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安徽省示范高中2016届高三第一次联考数学(文)试题

时间:2015-08-30


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考答案 第 4 页(共 5 页)

2016 届安徽省示范高中高三第一次联考 文数参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.C 【解析】因为 A ? {x | x 以
2

? x ? 0} ? {x | x ? 0或x ? ?1} , B ? {x | 5x ? 5} ? {x | x ? 1} ,所

A ? B ? {x | x ? 1} .
? 5 ,故双曲线 x
2

2.A 【解析】因为 a ? 3, b ? 4 ,所以 c

9

?

y2 ? 1 的右焦点的坐标是 (5, 0) . 16

3.D 【解析】法一:由题意,

y ?1 ? i ? y y ? x, 解得 x ? 1, y ? 2 .故复数 x ? yi 即 ? ? x ? i ,所以 ? ? ?2 1? i 2 ?
? y ? 1, ? ?2

为 1 ? 2i ,其共轭复数为 1 ? 2i ,对应的点为

?1, ?2? ,位于第四象限.
p
为:存 在

4.B 【 解析 】 全称命题的 否 定,要 把量 词 任 意改为 存在 ,且否 定结 论, 故 非

x?0,

log3 x ? log 4 x .
5.D 【 解 析 】 从 茎 叶 图 可 以 看 出 , 甲 种 玉 米 苗 的 平 均 高 度 为 :

19 ? 20 ? 21 ? 23 ? 25 ? 29 ? 37 ? 33 ? 32 ? 31 ? 27 , 乙 种 玉 米 苗 的 平 均 高 度 为 : 10

10 ? 14 ? 10 ? 26 ? 27 ? 30 ? 44 ? 46 ? 46 ? 47 ? 30 ,因此,乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的平均 10
高度,同时通过茎叶图也可以看出,甲种玉米苗高度基本集中在 20 到 30 之间,因此,甲种玉米苗比乙种 玉米苗长得整齐,故选 D. 6.D 【解析】由题意知 tan ?

? 2sin ? ? log2 16 ? 4 ,所以 sin 2 ? ? 2 tan ? ? 8 . 2
cos ? cos ?

7.C 【解析】由流程图可知, S 直 到 首 次 出 现

? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? 2n ? 3 ,只要 S ? 480 ,就再一次进入循环体循环, S ? 2011 , 才 跳 出 循 环 体 , 输 出 x , 程 序 结 束 . 由

S ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? 2n ? 3 ? n2 ? 4n ? 480 得 n ? 20 ,所以 x ? 2 ? 20 ? 3 ? 43 .
8. D

f ( x) ? 2cos 2 ( ? x) ? 1 ? cos( ? 2 x) ? 1 ? sin 2 x, g ( x) ? 3 cos 2 x , 所 以 4 2 ? , MN 的最大值就是 f ( x) ? g ( x) 的最 f ( x)? g ( x)? 1 ? sinx 2 ? 3 c ox s? 2 ? 1 2 sxi ? n(2 ? ) 3
【解析】

?

?

4

大值.故选 D. 9. C 【解析】由三视图的俯视图、正视图和侧视图可还原的空间几何体一个四棱锥 M-ABCD,如图所示, 由勾股定理计算 CD=5,即知底面是边长为 5 的正方形 ABCD,补形为三棱柱,则所求的几何体的体积:

1 2

× 3× 4× 5-

1 1 ? ? 3 ? 4 ? 5 =20. 3 2

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? ? ? ,则 f (2014 ? ) ? 2 sin ? 1 ;令 x ? ?10000 ,则 f (?7985) ? 4 4 4 ? f (?10000 ? 2015) ? lg[?(?10000)] ? 4 .所以 f (2015 ? ) ? f (?7985) ? 1? 4 ? 4 . 4 11.D 【解析】如图, AB ? 4, AD ? CD ? 2 ,所以 AC ? 2 2, BC ? 2 2 ,即 AC ? BC .取 AC 的中点为 E,AB 的中点为 O,连接 DE,OE,OC,因为三棱锥 D ? ABC 体积最大, 所以平面 DCA ? 平面 ABC,此时容易计算出 OD=2,即 OD=OB=OA=OC=2,故 O 是外接球的球心,OA 是球的半径,于是三棱锥 D ? ABC 外接球的表面积是 4? ? 22 ? 16? .
10.D 【解析】令 x

?

