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14--抛物线的参数方程(教师版)

时间:2016-05-20


14. 抛物线的参数方程
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学习目标:1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义; 2. 掌握椭圆的参数方程,并能解决一些简单的问题. 学习重点:椭圆参数方程的应用, 学习难点:椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程: 一、课前准备: 阅读教材 P33 ? P34 的内容,理解抛物线的参数方程的推导过程,并复习以下问题: 1.将下列参数方程化为普通方程: (1) ? (2) ?

? x ? 2?t ( t 为参数) ,答: y ? x2 ? 5x ? 3 ; 2 ?y ? t ?t ?3
( m 为参数) ,答:

? x ? 2m 2 ? y ? 4m

y 2 ? 8x .

2.将下列普通方程化为参数方程:

? x ? t ?1 ? t 1 2 (1) y ? 2x ,其中 x ? t ? ( t 为参数) ,答: ? ; t 2 2 ? y ? 2t ? 2 ? 4 t ?
? x?t ? (2) 3 y ? 4 x ,其中 x ? t ( t ? 0 为参数) ,答: ? . y ? ? 2 3t ? 3 ?
2

二、新课导学: (一)新知: 抛物线的参数方程的推导过程: 如图:设 M ( x, y ) 为抛物线上除顶点外的任意一点,以 射线 OM 为终边的角记为 ? ,当 ? 在 ( ?

? ?

时,点 M 在抛物线上运动,并且对于 ? 的每一个值,在 抛物线上都有唯一的 M 点与对应.因此,可以取 ? 为参数 探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得, tan ? ? 联立 y ? 2 px ,得
2

, ) 内变化 2 2
O

y M(x,y)

?
x

y ,即 y ? x tan ? , x

2p ? x? ? ? tan 2 ? ( ? 为参数) ,这为抛物线的不含顶点的参数方程,但方程的形式不够简洁, ? 2 p ?y ? ? tan ? ? ? x ? 2 pt 2 1 设t ? , t ? (??,0) ? (0, ??) ,则 ? ( t 为参数 ) , tan ? y ? 2 pt ? 当 t ? 0 时,由参数方程得,正好为顶点 O (0, 0) ,因此当 t ? (??, ??) 时,上式为

y 2 ? 2 px 的参数方程. 注意:参数 t 的几何意义为:表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 2 动动手: (1)选择适当的参数 t ,建立抛物线 x ? 2 py 的参数方程.
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【解析】如图, ? ? (0, 得, t ? tan ? ?

? ) ? ( ? , ? ) ,根据三角函数的定
2 2
A O

y M(x,y)



y ,即 y ? xt ,联立 x2 ? 2 py ,得 x

?
x

? x ? 2 pt ( t 为参数). ? 2 ? y ? 2 pt
(2) 可选择 M 到准线的距离 t 为参数,y 2 ? 2 px 的 数方程是怎样的? 【解析】如图, | MA |? t ,则 x ? t ?



p ,代入抛物线方 2
A O

2 程,得 y ? ? 2 pt ? t ,所以,抛物线的参数方程为

y M(x,y) x

p ? ?x ? t ? 2 ( t 为参数). ? ? y ? ? 2 pt ? t 2 ?
(二)典型例题: 【例 1】 A 、 B 是抛物线 y 2 ? 2 x 上异于顶点的两动点,

且 OA ? OB , OM ? AB 并与 AB 相交于 M ,求点 M 的轨迹方程. 【解析】方法一 :设 M ( x, y ) , A(2t12 , 2t1 ) , B(2t22 , 2t2 ) (t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0) . 由 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

(2t1t2 )2 ? 22 t1t2 ? 0 , t1t2 ? ?1 ………① ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 又 OM ? AB ,所以 OM ? AB ? 0 , 2x(t22 ? t12 ) ? 2(t2 ? t1 ) ? 0 . y 所以 x(t1 ? t2 ) ? y ? 0 , t1 ? t2 ? ? ( x ? 0) ……………② x ???? ? ???? 2 2 又 AM ? ( x ? 2t1 , y ? 2t1 ) , MB ? (2t2 ? x,2t2 ? y) 且 A ,
M , B 共线.

