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高中数学知识点总结及公式大全


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
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膁薁袇羁芃 莄袃羀蒅虿蝿 罿膅蒂蚅羈 芇蚈薁羈莀 蒁衿羇聿蚆螅 肆膂葿蚁肅 芄蚄薇肄蒆蒇 羆肃膆芀袂 肂芈薅螈肂 莁莈蚄肁肀薄 薀肀膃莇袈 腿芅薂螄膈莇 莅蚀膇肇薀 蚆膆艿蒃羅 膆莁虿袁膅蒄 蒁螇膄膃蚇 蚃螀芆蒀蕿袀 莈蚅袈衿肈 蒈螄袈膀蚃螀 袇莂薆蚅袆 蒅荿羄袅膄薅 袀袄芇莇螆 袄荿薃蚂羃 肈莆薈羂膁薁 袇羁芃莄袃 羀蒅虿蝿罿膅 蒂蚅羈芇蚈 薁羈莀蒁衿羇 聿蚆螅肆膂 葿蚁肅芄蚄薇 肄蒆蒇羆肃 膆芀袂肂芈薅 螈肂莁莈蚄 肁肀薄薀肀 膃莇袈腿芅薂 螄膈莇莅蚀 膇肇薀蚆膆艿 蒃羅膆莁虿 袁膅蒄蒁螇膄 膃蚇蚃螀芆 蒀蕿袀莈蚅 袈衿肈蒈螄袈 膀蚃螀袇莂 薆蚅袆蒅荿羄 袅膄薅袀袄 芇莇螆袄荿薃 蚂羃肈莆薈 羂膁薁袇羁 芃莄袃羀蒅虿 蝿罿膅蒂蚅 羈芇蚈薁羈莀 蒁衿羇聿蚆 螅肆膂葿蚁肅 芄蚄薇肄蒆 蒇羆肃膆芀袂 肂芈薅螈肂 莁莈蚄肁肀薄 薀肀膃莇袈 腿芅薂螄膈 莇莅蚀膇肇薀 蚆膆艿蒃羅 膆莁虿袁膅蒄 蒁螇膄膃蚇 蚃螀芆蒀蕿袀 莈蚅袈衿肈 蒈螄袈膀蚃螀 袇莂薆蚅袆 蒅荿羄袅膄薅 袀袄芇莇螆 袄荿薃蚂羃 肈莆薈羂膁薁 袇羁芃莄袃 羀蒅虿蝿罿膅 蒂蚅羈芇蚈 薁羈莀蒁衿羇 聿蚆螅肆膂 葿蚁肅芄蚄薇 肄蒆蒇羆肃 膆芀袂肂芈薅 螈肂莁莈蚄 肁肀薄薀肀 膃莇袈腿芅薂 螄膈莇莅蚀 膇肇薀蚆膆艿 蒃羅膆莁虿 袁膅蒄蒁 螇膄膃蚇蚃螀 芆蒀蕿袀莈 蚅袈衿肈蒈螄 袈膀蚃螀袇 莂薆蚅袆蒅荿 羄袅膄薅袀 袄芇莇螆袄 荿薃蚂羃肈莆 薈羂膁薁袇 羁芃莄袃羀蒅 虿蝿罿膅蒂 蚅羈芇蚈薁羈 莀蒁衿羇聿 蚆螅肆膂葿蚁 肅芄蚄薇肄 蒆蒇羆肃膆芀 袂肂芈薅螈 肂莁莈蚄肁 肀薄薀肀膃莇 袈腿芅薂螄 膈莇莅蚀膇肇 薀蚆膆艿蒃 羅膆莁虿袁膅 蒄蒁螇膄膃 蚇蚃螀芆蒀蕿 袀莈蚅袈衿 肈蒈螄袈膀蚃 螀袇莂薆蚅 袆蒅荿羄袅 膄薅袀袄芇莇 螆袄荿薃蚂 羃肈莆薈羂膁 薁袇羁芃莄 袃羀蒅虿蝿罿 膅蒂蚅羈芇 蚈薁羈莀蒁衿 羇聿蚆螅肆 膂葿蚁肅芄蚄 薇肄蒆蒇羆 肃膆芀袂肂 芈薅螈肂莁莈 蚄肁肀薄薀 肀膃莇袈腿芅 薂螄膈莇莅 蚀膇肇薀 蚆膆艿蒃羅膆 莁虿袁膅蒄 蒁螇膄膃蚇蚃 螀芆蒀蕿袀 莈蚅袈衿肈蒈 螄袈膀蚃螀 袇莂薆蚅袆 蒅荿羄袅膄薅 袀袄芇莇螆 袄荿薃蚂羃肈 莆薈羂膁薁 袇羁芃莄袃羀 蒅虿蝿罿膅 蒂蚅羈芇蚈薁 羈莀蒁衿羇 聿蚆螅肆膂葿 蚁肅芄蚄薇 肄蒆蒇羆肃 膆芀袂肂芈薅 螈肂莁莈蚄 肁肀薄薀肀膃 莇袈腿芅薂 螄膈莇莅蚀膇 肇薀蚆膆艿 蒃羅膆莁虿袁 膅蒄蒁螇膄 膃蚇蚃螀芆蒀 蕿袀莈蚅袈 衿肈蒈螄袈 膀蚃螀袇莂薆 蚅袆蒅荿羄 袅膄薅袀袄芇 莇螆袄荿薃 蚂羃肈莆薈羂 膁薁袇羁芃 莄袃羀蒅虿蝿 罿膅蒂蚅羈 芇蚈薁羈莀蒁 衿羇聿蚆螅 肆膂葿蚁肅 芄蚄薇肄蒆蒇 羆肃 膆芀 袂肂芈薅螈肂 莁莈蚄肁肀 薄薀肀膃莇袈 腿芅薂螄膈 莇莅蚀膇肇薀 蚆膆艿蒃羅 膆莁虿袁膅 蒄蒁螇膄膃蚇 蚃螀芆蒀蕿 袀莈蚅袈衿肈 蒈螄袈膀蚃 螀袇莂薆蚅袆 蒅荿羄袅膄 薅袀袄芇莇螆 袄荿薃蚂羃 肈莆薈羂膁薁 袇羁芃莄袃 羀蒅虿蝿罿 膅蒂蚅羈芇蚈 薁羈莀蒁衿 羇聿蚆螅肆膂 葿蚁肅芄蚄 薇肄蒆蒇羆肃 膆芀袂肂芈 薅螈肂莁莈蚄 肁肀薄薀肀 膃莇袈腿芅薂 螄膈莇莅蚀 膇肇薀蚆膆 艿蒃羅膆莁虿 袁膅蒄蒁螇 膄膃蚇蚃螀芆 蒀蕿袀莈蚅 袈衿肈蒈螄袈 膀蚃螀袇莂 薆蚅袆蒅荿羄 袅膄薅袀袄 芇莇螆袄荿薃 蚂羃肈莆薈 羂膁薁袇羁 芃莄袃羀蒅虿 蝿罿膅蒂蚅 羈芇蚈薁羈莀 蒁衿羇聿蚆 螅肆膂葿 蚁

高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C
中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为

1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?
3. 注意下列性质:

(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;

(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:

CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?,CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 ? 0的解集为M,若3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

(∵ 3 ? M,∴

a· 3 ? 5 ?0 32 ? a a·5 ? 5 ?0 52 ? a

∵5 ? M,∴

5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (?),“且” (?) 和

“非” (?).
若p ? q为真,当且仅当 p、q均为真 若p ? q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真 若?p为真,当且仅当 p为假

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性, 哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

(答:?0, 2? ??2 , 3? ??3, 4?)
10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定
义域是_____________。

?