12.B【解析】由

m ? n ? 0 知, f ( x) ?| x2 ? a2 | ? a ? 0? 和 f (m) ? f (n),
, 所 以
2 f ( m) = m 2 - a = m - a2

m < - a, - a < n < 0



2

2 2 2 2 2 2 f ( n) = n 2 - a 2 = a 2 - n 2 , a2 因为 f (m) ? f (n), 所以 m - a = a - n , 即 m +n = 2



0) 为圆心,半径 r 所以点 P ( m,n) 的轨迹是以 O(0,
到直线 x +

? 2a 的圆上位于第三象限的部分,点 P(m, n)
2

y - 8 = 0 的最大距离即为圆心到直线的距离与半径之和,所以 2a ? 8 ? 6 2 ,即 a ? 2 . ? 5.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 5 【解析】因为 a + 2b = (4, ?3) ,所以 (a ? 2b) ? a 14. 0 【解析】因为

f (? x) ? sin[2? tan(? x)] ? sin(?2? tan x ) ? ? sin(2? tan x ) ? ? f ( x ) ,
f ( x) ? 0 同解.记 x

所以函数为奇函数,故所有零点之和为 0. 15.

(??, ?2) ? (0, 2)

【解析】 显然 x

? 0 ,故不等式 xf ( x) ? 0 与不等式

g ( x) ?

f ( x) xf / ( x) ? f ( x) f ( x ) 是奇函数,且当 ,则当 x ? 0 时,有 g / ( x) ? ? 0 ,从而可知 g ( x ) ? 2 x x x
2
x

x ? 0 时为增函数,又 g (2) ? f (2) ? 0 ,画出 g ( x) 的草图可得不等式 g ( x) ? f ( x) ? 0 的解集为

(??, ?2) ? (0, 2) ,即不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 (??, ?2) ? (0, 2) .
16. 14 【解析】设 sin

A ? sin B ? 4k ,则 sin A ? sin C ? 5k ,sin B ? sinC ? 6k ,联立可解得
, 由 正 弦 定 理 可 得

sin A ?

3k 5k 7k , sin B ? , sin C ? 2 2 2
,sin C

a :b c :?

3 : 5 7以 , :所

32 ? 52 ? 72 c oCs ? ?? 2? 3 ? 5

1 2

?

1 3 15 3 .设 a ? 3t , b ? 5t , c ? 7t ,由 ab sin C ? 2 2

,即

15 3 2 t ? 15 3 ,解得 t ? 2 ,所以△ABC 的最大边长为 c ? 14 . 4
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)由于 1 为等差数列,若设其公差为 d ,则 1 ? 5, 1 ? 1 ? 1 , { } a3 a2 3 a5 an

2016 届安徽省示范高中高三第一次联考试卷·文数参考答案 第 6 页(共 5 页)

1 1 1 1 1 ? 2d ? 5 , ? d ? ( ? 4d ) ,解得 ? 1, d ? 2 , a1 3 a1 a1 a1
于是 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ,整理得 a ? n

…………4 分

an

1 . 2n ? 1

……………………5 分 …………8 分

(Ⅱ)由(1)得 b ? a a ? n n n ?1 所以 S n ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n . (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

……………………10 分

18. 【解析】 (Ⅰ)

x x x x x x f ? x ? ? 3(cos ? sin )(cos ? sin ) ? 2sin cos 2 2 2 2 2 2 x x 1 3 ? 3(cos 2 ? sin 2 ) ? sin x ? 3 cos x ? sin x ? 2( sin x ? cos x) 2 2 2 2

? 2 sin( x ?
所以

?

3

).


………………4 分 …………………6 分 个单位,得到函数 g ( x ) 的图象, ………8 分

f ( x) 的最小正周期为 2?

(Ⅱ)? 将

f ( x) 的图象向右平移

? 6

? g ( x) ?
由 2 k? ?

? ? ?? ? f ( x ? ) ? 2 sin ?( x ? ) ? ? ? 2 sin( x ? ? ) , 6 6 6 3? ?
? x?

?
2

?
6

2 2? ? 所以单调递增区间为 [2k? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) . 3 3
19. 【证明】 (Ⅰ)∵ PA

? 2 k? ?

?

(k ? Z ) ,可得 2k? ?