y A M(x,y) O B x

2 2 ∴ ( x ? 2t1 )(2t2 ? y) ? ( y ? 2t1 )(2t2 ? x) ,即 y(t1 ? t2 ) ? 2t1t2 ? x ? 0 ……③

由①,②代入③,得到 x ? y ? 2 x ? 0( x ? 0) ,这就是所求 M 点的轨迹方程.
2 2

y12 y2 , y1 )( y1 ? 0) , B( 2 , y2 )( y2 ? 0) , 2 2 2 2 y y 因为 OA ? OB ,所以 1 ? 2 ? y1 y2 ? 0 , y1 y2 ? ?4 , 2 2 2 y12 2 直线 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x ? 2) , ( x ? ) ,即 y ? y1 ? y2 y1 ? y2 2 所以直线 AB 过定点 C (2 p, 0) 又 OM ? AB ,所以点 M 的轨迹是以 OC 为直径的圆,则 M 的轨迹方程为 ( x ? p)2 ? y 2 ? p2 ( y ? 0) .
方法二:设 A( 动动手:已知 O 是坐标原点, A 、 B 是抛物线 ? 且 OA ? OB ,求 AB中点M 的轨迹方程. 【解析】设 A(2 pt1 ,2 pt1 ) , B(2 pt2 ,2 pt2 ) ,由 OA ? OB ,得 t1t 2 ? ?1 ,
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2 2

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

( t 为参数)上异于顶点的两动点,

2 2 ? 2 pt1 ? 2 pt2 2 2 x ? ? p(t1 ? t 2 ) ? ? 2 又中点 M ( x, y ) 由 ? ,结合 t1t 2 ? ?1 , 2 pt ? 2 pt2 1 ?y ? ? p(t1 ? t 2 ) ? 2 ? 得点 M 的方程为: y 2 ? p( x ? 2 p) .

三、总结提升: 1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义,特别是参数 t 对应的角的取值范围,会将抛物线 的参数方程与普通方程互化. 2.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点可以设为 M (2 pt 2 , 2 pt ) . 3.在求轨迹方程时,可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习: 1. 若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? A. 2 2. 抛物线 ? B. 3

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,则 PF 等于( C )
D. 5

C. 4

? x ? 2m ( m 为参数)的焦点坐标是 ( B ) 2 ? y ? ?m A. (?1, 0) B. (0, ?1) C. (0, ?2) D. (?2, 0)

3. 已知曲线 ?

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2 , ? y ? 2 pt ( C ) 且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN ?
A. p t1 B. 2 p t1 C. 4 p t1 D. 8 p t1

? x ? 2 pt 2

? x ? 2 pt 2 4. 若曲线 ? ( t 为参数) 上异于原点的不同的两点 M 1 、 M 2 所对应的参数分别是 t1 、 ? y ? 2 pt t 2 ,求 M1M 2 所在直线的斜率. 【解析】由于 M 1 、 M 2 所对应的参数分别是 t1 、 t 2 , ,所以可设两点 M 1 、 M 2 坐标分别为
2 M1 (2 pt12 , 2 pt1 ), M 2 (2 pt2 , 2 pt2 ) ,

所以, kM1M 2 ?

2 pt1 ? 2 pt2 1 . ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt2 t1 ? t2

2 5. A 、 B 是抛物线 y ? 2 x 上异于顶点的两动点,且 OA ? OB ,点 A 、 B 在什么位置时, ?AOB 的面积最小?最小值是多少?

【解析】设 A(2t12 , 2t1 ) , B(2t22 , 2t2 ) (t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0) , 则 | OA |? 2 | t1 | t1 ? 1 , | OB |? 2 | t2 | t2 ? 1 ,
2 2

因为 OA ? OB ,所以 t1t2 ? ?1 ,
2 2 2 2 2 所以 S ?AOB ? 2 | t1t2 | (t1 ? 1)(t2 ? 1) ? 2 t1 ? t2 ? 2 ? 2 (t1 ? t2 ) ? 4 ? 4 ,

当且仅当 t1 ? ?t2 时,即 A 、 B 关于 x 轴对称时 ?AOB 面积最小,最小面积为 4 . 五、学后反思:

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