?

(答: a, ? a )
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

?

?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0

∴x ? t 2 ? 1
∴f ( t ) ? e t
2

?1

? t2 ?1
? x 2 ? 1 ? x ? 0?

∴f ( x) ? e x

2

?1

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

? ?1 ? x 如:求函数 f (x) ? ? 2 ? ?? x

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?

? ?x ? 1 ?x ? 1? (答:f ?1 (x) ? ? ) ? ? x x ? 0 ? ? ? ?
13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ? A,b ? C,则f(a) = b ? f ?1 (b) ? a

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? f ?1? f (a )? ? f ?1 ( b) ? a,f f ?1 ( b) ? f (a ) ? b
14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

?

?

(y ? f ( u) ,u ? ? ( x) ,则y ? f ?? ( x)? (外层) (内层)
当内、外层函数单调性相同时f ??(x)?为增函数,否则f ??(x)?为减函数。)

如:求y ? log 1 ? x2 ? 2x 的单调区间
2

?

?

(设u ? ? x 2 ? 2 x,由u ? 0则0 ? x ? 2

且 log 1 u ? ,u ? ??x ? 1? ? 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ? (0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

∴??) 15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b?内,若总有f '( x) ? 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ? 0呢?
如:已知a ? 0,函数f ( x) ? x 3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令 f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3? x ? ??x ? ? ?0 3?? 3? ?

则x ? ?

a 或x ? 3

a 3

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由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则 a ? 1,即a ? 3 3

∴a 的最大值为 3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) ? ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
如:若f ( x) ? a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0
即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1 2x , 4x ? 1

又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ?
求f ( x) 在??1,1?上的解析式。

2?x (令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ? ? x 4 ?1 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ? 2?x 2x ? ? 4 ?x ? 1 1? 4x
x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1? )

? 2x ?? x ? 4 ?1 又f (0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1
17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。)

如:若f ?x ? a ? ? ? f ( x) ,则

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(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)
又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x ? a,x ? b ???

即f (a ? x) ? f (a ? x) ,f ( b ? x) ? f ( b ? x)
则f ( x) 是周期函数,2 a ? b 为一个周期
如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称 f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x ? a 对称 f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称
左移a (a?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 将y ? f ( x) 图象 ? ??????? ?? 右移a (a?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b ? ??????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b
注意如下“翻折”变换:

f ( x) ? ?? f ( x) f ( x) ? ?? f (| x|)

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?
作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象

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y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y (k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?

(2 )反比例函数:y ?
的双曲线。

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O'(a,b) x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y ? ax ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a

开口方向:a ? 0,向上,函数y min ?

4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1 、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

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?? ? 0 ? ? b 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ? ?f ( k ) ? 0
y

(a>0)

O

k

x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0
(4 )指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1? (5)对数函数y ? log a x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定!)
y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=logax(a>1)

(0<a<1)

(6)“对勾函数” y ? x ?

k ?k ? 0? x
y

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

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指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ?
m

1 (a ? 0) ap

a n ? n a m (a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: log a M·N ? log a M ? log a N ? M ? 0,N ? 0?

log a

M 1 n ?log M ? log a M?log a N, l o g a a M N n

对数恒等式:a loga x ? x

对数换底公式: log a b ?
21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

log c b n ? log a m b n ? log a b log c a m

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ? x,??) (2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x ? y ? ? t ? f ?( ? t )( ? t )? ? f ( t·t )

∴f ( ? t ) ? f ( ? t ) ? f ( t ) ? f ( t )
∴f ( ? t ) ? f ( t ) ??)
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ? x 2 ? x 1 ? ? x 2 ? ??
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法 等。) 如求下列函数的最值:

?

?

(1)y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x

( 2 )y ?

2 x ?4 x ?3

2x 2 ( 3)x ? 3,y ? x?3
( 4 )y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 设x ? 3 c o s ?, ? ? ? 0 , ? ?

?

?

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(5)y ? 4 x ? 9 ,x ? (0,1] x 1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l ? ? ·R,S 扇 ?

R 1 弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sin ? ? MP, c o s ? ? OM, t a n ? ? AT
y B P α O M A x S T

如:若 ?

? ? ? ? 0,则 sin ?, cos ?, tan ?的大小顺序是 8

?? ? 又 如 : 求 函y 数 ? 1? 2 c o? s ? x? 的 定 义 域 和 值 域 。 ?2 ?

?? ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ? ∴ sin x ? 2 ,如图: 2

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∴2 k? ?

5? ? ? x ? 2 k? ? ?k ? Z?,0 ? y ? 1 ? 2 4 4

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

sin x ? 1, cos x ? 1
y

y? tgx

?

?
2

O ?

?

x

2

? ? ? 对称点为? k , 0? ,k ? Z ? 2 ?
? ? y?sin x的增区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? 2 ? ?? ?k ? Z? 2? ?

? 3? ? ? 减区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z? 2 2? ?

图象的对称点为? k?, 0?,对称轴为 x ? k? ?

? ?k ? Z? 2

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y?cos x的增区间为?2 k?, 2 k? ? ?? ? k ? Z? 减区间为?2 k? ? ?, 2 k? ? 2 ?? ? k ? Z?

? ? ? 图象的对称点为 ? k? ? , 0? ,对称轴为 x ? k? ? k ? Z? ? ? 2

? ? y? tan x的增区间为? k? ? ,k? ? ? 2

?? ? k ?Z 2?

26. 正弦型函数y = Asin??x + ??的图象和性质要熟记。? 或y ? A cos??x ? ???

(1)振幅| A| ,周期T ?

2? | ?|

若f ?x 0 ? ? ?A,则x ? x 0 为对称轴。

若f ?x 0 ? ? 0,则? x 0 ,0?为对称点,反之也对。

(2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0,
(x,y)作图象。

? 3? ,?, ,2? ,求出x与y,依点 2 2

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

?? ( x 1 ) ? ? ? 0 ? 如图列出 ? ? ?( x 2 ) ? ? ? ? 2 ?

