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2.3幂函数(简单)


幂 函 数

导课人

余方明

问题引入:
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克, x 元. 则所需的钱数y=____ 2、如果正方形的边长为x,则面积y=_____. x2

3、如果正方体的边长为x,体积为y,
那么y= x3 4、如果一个正方形场地的面积为x,边长为

y,
1 那么y=______. 2

x

5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里,骑车的 速度为y公里/秒,那么y=______ x
?1

以上问题中的函数具有什么共同特征?

y=x

y=
1 2

x2

y=

3 x

y?x

y?x

?1

共同特征:函数解析式是幂的形式,且 指数是常数,底数是自变量。

新课 一、幂函数的概念
一般地,函数

y?x

?

叫做幂函数,

其中x是自变量, ? 是常数。

探究1:你能举几个学过的幂函数的例子吗?

探究2:你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 名称 x
指数 底数

式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a

a
底数 指数

y
幂值 幂值

探究3:如何判断一个函数是幂函数还是指数函数? 看看自变量x是指数还是底数
指数函数

幂函数

尝 试 练 习: 1、下面几个函数中,

哪几个函数是幂函数?
(1)y =
1 x
2

(2)y=2x2 (4)y ?
5

(3)y=x2 +

x

x

3

(5)y = 2x
答案(1)(4)
2016年11月21日 肇庆加美学校 7

2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点(3 , 3 ),求这个函数的解 析式。
1 2

y?x

3、如果函数

f (x) =

(m2-m-1)

?x

m

是幂函数,

求实数m的值。

m= -1 或 m= 2

二、幂函数性质的探究: 对于幂函数,我们只讨论α=1,2,3, 情形。
1 ,–1 时的 2
1 2

即:y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x , y ? x ?1
探究4:结合前面指数函数与对数函数的方法,我们应如何 研究幂函数呢? 作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质 探究5:在同一坐标系中作出幂函数
2 3 1 2

y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
的图象。 几何画板

?1

EXCEL

探究6: (探究性质)请同学们结合幂函数图象(课 本第86页图2.3.1),将你发现的结论填在下面(课本 第86页) 的表格内:

y=x
定义域 值 域 奇偶性 R R 奇函数

y = x2 y = x 3
R [0,+∞) 偶函数 R R 奇函数

y? x

1 2

y?x

?1

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 函数

{x| x ≠ 0} {y| y≠ 0} 奇函数

R上是 单调性 增函数

在(-∞,0] 在( -∞,0) 上是减函 R上是 在(0,+∞)和(0, +∞) 数,在(0, 增函数 上是增函数 上是减函数 +∞)上是 增函数 (1,1)

公共点

例1、证明幂函数 f ( x) ? x 在 [0,??)上是
增函数。

例2:在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通 过圆形管道时,其流量速率 V(单位:cm3/s)与管 道半径r(单位:cm)的四次方成正比. (1) 写出气流速率V关于管道半径r的函数解析式; (2) 若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400 cm3/s ,求该气体通过半径为r的管道时,其流量速 率V的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该 气体的流量速率.

收获与体会

请大家回味建立幂函数模型、定义幂函数及推导幂函数

性质的过程,你觉得有什么收获?

作业
1、作业本A:《幂函数》
2、 课外探索:
利用计算机(几何画板、EXCEL)探究一般 幂函数

y ? x?

的图象随? 的变化规律。


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