直线平行成立,因此是 2 a ?1

充分条件;当两直线平行时, a ? 1 或 a ? ?2 ,不是必要条件,故选 A. 5.【20 12 高考陕西文 6】已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则(
2 2



1

A. l 与 C 相交 能

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D. 以上三个选项均有可

7. 【2012 高考湖北文 5】过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分, 使.这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

2

2

8.【2012 高考广东文 8】在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4
2 2

相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 【答案】B 【 解 析 】 圆 心 (0, 0) 到 直 线 3x ? 4 y? ? 5 的 0 距 离 d? B. 2 3 C. 3 D .1

0?0?5 32 ? 42

?1 , 则

(

AB 2 2 ) ? r 2? d ? 2

2 ?2 ? 1 2,所以 3 AB ? 2 3 .

2 2 9.【2102 高考福建文 7】直线 x+ 3 y -2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等



2

A. 2 5

B2 3 .

C.

3

D.1

二、填空题 10.【 2012 高考上海文 4】若 d ? (2,1) 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小 为(结果用反三角函数值表示) 【答案】 arctan

? ?

1 2 1 2 1 ,即 2

【 解 析 】 因 为 直 线 的 方 向 向 量 为 (2,1) ? 2(1, ) ? 2(1, k ) , 即 直 线 的 斜 率 k ?

t an? ?

1 1 ,所以直线的倾斜角 ? ? arctan 。 2 2
2 2 2

11.【2012高考浙江文17】定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的 距离, 已知曲线C1: y=x +a到直线l:y=x的距离等于曲线C2: x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离, 则实数a=_______.

2 2 12.【2102 高考北京文 9】直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得弦长为__________。

【答案】 2 2

3

l ,圆心到直线的 2 l 距离 d ,以及圆半径 r 构成了一个直角三角形。因为 r ? 2 ,夹角 45 ? ,因此 ? d ? 2 , 2
【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况,半弦长

13.【2012 高考江西文 14】过直线 x+y-

=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线

2

2

的夹角是 60°,则点 P 的坐标是__________。

4

14. 【2012 高考江苏 12】 (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最大值是 ▲ .

15.【2012 高考天津文科 12】 设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B,且 l 与圆 x ? y ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最
2 2

小值为 【答案】3



【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B (

1 n

1 ,0) ,直线与圆相交所得的弦长为 2, m

2 2 2 圆心到直线的距离 d 满足 d ? r ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 d ? 3 ,即圆心到直线的距离

5

【2011 年高考试题】 一、选择题: 1.(2011 年高考安徽卷文科 4)若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (B) 1 (C) 3 (D) ? 3
? ?

2. (2011 年高考山东卷文科 12)设 A1 ,A2 ,A3 ,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若A 且 A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R), 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R),

?????

?????

?????

?????

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A1 ,

A2 ,已知点 C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的
是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延 长线上 【答案】D 【解析】由 A 1 , A2 , A 3 , A4 在同 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), A 1A 4 ? ?A 1A 2 (μ ∈R)知:四点 A

?????

?????

?????

?????

6

一条直线上, 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且

1 1 ? ? 2 , 故选 D. c d

3.(2011 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆 2 + ( ? 3)2 = 1 外切,与直线 y ? 0 相切.则 C 的圆心轨迹为( A. 抛物线 ) B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆

5.(2011 年高考全国卷文科 11)设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则 两圆心的距离 C1C2 = (A)4 (B) 4 2 (C)8 (D) 8 2

二、填空题: 6.(2011 年高考浙江卷文科 12)若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂 直,则实数 m =_______ 【答案】 1

7

【 解析】 : k1 ?

1 2 1 2 , k2 ? ? ,? 直线互相垂直,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ? (? ) ? ?1,? m ? 1 2 m 2 m
2 2

7. (2011 年高考湖南卷文科 15)已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 . 答案:5,

1 6

9.(2011 年高考辽宁卷文科 13)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上.则 C 的方程为___________.

8

10. (2011 年高考重庆卷文科 13)过原点的直线与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得 弦的长为 2,则该直线的方程为 【答案】 2 x ? y ? 0 三、解答题: 11. (2011 年高考山东卷文科 22)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 两点, 线段 AB 的 中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线

x ? ?3 于点 D(?3, m) .
(Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线
2

l 过定点;
(ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ? ABG 的外接圆方程;若不能, 请说明理由.