解条件组求?、?值
?正切型函数 y ? A tan??x ? ??,T ? ? | ?|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

?? 2 3? ? ? ? 如: cos? x ? ? ? ? ,x ? ??, ? ,求x值。 ? 6? 2 2? ?

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(∵? ? x ? 3? 7? ? 5? ? 5? 13 ,∴ ? x? ? ,∴x ? ? ,∴x ? ?) 2 6 6 3 6 4 12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

如:函数y ? sin x ? sin| x| 的值域是 (x ? 0时,y ? 2 sin x ?? ?2 ,2?,x ? 0时,y ? 0,∴y ?? ?2 ,2?)
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:

? ? x' ? x ? h a ?( h,k ) (1)点P(x,y) ? ???? ?? P' (x' ,y' ),则 ? 平移至 ? y' ? y ? k
(2) 曲 线 f ( x,y) ? 0沿 向 量 a ? ( h,k ) 平 移 后 的 方 程f为 ( x ? h,y ? k ) ? 0
?

?? ? 如:函数 y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的 ? 4?
图象?

? (y ? 2 sin? 2 x ? ?

?? ? ? 1 ? ?? 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? ? 1 ? ?????????? y ? 2 sin ?2? x? ? ? ? 1 4? ? ?2 ? 4?

? 左平移 个单位 ? ? ? 1个单位 4 ? 2 sin? x ? ? ? 1 ? ????? ?? y ? 2 sin x ? 1 ?上平移 ????? ?? y ? 2 sin x ? ? 4
1 2 ? y ? sin x) ? ?????????
纵坐标缩短到原来的 倍

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? tan ?· cot ? ? cos ?· sec ? ? tan ? sin ? ? cos 0 ? ??称为1的代换。 2 ? “ k· ? ?”化为 ? 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, 2
9? ? 7? ? ? tan? ? ? ? sin?21?? ? ? 6? 4

? 4

“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。

如: cos

又如:函数y ?
A. 正值或负值

sin ? ? tan ? ,则y的值为 cos ? ? cot ?
B. 负值 C. 非负值 D. 正值

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sin ? 2 cos ? ? sin ??cos ? ? 1? ? 0,∵? ? 0) (y ? cos ? cos2 ??sin ? ? 1? cos ? ? sin ? sin ? ?
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系:

令??? sin ?c o s ??cos ?s i n ? ??? ?? s i n 2? ? 2 s i n ?c o s ? ?? ? ?? ? s i n
令 ? ?? c o? s? ? ?? ? c o s ?c o s ? ? sin ? sin ? ? ?? ?? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?
tan ?? ? ? ? ? tan ??tan ? 1? t a n ?· t a n ?
2 ? 2c o 2 s? ?1 ? 1? 2s i n ??

2t a n ? tan 2? ? 2 1? t a n ?

1? c o s 2? 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 c o2 s? ?

as i n ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin?? ? ??, tan ? ?
?? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? 4? ?? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? 3?

b a

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能 求值,尽可能求值。) 具体方法:

(1)角的变换:如? ? ?? ? ?? ? ?,

? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 2 2? ? 2

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

sin ? cos ? 2 ? 1, tan?? ? ?? ? ? ,求 tan?? ? 2??的值。 1 ? cos 2? 3 sin ? cos ? cos ? 1 (由已知得: ? ? 1,∴ tan ? ? 2 2 sin ? 2 2 sin ? 2 又tan ?? ? ?? ? 3 2 1 ? tan ? ?? ? ?? ? t a n 3 2 ? 1) ∴tan ? ?? ? 2?? ? t a n ??? ? ?? ? ?? ? 1 ? t a n ? 1? 2 · 1 8 ?? ? ??· t a n 3 2 如:已知

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32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

余弦定理:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2 bc

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

?a ? 2 R sin A a b c ? 正弦定理: ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?

S? ?

1 a·b s i n C 2

∵A ? B ? C ? ?,∴A ? B ? ? ? C

A?B C ∴s i n C, s i n ? cos ?A ? B? ? s i n 2 2 A?B 如?ABC中,2 sin 2 ? cos 2C ? 1 2
(1)求角C;
c2 ( 2 )若a ? b ? ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2
2 2

((1)由已知式得:1 ? cos?A ? B? ? 2 cos2 C ? 1 ? 1

又A ? B ? ? ? C,∴2 cos2 C ? cos C ? 1 ? 0

1 或 cos C ? ?1(舍) 2 ? 又0 ? C ? ?,∴C ? 3 1 (2 )由正弦定理及a 2 ? b 2 ? c 2 得: 2 3 2 2 2 2 ? 2s i n A ? 2s i n B?sin C?sin ? 3 4 3 1 ? cos 2A ? 1 ? cos 2 B ? 4 3 ∴ cos 2A ? cos 2 B ? ? ) 4 ∴ cos C ?
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

?? ? ? 反正弦: arcsin x ? ?? , ? ,x ?? ?1,1? 2? ? 2
反余弦: arccos x ??0,??,x ?? ?1,1?

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?? ? ? 反正切: arctan x ? ? ? , ? ,? x ? R ? ? 2 2?
34. 不等式的性质有哪些?

(1)a ? b,

c ? 0 ? ac ? bc c ? 0 ? ac ? bc

(2)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (3)a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd

(4 )a ? b ? 0 ?

1 1 1 1 ? ,a ? b ? 0 ? ? a b a b

(5)a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ? n b

(6)| x| ? a ?a ? 0? ? ?a ? x ? a,| x| ? a ? x ? ?a或x ? a

如:若

1 1 ? ? 0,则下列结论不正确的是( a b
B. ab ? b 2



A. a 2 ? b 2

C. | a|?| b| ?| a ? b|
答案:C 35. 利用均值不等式:

D.

a b ? ?2 b a

? a ? b? a ? b ? 2ab a,b ? R ;a ? b ? 2 ab ;ab ? ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?
2 2

?

?

?

2

意到“a,b ? R ? ”且“等号成立”时的条件,积(ab) 或和(a ? b) 其中之一为定
值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论:

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? a,b ? R ? 2 2 a?b

?

?

当且仅当a ? b时等号成立。
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ?a,b ? R ?

