nbhkdz.com冰点文库

2017高一升高二暑期数学——直线与方程

时间:2017-07-01


2017 年高一升高二暑期数学——直线与方程
3.1 倾斜角与斜率 1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? ? . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,

即 k ? tan ? . 如果知道直 线上两点 P( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) ,则有斜率公式 k ?
y2 ? y1 . 特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x2 ? x1

x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0.
注意:直线的倾斜角α =90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当α =90° 时, 斜率 k=0;当 0?? ?? 90? 时, 斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时, 斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α 的范围与斜率 k 取值范 围的一些对应问题. 3.2 两条直线平行与垂直的判定 1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有: (1) l1 // l2 ? k1 ? k2 ; (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴;…. 直线的点斜式方程 1. 点斜式: ,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (适用于已知直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 求直线方程) 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾 斜角为 90°, 斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示, 这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 , 或 x ? x0 . 4. 注意:
y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) ,后 x ? x0

者才是整条直线. 直线的两点式方程 1. 两点式:
y ? y1 x ? x1 ? (适用于已知直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,求直线方程) y2 ? y1 x2 ? x1

2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 ?

x a

y ?1. b

3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线.
1

4. 线段 P1 P2 中点坐标公式 ( 直线的一般式方程

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

1. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为 斜截式方程 y ? ? x ?
A B
A C C ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B

两条直线的交点坐标 1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ?
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 . 若方程组有惟 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时 两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点.

两点间的距离
2 2 1. 平面内两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) .

特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1, P 2 所在直线与 y 轴平行时, 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P
| PP 1 2 |?| y1 ? y2 | ;

点到直线的距离及两平行线距离 1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

2. 利用点到直线的距离公式, 可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离公式 d ? 即
d?
| C1 ? C2 | A2 ? B 2

x0? B y 0C ? , 推导过程为: 在直线 l2 上任取一点 P( x0 , y0 ) , 则A

2

? 0,

Ax0 ? By0 ? ?C2
| Ax0 ? By0 ? C1 | A ?B
2 2

.

这 时 点 P( x0 , y0 ) 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0

的 距 离 为

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

2

直线与直线方程练习题

姓名:

1.直线 x=2 的倾斜角和斜率分别是( ) A. 450 ,1 B.1350 , ?1 C. 900 ,不存在 D.1800 ,不存在 2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( ) A.2 x ? y ? 1 ? 0 B.2 x ? y ? 5 ? 0 C.x ? 2 y ? 5 ? 0 D.x ? 2 y ? 7 ? 0 3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( ) A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 4.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足( ) A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 D. a ? b ? 0 5.经过点(-3,2) ,倾斜角为 60°的直线方程为( ) A.y ? 2 ? 3( x ? 3) B. y ? 2 ?
? 6 ? 3
3 ( x ? 3) C. y ? 2 ? 3( x ? 3) 3

D. y ? 2 ?

3 ( x ? 3) 3

6.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A B C


2? 3

D

5? 6

7.两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( ) A. 2 B. 1 C.0 D.-1 8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点, 则该点的坐标是 (提示: 把方程转化为点斜式方程) A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 9.若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值 范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 10.直线 y ? 1 与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的夹角为( ) (画图) A. ?
3 4

B.

1 ? 4

C. ? ?

1 4

D.

1 3 ?或 ? 4 4

11.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 12.若 A(?2,3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.
1 2 ? B. 1 2
?2 C.

) D. x ? 2 y ? 5

1 2


2 D.

13.直线

C. b 2 14.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(
化为点斜式方程)

x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b A. b B. ?b 2

) D. ?b ) (提示:把方程转 D. (2,1)

A. (0, 0)

B. (0,1)

C. (3,1)

15 .一直线过点 M (? 3, 4),并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程
3



。 ,

16. 直 线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的 斜 率 为 k , 在 y 轴 上 的 截 距 为 b , 则 k =
b=



17.已知经过点(2,1) , 求: (1)斜率为-2 的直线方程是 (2)若它的倾斜角为 0°,则它的方程为 (3) 若它的方程为 x ? 2 , 则它的倾斜角为 ; ; ; 此时直线斜率 。

18. 已知直线方程为 9 x ? 4 y ? 36 ,则直线的横截距(直线在 x 轴上的截距) 为 。纵截距(直线在 y 轴上的截距)为 。

19. 已知直线在 y 轴上的截距 为- 3 ,且过点 P (- 2 , 1 ) ,则直线的方程 是 。 。

20.一条直线 l 过点 P (-1, 2) , 倾斜角为 135°, 求直线 l 方程 21.在 x 轴上的截距是 2,在 y 轴上的截距是-2 的直线方程是

22. ( 1 ) 经 过 点 A ( 3 , 2 ) 且 与 直 线 4 x ? y ? 2 ? 0 平 行 的 直 线 方 程 为 。 ( 2 ) 经 过 点 B ( 3 , 0 ) 且 与 直 线 2x ? y ? 5 ? 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 。

23 经过直线 l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0 , l 2 : 2 x ? y ? 5 ? 0 的交点,且过原点的直线方程 是 。

24.求经过直线 l1 : 2x ? 3 y ? 5 ? 0, l2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程

4