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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮题组训练:8-6立体几何中的向量方法(一)


第6讲

立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直

基础巩固题组(建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2014· 徐州模拟)已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与 → → AB,AC垂直,则向量 a 为________. → → → 2.若AB=λCD+μCE,则

直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是________. 1 2? ?2 3.设 a=(1,2,0),b=(1,0,1),则“c=?3,-3,-3?”是“c⊥a,c⊥b 且 c 为单位向量”的 ? ? ________条件. 4. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点, M 为 BC 的中点. 则 AM 与 PM 的位置关系为________(填“平行”、 “垂直”、 “异面”).

5.

如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 在 EF 上, 且 AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为________.

6. 已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2), b=(x, -2, 3), 且 α⊥β, 则 x=________. 7.已知平面 α 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 β 的一个法向量 n= (-1,-1,-1).则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. → 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4), → → → AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD → → 的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________.

二、解答题 9. 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD =2,E,F,G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

10. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B =∠C=90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30° 的角.

(1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.

能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 → → → → → 1.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC, 则 x+y 的值为________. 2. 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的 中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面 DCC1D1;④A1M∥平面 D1PQB1.

以上正确说法的序号为________. 3. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E ⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

二、解答题 4.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别 是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论.

第6讲

立体几何中的向量方法(一)

——证明平行与垂直参考答案 基础巩固题组(建议用时:40 分钟) 一、填空题

?-2x-y+3z=0, → → 1. 解析 由条件知AB=(-2, -1,3), AC=(1, -3,2), 设 a=(x, y, z)则有?x-3y+2z=0, ?x2+y2+z2=3,
解可得 a=± (1,1,1).答案 (1,1,1)或(-1,-1,-1)

→ → → → → → 2.解析 ∵AB=λCD+μCE,∴AB,CD,CE共面.则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或 在平面内.答案 平行或在平面内 充分

1 2? ?2 3.解析 当 c=?3,-3,-3?时,c⊥a,c⊥b 且 c 为单位向量,反之则不成立.答案 ? ? 不必要

4. 解析 以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系 D-xyz,

依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0). → ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3), → AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0), → → → → ∴PM· AM=( 2,1,- 3)· (- 2,2,0)=0,即PM⊥AM,∴AM⊥PM. 答案 垂直

5. 解析 连接 OE,由 AM∥平面 BDE,且 AM?平面 ACEF,平面 ACEF∩平面 BDE=OE,∴

AM∥EO, 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点, ∴M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中,E(0,0,1),F( 2, 2,1). ? 2 ? 2 由中点坐标公式,知点 M 的坐标? , ,1?.答案 2 ?2 ? 6.解析 ∵α⊥β,∴a· b=x-2+6=0,则 x=-4.答案 ? 2 ? 2 ? , ,1? 2 ?2 ? -4

→ → → → → → 7.解析 AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),∴n· AB=0,n· AC=0,∴n⊥AB,n⊥AC,故 n 也是 α 的一个法向量.又∵α 与 β 不重合,∴α∥β.答案 平行

→ → → → 8.解析 ∵AB· AP=0,AD· AP=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → → 又AB与AD不平行,∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误.答案 二、解答题 ①②③

9. 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形, ∴AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

→ → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1), → → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

?t=2, ∴?t-s=0, ?-t=-2,

→ → → 解得 s=t=2.∴PB=2FE+2FG,

→ → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB,FE与FG共面.∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. 10. 证明 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.

∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30° .∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4. → → ? 3 3? ∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),M? ,0, ?,∴DP=(0,-1,2),DA 2? ?2 → ? 3 3? =(2 3,3,0),CM=? ,0, ?, 2? ?2 → ? ?DP· n=0, (1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,则? → ?DA ? · n=0, ?-y+2z=0, 即? ?2 3x+3y=0,

1 z=2y, ? ? ∴? 3 ? ?x=- 2 y,

令 y=2,得 n=(- 3,2,1).

→ → 3 3 ∵n· CM=- 3× 2 +2×0+1×2=0,∴n⊥CM, 又 CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E,并连接 BE, → 则 E( 3,2,1),BE=(- 3,2,1), ∵PB=AB,∴BE⊥PA. → → 又BE· DA=(- 3,2,1)· (2 3,3,0)=0, → → ∴BE⊥DA,则 BE⊥DA. ∵PA∩DA=A.∴BE⊥平面 PAD, 又∵BE?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD. 能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 → → → → → → 1. 解析 ∵AB⊥BC, ∴AB· BC=0, 即 3+5-2z=0, 得 z=4, 又 BP⊥平面 ABC, ∴BP⊥AB, → → ??x-1?+5y+6=0, 40 15 40 15 25 BP⊥BC,则? 解得 x= 7 ,y=- 7 .于是 x+y= 7 - 7 = 7 . ?3?x-1?+y-12=0, 答案 2. 25 7

→ → → → 1→ → → → → 1→ → → 解析 A1M=A1A+AM=A1A+2AB, D1P=D1D+DP=A1A+2AB, ∴A1M∥D1P, 所以 A1M ∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥面 DCC1D1,A1M∥面 D1PQB1.①③④正确. 答案 ①③④

4.

解析 以 D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE=x,DF=y, → → 则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴B1E=(x-1,0,1),∴FB=(1,1,y), → → 由于 B1E⊥平面 ABF,所以FB· B1E=(1,1,y)· (x-1,0,1)=0?x+y=1.答案 二、解答题 4.(1)证明 如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 设 AD=a, 1

a ? ? 则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E?a,2,0?,P(0,0,a), ? ? ?a a a? F?2,2,2?. ? ? → ? a a? → EF=?-2,0,2?,DC=(0,a,0). ? ? → → → → ∵EF· DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD. → ? a a a? (2)解 设 G(x,0,z),则FG=?x-2,-2,z-2?, ? ? 若使 GF⊥平面 PCB,则由 → → ? a a a? a ? a? FG· CB=?x-2,-2,z-2?· (a,0,0)=a?x-2?=0,得 x=2; ? ? ? ? → → ? a a a? 由FG· CP=?x-2,-2,z-2?· (0,-a,a) ? ?

a2 ? a? = 2 +a?z-2?=0,得 z=0. ? ? ?a ? ∴G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ?


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