当且仅当a ? b ? c时取等号。 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则

b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b

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如:若x ? 0,2 ? 3x ? 4 的最大值为 x

4? ? (设y ? 2 ? ? 3x ? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ? x? 当且仅当 3x ? 4 2 3 ,又x ? 0,∴x ? 时,y max ? 2 ? 4 3) x 3

又如:x ? 2 y ? 1,则 2 x ? 4 y 的最小值为 (∵ 2 x ? 2 2 y ? 2 2 x ? 2 y ? 2 2 1 ,∴最小值为 2 2 )
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 ?
(1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ?2 2 2 3 n

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 1? 2 2 ? 3 2 3 n ?n ? 1?n

? 1?1? ?2?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n ?1 n

1 ? 2) n
f ( x) ? a ?a ? 0?的一般步骤是什么? g( x)

37. 解分式不等式

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始

如:? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 2? ? 0
2 3

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a ? 1或0 ? a ? 1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例如:解不等式| x ? 3|? x ? 1 ? 1

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? (解集为 ?x| x ? ? 1? ?) 2?

41. 会用不等式| a|?| b| ?| a ? b| ?| a|?| b| 证明较简单的不等问题
如:设f ( x) ? x 2 ? x ? 13,实数a满足| x ? a| ? 1 求证: f ( x) ? f (a) ? 2(| a|?1)
证明: | f ( x) ? f (a )| ?|( x ? x ? 13) ? (a ? a ? 13)|
2 2

?|( x ? a )( x ? a ? 1)| (?| x ? a| ? 1) ?| x ? a|| x ? a ? 1| ?| x ? a ? 1| ?| x|?| a|?1

又| x|?| a| ?| x ? a| ? 1,∴| x| ?| a|?1
∴ f ( x) ? f (a) ? 2| a|?2 ? 2?| a|?1?
(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值
例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是

(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2 和3距离之和 u m i n? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5
或者: x ? 3 ? x ? 2 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 5,∴a ? 5)
43. 等差数列的定义与性质

定义:a n ?1 ? a n ? d (d为常数) ,a n ? a 1 ? ?n ? 1?d

等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A ? x ? y

前n项和S n ?

?a 1 ? a n ?n ? na
2

1

?

n?n ? 1? 2

d

性质:?a n ?是等差数列

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(1)若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q ;
(2 )数列?a 2 n ?1 ?,?a 2 n ?,?ka n ? b?仍为等差数列;

S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ??仍为等差数列;

(3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a ? d;
( 4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则 a m S 2 m?1 ? ; b m T2 m?1

(5)?a n ?为等差数列 ? S n ? an 2 ? bn(a,b为常数,是关于n的常数项为
0 的二次函数)

S n 的最值可求二次函数S n ? an 2 ? bn的最值;或者求出?a n ?中的正、负分界
项,即:

?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,解不等式组 ? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n ?1 ? 0 ?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,由 ? 可得S n 达到最小值时的n值。 ?a n ?1 ? 0
如:等差数列?a n ?,S n ? 18,a n ? a n ?1 ? a n ?2 ? 3,S 3 ? 1,则n ?

(由a n ? a n ?1 ? a n?2 ? 3 ? 3a n?1 ? 3,∴a n?1 ? 1

又S3 ?

?a1 ? a 3 ? ·3 ? 3a
2

2

? 1,∴a 2 ?

1 3

?1 ? ? ? 1? n a 1 ? a n ?n ?a 2 ? a n ?1 ?·n ? 3 ? ? ∴S n ? ? ? ? 18 2 2 2

? n ? 27 )
44. 等比数列的定义与性质

定义:

a n ?1 ? q(q为常数,q ? 0),a n ? a 1q n ?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G 2 ? xy,或G ? ? xy

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?na 1 (q ? 1) ? 前n项和:S n ? ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) ( q ? 1 ) ? ? 1? q

?

?

性质:?a n ?是等比数列

(1)若m ? n ? p ? q,则a m ·a n ? a p ·a q

(2 )S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ??仍为等比数列 45. 由S n 求a n 时应注意什么? (n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 )
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2 1 解: n ? 1时, a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n?1 a n?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 得: n a n ? 2 2
∴a n ? 2 n ?1

?1?

?2?

?14 ( n ? 1) ∴a n ? ? n ?1 ( n ? 2) ?2
[练习]

5 数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ? a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3
(注意到a n ?1 ? S n ?1 ? S n 代入得: S n ?1 ?4 Sn

又S1 ? 4 ,∴?S n ?是等比数列,S n ? 4 n

n ? 2 时,a n ? S n ? S n?1 ? ?? ? 3·4 n?1
(2)叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 ?? n ? · ?? ,∴ n ? a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n

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又a 1 ? 3,∴a n ? 3 n

(3)等差型递推公式

由a n ? a n ?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法

n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: ?? ?? ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?
a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)
[练习]

数列?a n ?,a 1 ? 1,a n ? 3n ?1 ? a n ?1 ?n ? 2?,求a n

(a n ?

1 n 3 ?1 ) 2

?

?

(4)等比型递推公式

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n ?1 ? x?

? a n ? ca n ?1 ? ?c ? 1?x

令(c ? 1) x ? d,∴x ?

d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ? ∴a n ? d d ? ? n ?1 ? ? a1 ? ? ·c c ?1 ? c ? 1?

d ? n ?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? c ? 1? c ?1
[练习]

数列?a n ?满足a 1 ? 9 ,3a n ?1 ? a n ? 4 ,求a n

? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?
(5)倒数法

n ?1

? 1)

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例如:a 1 ? 1,a n ?1 ? 1 a n ?1 2a n ,求a n an ? 2

由已知得:

?

an ? 2 1 1 ? ? 2a n 2 an



1 a n ?1

?

1 1 ? an 2

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a1 2 ?a n ?

?

1 1 1 ? 1 ? ? n ? 1?· ? ? n ? 1? an 2 2

∴a n ?

2 n ?1

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求 ?

1 k ?1 a k a k ?1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?

n 1 1? 1 1 ? ∴? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

求和:1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n

(a n ? ?? ? ??,S n ? 2 ?
(2)错位相减法:

1 ) n ?1

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为?b n ?的公比。

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如:S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nx n?1 ?1?
?2?

x·S n ? x ? 2 x 2 ? 3x 3 ? 4 x 4 ? ?? ? ?n ? 1?x n ?1 ? nx n ? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n ?1 ? nx n

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x
n?n ? 1? 2

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ? ?

2S n ? ?a 1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n ?1 ? ? ?? ? ?a 1 ? a n ???
[练习]

已知f ( x) ?

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2

2

x2 1 ? ? ?1 2 2 1? x 1 ? x2 ? 1? 1? ? ? ? x?

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ? ? ? ? f (3) ? f ? ? ? ? ? f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?

?

