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第12讲 函数与方程1


第十二讲 函数与方程

基础检测
3 1.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? ( x ? 0) 的零点所在的大致区间是( x A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4) 【答案】B 【解析】
试 题 分 析 : ∵



f (1) ? log2 3

? 3 ? 0 , f (2) ? log 2 4 ?

3 ?0 , ∴ 函 数 2

3 . f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? ( x ? 0) 的零点所在的大致区间是(1,2) x 考点:零点所在区间.
2. 奇函数 ( f x) 、 偶函数 ( g x) 的图像分别如图 1、 2 所示, 方程 f g ? x ? = 0, g f ? x ? =0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b= ( )

?

?

?

?

A. 14 B. 10 【答案】B 【解析】

C. 7

D. 3

试题分析:观察函数的图象可知, ?1 ? f ( x) ? 1 , ?1 ? g ( x) ? 1 ,使 f ( x) ? 0 的 x 为

?1, 0,1 ,使 g ( x) ? ?1 的 x 均有 2 个,使 g ( x) ? 0 的 x 有 3 个,所以 f ? g ? x ??=0 的实
根 个 数 a ? 7 ; 使 g ( x ) ? 0的

x 有 3 个 , 使 g ? f ? x ??=0 的 只 有 f ? x ?=0 . 所 以

g? f ? x ??=0 的实根个数 b ? 3 ,故 a+b=10 ,选 B .
考点:1.函数与方程;2.函数的奇偶性;3.转化与化归思想、数形结合思想. 3.定义一种新运算: a ? b ? ?

?b,(a ? b) 4 ,已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 x ?a,(a ? b)

g ( x) ? f ( x) ? k
恰有两个零点,则 k 的取值范围为( A. ?1, 2? 【答案】B 【解析】
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) C. (0, 2) D. (0,1)

B. (1, 2)

试题分析:新运算的原则是谁小取谁,在平面直角坐标系中画出 y ? 1 ? 的图像, 可知 x ? 4 时,1 ?

4 、 y ? log 2 x x

4 4 ? log 2 x ? 2 ,在 (0, 4) 上,1 ? ? log 2 x ,在 (4, ??) 上, x x 4 4 1 ? ? log 2 x ,且 y ? 1 ? ? 1 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范 x x

围为 (1, 2) 。 考点:反比例函数、对数函数的图像和性质。 4.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x≥ 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 2 x ,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x 零 点个数为 ( ) A.4 【答案】B 【解析】
2 试题分析: 当 x ? 0 时, 令 ?x ? 2x ? x , 解得 x ? 0 或 x ? 1 , 根据函数 f ( x ) 是奇函数,

B.3

C.1

D.0

所以函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x 也是奇函数,故零点应用关于原点对称,故还有一个 x ? ?1 , 所以一共有 3 个零点,故选 B. 考点:奇函数,函数的零点的个数.

? x 2 ? 1, x ? 1 ? 5.已知函数 f ( x ) ? ?log x, x ? 1 函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个不同的零点,则实数 k 1 ? ? 2
的取值范围是_________. 【答案】 ? ?1,0? 【解析】 试题分析:由题画出 f ? x ? 的图像如图所示, g ( x) ? f ( x) ? k ? 0, f ? x ? ? k ,若 g ? x ? 有三个不同点,则 k ? ? ?1,0?

考点:函数的零点 6.函数 是
2 f ( x)? l o 2 区 间 0,1 内 无 零 点 , 则 实 数 a 的 范 围 a g x? a x ? 在 ? ?

.

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【答案】 ?1, 2? 【解析】 试题分析:

f ( x) ? loga x ? ax2 ? 2 ? 0 可 变 形 为 loga x ? 2 ? ax2 , 由 题 意 函 数

g ( x) ? loga x 与 h( x) ? 2 ? ax2 在 (0,1) 上无交点,h( x) ? 2 ? ax2 的图象是开口向下的
抛物线, 其对称轴为 x ? 0 , 在( 当0 ? a ?1 0 , ?? ) 上为减函数, h(0) ? 2 , h(1) ? 2 ? a , 时,

g ( x) ? loga x 在 (0, ??) 上是减函数, 且 g (1) ? 0 ? h(1) ? 2 ? a , 此时 g ( x) 和 h( x) g ( x) ? log a x 在 (0, ??) 上是增函数,要使

在 (0,1) 上有交点,不合题意;当 a ? 1 时,

得 g ( x) 和 h( x) 在 (0,1) 上无交点,则有 h(1) ? 2 ? a ? g (1) ? 0 , a ? 2 ,所以 a 的取值 范围是 (1, 2] . 考点:函数的零点,函数图象的交点,函数的单调性. 7.已知函数 f(x)=lgx+x-10 的零点在区间(k,k+1)上, 则 k= . 【答案】9 【解析】 试题分析:判断函数的单调性,根据函数零点的判断条件即可得到结论.函数 g(x) 单调递增, ∵f(9)=lg9+9-10=lg9-1<0,f(10)=lg10+10-10=1>0,∴f(9)f(10)<0, 即函数 f(x)在(9,10)内存在唯一的零点,∵函数 f(x)=lgx+x-10 的零点在区间 (k,k+1)上,k∈Z, ∴k=9,故答案为:9. 考点:函数零点判断,函数单调性 2 8.方程 x +mx+1=0 的两根,一根大于 2,另一根小于 2 的充要条件是______. 【答案】 m ? ? 【解析】 试题分析:令 f ? x ? ? x ? mx ? 1 ,
2
2 当 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 的 两 根 , 一 根 大 于 2 , 另 一 根 小 于 2 时 则 有

5 2

f ? 2? ? 22 ? 2m ?1 ? 0 ,解得 m ? ? ;
当m ? ?

5 2

5 2 2 时可得 f ? 2? ? 2 ? 2m ?1 ? 0 ,则可知 x ? mx ? 1 ? 0 的两根必一个大于 2 2 5 . 2

一个小于 2.
2 故方程 x ? mx ? 1 ? 0 的两根,一根大于 2,另一根小于 2 的充要条件是 m ? ?

考点:1 充分必要条件;2 一元二次方程的根.

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