9

10

12.(2011 年高考安徽卷文科 17)(本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? k1x+1 ,l2 : y=k 2 x ?1,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0, (I )证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1 上. 【命题意图】 :本题考察直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在线上的判 断与证明,椭圆方程等基本知识,考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
2 2

11

12

13. (2011 年高考福建卷文科 18) (本小题满分 12 分) 如图, 直线 l : y=x+b 与抛物线 C :x =4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的 圆的方程.
2

14. (2011 年高考全国新课标卷文科 20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上, (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。

13

【2010 年高考试题】 (2010 安徽文数) (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 4.A 【解析】 设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 , 又经过 (1, 0) , 故 c ? ?1 , 所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 【 方 法 技 巧 】 因 为 所 求 直 线 与 与 直 线 x-2y-2=0 平 行 , 所 以 设 平 行 直 线 系 方 程 为 代入此直线所过的点的坐标, 得参数值, 进而得直线方程.也可以用验证法, x ? 2y ? c ? 0, 判断四个选项中方程哪一个过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行. (2010 重庆文数) (8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 的公共点,则实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) (B) [2 ? 2, 2 ? 2] (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同 ? y ? sin ?

14

(C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) (D) (2 ? 2, 2 ? 2)

(2010 广东文数)

(2010 全国卷 1 理数) (11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切 点,那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

15

(2010 上海文数)7.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离

d?

3



解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为

3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5

?3

(2010 湖南文数)14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b) , (3-b,3-a) ,则线段 PQ 的垂 直 平 分 线 l 的 斜 率 为 -1 , 圆 ( x-2 ) + ( y-3 ) =1 关 于 直 线 对 称 的 圆 的 方 程 为
2 2

(2010 天津文数) (14) 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。

16

(2010 四川文数)(14)直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A、B 两点,则?AB ?? . 解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?

得|AB|=2 3 答案:2 3 【2009 年高考试题】 5.(2009·海南文)已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对
2 2

称,则圆 C2 的方程为 (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

6.(2009·安徽文)直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是

17

A. C.

B. D.

解析:可得 l 斜率为 ? ? l : y ? 2 ? ? 答案:A

3 2

3 ( x ? 1) 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2

9.(2009·广东文)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是.

10.(2009·浙江文)已知三角形的三边长分别为 3, 4, 5 ,则它的边与半径为1 的圆的公共点 个数最多为( 答案:C 解析:对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆 的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 11. (2009·天津文)若圆 x 2 ? y 2 ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 )

2 3 ,则 a=________.

12.(2009·安徽文)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是________。 解析:设 M (0, y, 0) 由 1 ? y ? 4 ? 1 ? (?3 ? y) ? 1 可得 y ? ?1 故 M (0, ?1,0)
2 2 2

答案:(0,-1,0) 13.(2009·广东文)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是.
2 2 答案: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

25 2

18

解析:将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?

| 2 ?1 ? 6 | 5 ,所以圆的方程为 ? 1?1 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

25 2

【2008 年高考试题】 1. (2008·山东文科 11) 若圆 C 的半径为 1, 圆心在第一象限, 且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴 相切,则该圆的标准方程是 A. ( x ? 3)2 ? ? y ? ( ) B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

? ?

7? ? ?1 3?
2

2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2

3? ? D. ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? 1 2? ?
| 4a ? 3 | 1 ? 1,? a ? 2(舍 ? ). 选 B. 5 2
2

2

解析: 本小题主要考查圆与直线 相切问题。 设圆心为 ( a,1), 由已知得 d ?
2

2. (2008·广东文科 6)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0

3. (2008·山东理科 11)已知圆的方程为 x +y -6x-8y= 0.设该圆过点(3,5)的最长 弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( )

2

2

19

A.10 6

B.20 6

C.30 6

D.40 6

7. (2008·广东理科 11)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 方程是________________. 解析:易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就 能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 .
14. (2008·宁夏海南文科第 20 题) 已知 m ? R , 直线 l : mx ? (m 2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

【2007 年高考试题】

20

8.(2007·山东理 15)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半 径最小的圆的标准方程是_________.

21


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