1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n? n ? 1? ? ? S n ? p?1 ? r ? ? p?1 ? 2 r ? ? ? ?? p?1 ? n r? ? p ? n ? r ?? ? 等 差 问 题 2 ? ?
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款 种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还 款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利),那么每期应还 x 元,满足

p(1 ? r ) n ? x?1 ? r ?

n ?1

? x?1 ? r ?

n?2

? ?? ? x?1 ? r ? ? x

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?1 ? ?1 ? r ? n ? ?1 ? r ? n ? 1 ? x? ??x 1 ? 1 ? r r ? ? ? ? ? ?

∴x ?

pr?1 ? r ?

n

?1 ? r ? n ? 1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N ? m1 ? m2 ? ?? ? m n (mi 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N ? m1 ·m2 ??m n (mi 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .

Am n ? n? n ? 1?? n ? 2???? n ? m ? 1? ?

n! ? m ? n? ?n ? m?!

规定:0! ? 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .
Cm n ? n? n ? 1??? ? n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!? n ? m?! Am

规定:C 0 n ?1

(4)组合数性质:
n? m m?1 0 1 n n Cm ,C m ? Cm n ? Cn n ? Cn n ?1 ,C n ? C n ? ?? ? C n ? 2

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相 同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

x i ? 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i ? 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 10 )

?

?

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(1)中间两个分数不相等,

4 有C 5 ? 5(种)

(2)中间两个分数相等

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
n 1 n ?1 n ?2 2 n? r r n ( a ? b) n ? C 0 b ? C2 b ? ? ? Cr b ? ? ? Cn na ? Cna na na nb n? r r 二项展开式的通项公式:Tr ?1 ? C r b ( r ? 0,1??n) na

Cr n 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:
?r (1)对称性:C rn ? C n r ? 0,1, 2 ,??,n n

?

?

1 n n (2 )系数和:C 0 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2 3 5 0 2 4 n ?1 C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

?n ? 2 ;n为奇数时, ( n ? 1) 为偶数,中间两项的二项式 ? ? 1? 项,二项式系数为C n ?2 ?

n

n ?1 n ?1 系数最大即第 项及第 ? 1项,其二项式系数为C n 2 ? C n 2 2 2
如:在二项式? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为
11

n ?1

n ?1

(用数字

表示)

(∵n=11

∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第

12 ? 6或第7 项 2

r 由C11 x11? r ( ?1) r ,∴取r ? 5即第6项系数为负值为最小: 6 5 ?C11 ? ?C11 ? ?426

又如:?1 ? 2 x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ? x ? R ?,则

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?a 0 ? a 1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
(令x ? 0,得:a 0 ? 1 令x ? 1,得:a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1

(用数字作答)

∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 )
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

?

?

(1)必然事件?,P??) ? 1,不可能事件?,P(?) ? 0

(2)包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

(3)事件的和(并):A ? B或A ? B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。

(4)事件的积(交):A·B或A ? B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A·B ? ?

(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A
A ? A ? ?,A ? A ? ?

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(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P( A ) ?

A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

(2 )若A、B互斥,则P?A ? B? ? P(A) ? P( B)
( 3) 若 A、B相 互 独 立 , P 则A·B ? P?A ?·P? B?

?

?

(4 )P( A ) ? 1 ? P(A)
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k次的概率:Pn ( k ) ? C k n p ?1 ? p? n? k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? ? P1 ? 24 ? ? C 10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
2 1 3 ∴m ? C 2 3 ·4 6 ? 4

2 3 C2 44 3 ·4 ·6 ? 4 ∴P3 ? ? 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
5 2 3 ∴n ? A 10 ,m ? C 2 4A5A6

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∴P4 ?
2 3 C2 10 4A5A 6 ? 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从 总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个; 分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到 的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体 的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差?x max ? x min ?;
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 ? 小长方形的面积 ? 组距×

频率 组距

样本平均值:x ?

1 x1 ? x 2 ? ?? ? x n n 1 2 2 2 样本方差:S 2 ? ?x1 ? x? ? ?x 2 ? x? ? ?? ? ?x n ? x? n

?

?

?

?

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的 概率为____________。



4 2 C10 C5 ) 6 C15

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |

?

(3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ?
(4) 零 向 量 0 ,| 0| ? 0
? ?

?

?

?

a

| a|

?

? ? ?长 度 相 等 (5) 相 等 的 向 量 ?? a?b ?方 向 相 同

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在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
?

b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a

?

?

?

?

?

(7)向量的加、减法如图:

? ? ? OA ? OB ? OC ? ? ? OA ? OB ? BA
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
? ? ?

e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一
? ? ? ? ?

实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。 (9)向量的坐标表示

?

i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
? ? ? ?

?

?

a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标 设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1,x 2 ? y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ?
若A? x 1 ,y 1 ?,B? x 2 ,y 2 ?
? ? ? ? ?

表示。

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? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ? | AB| ?
?

?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式
? ? ? ? ?

57. 平面向量的数量积

(1) a · b ?| a | ·| b|cos ?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。

?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,??
? b
O B

?

?

?
D

? a
A

数量积的几何意义:
?

a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos ?的乘积。
? ? ? ?

?

?

?

?

(2)数量积的运算法则

①a·b ? b·a
? ? ? ?

②( a ? b) c ? a · c ? b · c
? ?

?

?

?

③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1x 2 ? y1 y 2
注意:数量积不满足 合结 律( a · b ) · c ? a · ( b · c )
? ? ? ? ? ?

(3)重要性质:设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ?
① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y 1 · y 2 ? 0 ② a ∥ b ? a · b ? | a | · | b | 或 a · b ? ?| a | · | b | ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b|
?

?2

?

?

?

?

?

④ cos ? ?
[练习]

a·b

? ?

| a | ·| b|

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 2 x1 ? y1 · x2 2 ? y2

? ? ? ? ? ? (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则

| a ? b ? c| ?

?

?

?

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答案: 2 2

(2)若向量 a ? ?x,1?, b ? ?4,x?,当x ?
答案:2
? ?

?

?

时 a 与 b 共线且方向相同
? ?

?

?

(3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么| a ? 3 b| ?
答案: 13 58. 线段的定比分点

设P1 ? x1 ,y 1 ?,P2 ? x 2 ,y 2 ?,分点P? x,y?,设P1 、P2 是直线 l 上两点,P点在
? ? l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 ?,使 P1 P ? ? PP2 ,则 ? 叫做P分有向线段 ? P1 P2 所成的比(? ? 0,P在线段P1 P2 内,? ? 0,P在P1 P2 外),且

x ? ?x 2 x ? x2 ? ? x? 1 x? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? ? y ? y 1 ? ?y 2 ?y ? y 1 ? y 2 ? ? 1? ? 2 ? ?
如:?ABC,A? x 1 ,y 1 ?,B? x 2 ,y 2 ?,C? x 3 ,y 3 ?

y ? y2 ? y3 ? ? x ? x2 ? x3 则?ABC重心G的坐标是 ? 1 , 1 ? ? ? 3 3
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线∥线 ? ?? 线 ∥ 面 ? ?? 面 ∥ 面 判定 性质 ? ??? 线 ⊥ 线 ? ?? 线 ⊥ 面 ? ?? 面 ⊥ 面 ???? 线∥线 ? ?? 线 ⊥ 面 ? ?? 面 ∥ 面
线面平行的判定:

a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?

a b

??
线面平行的性质:

?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b

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三垂线定理(及逆定理):

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a ? 面?,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
P

??
O a
线面垂直:

a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b ? c ? O ? a⊥?
a

α

b

O c

面面垂直:

a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥? 面?⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?

