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[思考探究] (1) 数列a,a2,a3,…,an,…一定是等比数列吗? 提示:当a=0时,该数列不是等比数列. (2)b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件? 提示:b2=ac是a,b,c成等比数列的必要不充分条件. ∵当b=0时,a,c至少有一个为0,此时b2=ac,但a,b,c 不成等比数列,反之,若a,b,c成等比,则必有b2=ac.

1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
A.- B.-2

,则公比q=(

)

C.2

D.
① ② ,解得q=

解析:由通项公式及已知得:a1q=2, a1q4= 由 , 得q3=

答案:D

2.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的

两根,则a8a10a12=(
A.32

)
B.±64

C.64

D.256

解析:由已知可得a1· a19=16,而{an}为正项等比数列, 所以a10=4.故a8a10a12=a =64. 答案:C

3.在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公
比q的值是 ( )

A.2
C.3 解析:∵S3= ∴

B.-2
D.-3 =63,

=1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.

答案:A

4.在数列{an},{bn}中,bn是an与an+1的等差中项,a1=2, 且对任意n∈N*,都有3an+1-an=0,则{bn}的通项公式bn = .

解析:∵a1=2,3an+1-an=0,

∴{an}是以2为首项,以
∴an=a1· qn-1=2

为公比的等比数列,

又∵bn是an与an+1的等差中项,

答案:

5.若等比数列的公比为2,且前4项和为1,则这个等比数 列的前8项和为 .

解析:由题意可知,S8-S4=a8+a7+a6+a5=q4(a1+a2

+a3+a4)=24,所以前8项和等于17.
答案:17

等比数列的判定方法有:

1.定义法:若

=q(q为非零常数)或

=q(q为非零常数

且n≥2),则{an}是等比数列. 2.中项公式法:若数列{an}中,an≠0且a
2 n+1

=an· an+2(n∈N*),

则数列{an}是等比数列.

3.通项公式法:若数列通项公式可写成an=c· qn-1(c,q均为 不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列. 4.前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=A· qn -A(A为常数 且A≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.

[特别警示] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,

而后两种方法常用于选择、填空中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的 连续三项不成等比即可.

1.在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量:
a1,q,n,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程组 求解. 2.在进行等比数列基本量的计算时,要恰当运用等比数列 的性质,这样可以大大简化运算,提高效率.

(2009· 辽宁高考)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,

S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn.

[思路点拨]

[课堂笔记]

(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).

由于a1≠0,故2q2+q=0. 又q≠0,从而q=- . )2=3,

(2)由已知可得a1-a1(- 故a1=4, 从而Sn=
8 = [1-(- 3

)n].

若将例题条件中的“S1,S3,S2成等差数列”改为“a1,a3,

a2成等差数列”,试求{an}的公比q.
解:依题意有a1+a1q=2a1q2,

又∵a1≠0,
∴1+q=2q2, 解之得,q=1或q=- .

在等比数列中常用的性质有:

1.等比数列的单调性
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}为递增数列;
(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}为递减数列;

(3)当q=1时,数列{an}是(非零)常数列;
(4)当q<0时,数列{an}是摆动数列.

2.通项特征 (1)等比数列的通项公式an=a1qn-1可推广为an=amqn-m; (2)若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*); (3)当{an}是有穷等比数列时,与首末两项等距离的两项之积

都相等,都等于首末两项之积.

3.前n项和的性质 设Sn是等比数列{an}的前n项和,则 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n满足关系式(S2n-Sn)2=Sn· (S3n-S2n). (2)若数列{an}的项数为2n,则 =q,其中S偶,S奇分别是数

列的偶数项之和与奇数项之和.

4.其他性质
(1)若数列{an},{bn}是等比数列,c为常数,则{c· an},{ },

{a 2 bn},{ n },{|an|},{an·

}等也是等比数列.

(2)等比数列{an}中每隔k项取出一项,按原来的顺序排成一 个新数列,则该数列仍为等比数列.

(1)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3= 8,求an; (2)有四个正数,前三个数成等差数列,其和为48,后三个 数成等比数列,其最后一个数为25,求此四个数. [思路点拨]

[课堂笔记] ∴a1a2a3=a 3 , 2

(1)法一:∵数列{an}为等比数列,

又∵a1a2a3=8,∴a2=2, ∴a1+a3=5. 设等比数列的公比为q, 则 解之得q=2或 )n-2,

∴an=2×2n-2或an=2×(

即an=2n-1或an=23-n.