α

a

l
β

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b
面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?

a

b

??
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

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(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°

?=0o 时,b∥?或b ? ?

(3)二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?,0o ? ? ? 180o

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所 求。) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 [练习] (1)如图,OA 为α 的斜线 OB 为其在α 内射影,OC 为α 内过 O 点任一直线。

证明: cos ? ? cos ?· cos ?

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A

α B β ????????????????????????C? D O θ

(?为线面成角,∠AOC = ?,∠BOC = ?)
(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。
D1 A1 B1 H G D A B C C1

3 6 (① arcsin ;② 60 o ;③ arcsin ) 4 3
(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所成的 锐二面角的大小。
P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,作 PF∥AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线??) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积 转化法)。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________;

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(2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D A B C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?

S正棱锥侧 ? V锥 ?

1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r ? R 2 ? d 2
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ 为纬度角,它是线面成角;α 为经度角,它是面面成角。

(4 )S 球 ? 4?R 2 ,V球 ?

4 ?R 3 3

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(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3: 1。

如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为( )

A. 3?

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x 1 ? x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k?
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)

斜截式:y ? kx ? b

截距式:

x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)
( 3)点P? x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ? Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

(4 )l1 到l2 的到角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k 1k 2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A 1 B 2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1C 2 ? A 2 C 1 ?

k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A 1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2
k 1 ·k 2 ? ?1 ? l1 ⊥l2
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。

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67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? 相切;? ? 0 ? 相离
68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆 ? PF1 ? PF2 ? 2a, 2a ? 2c ? F1 F2 ? ? 第一定义 ?双曲线 ? PF1 ? PF2 ? 2a, 2a ? 2c ? F1 F2 ? ? ?抛物线 ? PF ? PK
第二定义:e ? PF PK ? c a

0 ? e ? 1 ? 椭圆;e ? 1 ? 双曲线;e ? 1 ? 抛物线
y b O F1 F2 a x

a2 x? c

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a 2 b2

?a

2

? b2 ? c2

?

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0,b ? 0? a 2 b2

?c

2

? a2 ? b2

?
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e>1 P F k e=1 0<e<1

x2 y2 x2 y2 69. 与双曲线 2 ? 2 ? 1有相同焦点的双曲线系为 2 ? 2 ? ? ?? ? 0? a b a b
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。)

弦长公式 P1 P2 ?

?1 ? k ???x
2

1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ?y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y 2 ? k ?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:
y

?

?

P(x0,y0) K

F1

O

F2

x

l
x2 y2 ? ?1 a 2 b2
PF2 ? a2 ? ? e, PF2 ? e? x 0 ? ? ? ex 0 ? a PK c? ?

PF1 ? ex 0 ? a
y A P2

O P1

F

x

B

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y 2 ? 2 px?p ? 0?
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连

线的斜率为

2 m ,则 的值为 2 n

答案:

m 2 ? n 2

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点, 设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

(由a ?

x ? x' y ? y' ,b ? ? x' ? 2a ? x,y' ? 2 b ? y) 2 2

只要证明A ' ?2a ? x,2 b ? y?也在曲线C上,即f ( x') ? y'
?AA ' ⊥l ( 2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?AA ' 中点在 l 上 ?k AA ' ·k l ? ?1 ?? ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
?x ? r cos ? 74. 圆x 2 ? y 2 ? r 2 的参数方程为 ? (?为参数) ?y ? r sin ? 椭圆 ?x ? a cos ? x2 y2 ? 2 ? 1的参数方程为 ? (?为参数) 2 a b ?y ? b sin ?

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函 数的最值。

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高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.包含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4.容斥原理

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C) . n n n 5. 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2 –1
个;非空的真子集有 2 n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 f ( x) ? N M ?N M ?N ?0 |? ? | f ( x) ? ? M ? f ( x) 2 2 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在
2

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值

b k1 ? k 2 , 或 f (k 2 ) ? 0 且 ? 2a 2

二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?
2

b 处及区 2a

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, 若x??

b b 则 fx ? ? p, q ? , () nm ? f ( ? ,) () fx i 2a 2a

x m ax m a

? (f,)p ( )? fq

?;

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ) i? m ?i nf p( ) f q (若 ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 f ( xm ?, , n 2a x??

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x?? b ? ? p, q? ,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x) min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a
设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 .

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ? m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 或? 或? ; ? af (n) ? 0 ? af (m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ?,?? ,??? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t ) man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4 ac ? 0 ? ?c ? 0 ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 p 或q 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p 且q

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14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2) 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y ? f ( x) 是偶函数, 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函 数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数. n n ?1 22.多项式函数 P( x) ? an x ? an ?1 x ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) .

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(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?
?1

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 ?1 [ f ( x ) ? b] , 并 不 是 k

y ?[f

?1

(kx ? b) ,而函数 y ? [ f

?1

1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy ) ? f ( x) f ( y ), f (1) ? ? .
'

?

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) ? 1 ? ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x) 的周期 T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 30.分数指数幂

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(1) a (2) a
m n

?

1
n

m ? n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a
n

m n

31.根式的性质 (1) ( n a ) ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .
r s r rs r r

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a n 推论 log am bn ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R) .
(2) log a
2 36. 设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)( a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac . 若 f ( x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a
若 a ? 0 ,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m? p (n ? p) ? log m n .

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(2) log a m log a n ? log a 2

m?n . 2

38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有

y ? N(1? p)x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?a n ?: an ?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; , q ? 1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?
43.分期付款(按揭贷款)

ab(1 ? b) n 每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1
44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0,

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

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) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
(2) 若 x ? (0, 45.同角三角函数的基本关系式

?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

sin? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 co s ? , ?
n ? 2 ( ? 1 ) co ? s , n? ? co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?( ? 1 )2 s i ?n , ?

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);
cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 b 定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) . 3 3 cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
tan 3? ? 3 tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3 tan ? 3 3

?

?

?

?

.

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A

≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

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51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB)2 . 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b); (3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且

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只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

??? ?

??? ? ??? ?

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设P 1 P ? ? PP 2 ,则 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P 1P 2 的分点, ? 是实数,且 P

??? ?

????

x ? ? x2 ? ???? ???? x? 1 ? ??? ? OP ? ? OP ? 1? ? 2 ? OP ? 1 ? y ? ? y 1 ? ? 2 ?y ? 1 ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ? (1 ? t ) OP ). ? OP ? tOP 1 2 (t ? 1? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ) ,则△ABC 的重心的坐 标是 G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

68.点的平移公式

???? ??? ? ????' ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ?? ? OP ? OP ? PP . ? ' ' ?y ? y ? k ? ? ?y ? y ? k
'
' ' '

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的 坐标为 (h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论

????
'

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(1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
' '

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 71.常用不等式:
2 2

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(4)柯西不等式

(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y) ? 2 xy
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
2 2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

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x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(2)

(3)

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
77.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

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② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 80.夹角公式

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 |. A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
(1) tan ? ?| 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l 2 的角公式

? . 2

k2 ? k1 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
(1) tan ? ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

? . 2

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
83.点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若B ? 0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B ?0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B2 ? 0 ),则

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:

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( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? . ? y ? b ? r sin ?

0圆 的 直 径 的 端 点 是 ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 (x ? x 1 )( x ? x 2 )? ( y ? y 1 )( y? y 2 )? ( A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? (ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x? b y ? c ? 0 是直线 AB 的方程,λ 是待定的系数. 2 2 (2) 过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程
是 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2

(3) 过圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 点的圆系方程是 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 , λ 是待定的
2 2 2 2

系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

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D( x0 ? x) E ( y0 ? y) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y) 当 ( x0 , y0 ) 圆外时 , x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0 表示过两个切点 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k .
2

92.椭圆 93.椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

94.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

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x2 y2 x2 y 2 b 渐近线方程: ? ? 1 ? 2 ? 0 ? y ?? x. ? 2 2 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
(1)若双曲线方程为 99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 A x? B y ? C ? 0 相切的条件是 a b A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2 2 y 2 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 2p 2 y? ? 2 px? .
(1)双曲线

b 2 4ac ? b 2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线:(1) 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ) ;(2)焦点的坐标为 (? , ) ;(3)准线方程是 顶点坐标为 (? 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py ( p ? 0) .
2 2

104. 抛物线的切线方程

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(1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2) 过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) ? 0 , f 2 ( x, y ) ? 0 的交点的曲线系方程是
2 2

f1 ( x, y ) ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 ( ? 为参数).

x2 y2 ? ? 1 , 其 中 k ? max{a 2 , b2 } . 当 2 2 a ?k b ?k k ? min{a 2 , b2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b2 } ? k ? max{a 2 , b2 } 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 ?F( x , y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x 代 x , 用 y0 y 代 y ,
2
2



x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ? E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直;

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(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
???? ???? ????

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by . 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB ,

??? ?

???? ?

????

????

119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP ? xOA ? yOB ? zOC

??? ?

??? ?

??? ?

????

( x ? y ? z ? k ),则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? x AB ? y AC ? ???? ??? ? ??? ? ???? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则
'

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

'

??? ? A' B ' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ ∈R);

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(4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
r r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a P b ? a ? ? b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.
2 2 2

推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.
2 2 2 2

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r 2 | a |?|b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a,
??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). ? ? arc sin ??? | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则
sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? (sin 2 A ? sin 2 B)sin 2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有
?

r r

128.直线 AB 与平面所成角

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ?
成的角分别是 ?1 、 ? 2 , A、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

tan 2 ?1 ? tan 2 ? 2 ? (sin 2 A' ? sin 2 B ' ) tan 2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有
?

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

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?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin ? sin ? ? sin ?1 ? sin ? 2 ? 2sin ?1 sin ? 2 cos ? ;
2 2 2 2

| ?1 ? ? 2 |? ? ? 180? ? (?1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 135.点 Q 到直线 l 距离

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 .

??? ? 1 h? (| a || b |) 2 ? (a ? b) 2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a| ??? ? b= PQ ).
136.异面直线间的距离

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? d? ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离 ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? d? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ). |n|
138.异面直线上两点距离公式

d ? h 2 ? m2 ? n 2 ? 2mn cos ? . ???? ??? ? 2 2 2 d ? h ? m ? n ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ). 139.三个向量和的平方公式
'

'

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 ?1、? 2、? 3 ,则有

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos 2 ?1 ? cos 2 ? 2 ? cos 2 ? 3 ? 1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S?

S' . cos?

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(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则

4 3 ?R , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 151.排列数公式
m An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0!? 1.

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152.排列恒等式 (1) An ? (n ? m ? 1) An
m m ?1

;

n m An ?1 ; n?m m m ?1 (3) An ? nAn ?1 ;
m (2) An ?

(4) nAn ? An ?1 ? An ;
n n

n ?1 m

(5) An ?1 ? An ? mAn
m

m ?1

.

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

Anm n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m Am m! ? (n ? m)! 1? 2 ? ?? m
m n?m

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n + 0

;

C

m ?1 = n

C nm?1 .

注:规定 C n ? 1 . 155.组合恒等式

n ? m ? 1 m?1 Cn ; m n m m (2) Cn ? Cn ?1 ; n?m n m?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
m (1) Cn ?

(4)

?C
r ?0 r r
0

n

r n

=2 ;
r r r r ?1

n

(5) C ? C r ?1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ? C n ?1 . (6) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n ? 2 .
1 2 r n n

(7) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? C n ? ? 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

(8) C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn ? n2
1 2 3 n r 0 r ?1 1 0r r

n ?1

.

(9) C m C n ? C m C n ? ? ? C m C n ? C m? n .
r

(10) (C n ) ? (C n ) ? (C n ) ? ? ? (C n ) ? C 2 n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n

156.排列数与组合数的关系
m m An ?m ! ? Cn .

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m m ?1 m ?1

1 m ?1 m 1 m ?1 ? An ?1 An ?1 (着眼位置) ? An ?1 ? Am ?1 An ?1 (着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

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①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k m?k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1),把它们合在一起来作全排列,k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am n ?1 ? Cm 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n ?1 种排法. An
h k

n ? k ?1

k

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 C m ? n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn (mn)! ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn N? ? . m! m!(n!) m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件

必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则
nm n1 n2 其分配方法数共有 N ? C p ? Cp ? n1 ...Cn m ? m!?

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、?个相等,则其分配方法数有 N ?

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) ? +nm ) 个物体分为任意的 n1 , ( 5 ) ( 非平均分组无归属问题 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + ?

nm n1 n2 Cp ? Cp ? n1 ...Cn m ? m!

n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 p! 有N ? . n1!n2!...nm!
(6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等, p! 则其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm !(a!b!c!...) (7) (限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 + ?+nm ) 个物体分给甲、 乙、 丙, ??
等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,?时,则无论 n1 ,

n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp ? n1 ...Cn m ?

p! . n1!n2!...nm!