法二:设{an}的公比为q,由题意知 解得 ∴an=2n-1或an=23-n. (2)设前三个数分别为a-d,a,a+d(d为公差), 由题意知,(a-d)+a+(a+d)=48, 解得a=16.

又∵后三个数成等比数列,即16,16+d,25成等比数列,

∴(16+d)2=16×25,
解之得,d=4,或d=-36.

因四个数均为正数,故d=-36应舍去,
所以所求四个数依次是12,16,20,25.

以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义及相关性
质的应用以及以解答题的形式综合考查等差数列和等比数列 的综合应用是高考对该部分内容的常规考法.09年山东高考将 等比数列与指数函数相结合命题,既考查了等比数列的有关 运算,又考查了数列的函数性质,题型新颖,考查了学生对

数学知识间横向联系的理解和应用,是一个新的考查方向.

[考题印证] (2009· 山东高考)(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已 知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1, b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

【解】

(1)由题意,Sn=bn+r,

当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,
所以an=Sn-Sn-1=bn-1· (b-1),┄┄┄┄┄┄(2分)

由于b>0且b≠1,
所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.

又a1=b+r,a2=b(b-1),

=b

解得r=-1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)

(2)由(1)知,n∈N*,an=(b-1)bn-1=2n-1,
所以bn= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)

两式相减得

[自主体验] 已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x1, x2∈R,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立. (1)求证:函数f(x)+1是奇函数; (2)若对任意n∈N*,都有an= ,bn=f( )+1,

求Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1和Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1.

解:(1)证明:令g(x)=f(x)+1(x∈R), ∵对任意x1,x2∈R,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立, ∴对任意x1,x2∈R,总有f(x1+x2)+1=[f(x1)+1]+[f(x2)+1]

恒成立.
即g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)(x1,x2∈R),

令x1=x2=0,则有g(0)=0.
令x1=x,x2=-x(x∈R),则有g(0)=g(x)+g(-x)=0 ?g(-x)=-g(x)(x∈R), 故函数f(x)+1是奇函数.

(2)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴f(n+1)=1+f(n)+f(1)=f(n)+2(n∈N*),

即数列{f(n)}是以2为公差,1为首项的等差数列.
∴f(n)=2n-1.

Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1

1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( A.64 B.81

)

C.128

D.243

解析:∵{an}是等比数列,∴=

= q=

=2,又∴a1+a1q=3,∴a1=1,那么a7=a1q6=1· 26=64. 答案:A

2.在等比数列{an}中,已知a1a3a11=8,则a2a8等于( A.16 C.12 B.6 D.4

)

12=8(q为公比),即a q4=2, 解析:由a1a3a11=8?a 3 q 1 1

∴a2a8=(a1q4)2=4. 答案:D

3.已知2,a,b,c,4成等比数列,则实数b等于

(

)

A.2
C.±

B.-2
D.8

解析:∵2,a,b,c,4成等比数列, ∴b2=2×4=8,∴b=±2 ∵2,b,4同号,∴b=2 答案:A . ,

4.在正项数列{an}中,a1=2,点(
=0上,则数列{an}的前n项和Sn= 解析:∵点( ∴ )(n≥2)在直线x- =2(n≥2).

)(n≥2)在直线x-
. =0上,

∴{an}为公比为2的等比数列,

又∵a1=2,∴Sn=
答案:2n+1-2

=2n+1-2.

5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,

S2n=14,则S3n等于

.

解析:∵{an}为正项等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn· (S3n-S2n), 即122=2(S3n-14),得S3n=86. 答案:86

6.(2010· 昌平模拟)设数列{an},a1=

,若以a1,a2,…,an

为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根 α、β满足3α-αβ+3β=1. (1)求证:{an- (2)求an; }为等比数列;

(3)求{an}的前n项和Sn.

解:(1)证明:∵

将α+β=

,αβ=

代入3α-αβ

+3β=1,得an=


an-1+



为定值. ,

又a1- ∴数列{an-

}是以首项为

,公比为

的等比数列.

(2)∵a1- ∴an- ∴an= (3)Sn=




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