159.“错位问题”及其推广

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贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) ? n ![
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm (n ? 1)!? Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!? Cm (n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm (n ? p )!? ? ? (?1) m Cm (n ? m)!

? n ![1 ?

1 2 3 4 p m Cm Cm Cm Cm p Cm m Cm ? ? ? ? ? ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) ]. 1 2 2 4 m An An An An Anp An

160.不定方程 x1 +x2 + ?+xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + ?+xn ? m ( n, m ? N )的正整数解有 C m ?1 个.
? (2) 方程 x1 +x2 + ? +xn ? m ( n, m ? N )的非负整数解有 C n?m?1 个.
n ?1

?

n ?1

? (3) 方程 x1 + x2 +? +xn ? m ( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )

?

的非负整数解有 C m?1 ? ( n ? 2)( k ?1) 个.
? (4) 方程 x1 + x2 +? +xn ? m ( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )
?

n ?1

的正整数解有 C n?m?1 ? C n?2 C m?n?k ?2 ? C n?2 C m?n?2 k ?3 ? ? ? (?1)
1 2

n ?1

n ?1

n ?1

n?2

2 n ?1 C nn?? C m?1?( n?2) k 个. 2

161.二项式定理
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n ( a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

二项展开式的通项公式
r n?r r Tr ?1 ? C n a b (r ? 0, 1, 2?,n) .

162.等可能性事件的概率

P( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n ?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P i ? 0(i ? 1, 2,?) ; (2) P 1?P 2 ?? ? 1. 169.数学期望

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ??
170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np .

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(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q 171.方差
k ?1

p ,则 E? ?
2

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 D? ?

q . p2

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

175.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 2 177.对于 N ( ? , ? ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程
n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n ? 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

179.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

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?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q
x ? x0

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1 ; ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x ? x0 x x0
(1) lim
n ??

184.两个重要的极限

sin x ?1; x ?0 x x ? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
(1) lim 185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b; (2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ;
x?x0

x? x0

(3) lim

x ? x0

g ? x?

f ? x?

?

a ?b ? 0? . b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

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(3) lim

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n

187. f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?( x0 ) ? y?
188.瞬时速度

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? ? s?(t ) ? lim
a ? v?(t ) ? lim

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) . ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

189.瞬时加速度

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) . ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 190. f ( x) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) . f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim dx dx ?x?0 ?x ?x?0 ?x 191. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ? nx
'

(3) (4) (5)

(6) 193.导数的运算法则
' ' ' '

( n ? Q) . (sin x)? ? cos x . (cos x)? ? ? sin x . 1 1 e (ln x)? ? ; (log a x )? ? log a . x x x x x x (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
'

n ?1

(1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv .
'

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2
' '

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有 导 数 yu ? f (u ) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x))在 点 x 处 有 导 数 , 且 y x ? yu ? u x , 或 写 作
' ' ' ' '

f x' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n 1 ? (2) (1 ? x) ? 1 ? ? x(? ? R) ; ?1? x ; 1? x x (3) e ? 1 ? x ;
(1) 1 ? x ? 1 ?

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(4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度); (6) tan x ? x ( x 为弧度); (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? z OZ1 ? OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b 2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
2 ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

复数根 x ?

?b ? ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈 节莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆

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中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
莂葿 羅腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇袆

芇膀 蚇聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅

羀芈 蒀袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃蒂

蕿肄 芈莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄

荿螆 螆艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇

肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇芃 螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀芈 蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿蝿

袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿莂 莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁袀 芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇袆 芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿蝿 袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄荿 螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀莆 袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇莄 薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃羈 薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿肄 芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆蚃 肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁蒃 螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅腿 芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃羅 羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅 袅袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇 蒂蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄葿

薃羅 羆蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂 肃蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄 羃莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇 螈羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆 莂葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃 膄葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂 螇肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂 蕿肄芈莈蚈 螄肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈 蚆螈莅蒄蚅 袁膈莀蚄羃莃 芆蚃肅膆薅 蚂螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃艿 蝿袁肅薇螈羄 芁蒃螇肆肄 荿螆螆艿芅袅 袈肂薄袅羀 芈蒀袄肃肀 莆袃袂芆莂葿 羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆羁 膅芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈 节莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇 聿聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂 薄袅羀芈蒀袄 肃肀莆袃袂 芆莂葿羅腿芈 蒈肇莄薆蒈 螇膇蒂蒇衿 莂莈蒆羁膅芄 薅肃羈薃薄 螃膄葿薃羅羆 蒅薂肈节莁 薂螇肅芇薁 袀芀薆薀羂肃 蒂蕿肄芈莈 蚈螄肁芄蚇 袆芇膀蚇聿聿 薈蚆螈莅蒄 蚅袁膈莀蚄羃 莃芆蚃肅膆 薅蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 艿蝿袁肅薇螈 羄芁蒃螇肆 肄荿螆螆艿 芅袅袈肂薄袅 羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈肇 莄薆蒈螇膇蒂 蒇衿莂莈蒆 羁膅芄薅肃 羈薃薄螃膄葿 薃羅羆蒅薂 肈节莁薂螇肅 芇薁袀芀薆 薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄肁 芄蚇袆芇膀 蚇聿聿薈蚆螈 莅蒄蚅袁膈 莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃艿蝿袁 肅薇螈羄芁 蒃螇肆肄荿螆 螆艿芅袅袈 肂薄袅羀芈蒀 袄肃肀莆袃 袂芆莂葿羅 腿芈蒈肇莄薆 蒈螇膇蒂蒇 衿莂莈蒆羁膅 芄薅肃羈薃 薄螃膄葿薃 羅羆蒅薂肈节 莁薂螇肅芇 薁袀芀薆薀 羂肃蒂蕿肄芈 莈蚈螄肁芄 蚇袆芇膀蚇聿 聿薈蚆螈莅 蒄蚅袁膈莀 蚄羃莃芆蚃肅 膆薅蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃艿蝿袁肅 薇螈羄芁蒃螇 肆肄荿螆螆 艿芅袅袈肂薄 袅羀芈蒀袄肃 肀莆袃袂芆莂 葿羅腿芈蒈 肇莄薆蒈螇 膇蒂蒇衿莂莈 蒆羁膅芄薅 肃羈薃薄螃膄 葿薃羅羆蒅 薂肈节莁薂螇 肅芇薁袀芀 薆薀羂肃蒂蕿 肄芈莈蚈螄 肁芄蚇袆芇 膀蚇聿聿薈蚆 螈莅蒄蚅袁 膈莀蚄羃莃芆 蚃肅膆薅蚂 螅罿蒁螁袇膄

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