2? ? ? x ? 2k? ? ( k ? Z ) , 3 3
………12 分

? 平面 ABC ,∴ PA ? BC , 又 AC ? BC ,∴ BC ? 平面 PAC ,∴ BC ? PC . ………3 分 又∵ MN ? PC ,∴ MN / / BC ,而 DE / / BC ,∴ DE / / MN , ∴ DE / / 平面 FMN . ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 MN ? 平面 PAC ,故 MN ? FM . .………8 分 由题意易知 DM ? FM , ………10 分 而 DM ? MN ? M ,所以 FM ? 平面 DMN , ………12 分 所以平面 FMN ? 平面 DMN .
20.解: (Ⅰ)由条件可得 x ? 10, y

P

M F D A C E
(第 19 题)

N

? 40 ,则 a ? 40 ? 3.4 ?10 ? 74 ,

………3 分

B

故回归直线方程为 ? y ? 74 ? 3.4x ,………5 分 由 74 ? 3.4 x ? 200 ? 20% 可得 x ? 10 , 所以,要使乱扔垃圾者不超过 20%,处罚金额至少是 10 元. (0,5),(0,10),(0,15),(0,20),(5,10),(5,15),(5,20),(10,15),(10,20),(15,20) 共 10 种情况, 满足金额之和不低于 25 元的有 4 种,故所求概率为: P ( A) ? ………7 分 (Ⅱ)设 “ 两种金额之和不低于 20 元 ” 的事件为 A, 从 5 中数额中随机抽取 2 种 , 总的抽选方法有

4 2 ? 10 5

………12 分

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21. (Ⅰ)解:设椭圆 C 的方程为

c 1 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? ,又抛物线 x ? y 2 的焦点为 2 4 a 2 a b

(1,0) ,所以 c ? 1 ,所以 a2 ? 4, b3 ? 3 ,
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

……………5 分

(Ⅱ)证明:设直线 的交点为 M ( x0 ,0) .

AB 的方程为: x ? ty ? 1, A( x1, y1), B( x2 , y2 ), A?( x1, ? y1) ,直线 A?B 与 x 轴

? A?, B, M

三点共线,?

y1 y ?y y1 y ?y ? 2 1 ,? ? 2 1 x0 ? x1 x2 ? x1 x0 ? ty1 ? 1 t ( y2 ? y1 )
……………8 分

,化简整理可得

x0 ?

2ty1 y2 ?1 y1 ? y2

…………①

? x2 y2 ? 1,消去 x 得: (4 ? 3t 2 ) y 2 联立 ? ? 3 ?4 ? x ? ty ? 1 ?

? 6ty ? 9 ? 0,? y1 ? y2 ?

?6t , y1 ? y2 ? 4 ? 3t 2

?9 4 ? 3t 2

…………②

……………10 分

将②代入①得:

?9 4 ? 3t 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ,即直线 A?B 过 x 轴的另一个定点 M (4,0) .证毕. x0 ? ?6t 4 ? 3t 2 ……………12 分 2t

22.解: (Ⅰ)

fn'?1 ( x) ? f n ( x) ? xf n' ( x) ,即 f n ( x) ? f n ?1? ( x) ? xf n'?1 ( x) ,? fn' ( x) ? [ xfn?1 ( x)]'
令x

? f n ( x) ? xf n?1 ( x) ? a

? 1 ,上式可化为 f n (1) ? f n?1 (1) ? a ,? fn (1) ? 1,? a ? 0 ,
………………5 分

? f1 ( x) ? x,? f n ( x) ? x ? xn?1 ? xn .
(Ⅱ)由(1)得 gn ( x) ? 所以 g 3? ( x )

fn ( x) ? fn (m ? x) ? xn ? (m ? x)n ,所以 g3 ( x) ? x3 ? (m ? x)3 ,
m ). 2
………………6 分

? 3x 2 ? 3(m ? x) 2 ? 6m( x ?

于是当 x ? [

m 2m m 2m , ] 时, g 3? ( x) ? 0 ,所以 g3 ( x) 在 x ? [ , ] 上为增函数,故 2 3 2 3

[ g3 ( x)]min

m m3 2m m3 ? g3 ( ) ? ,[ g3 ( x)]max ? g3 ( ) ? 2 4 3 3

.

………………8 分

不妨设 x1

? x2 ? x3 ,则

m3 m3 ? g3 ( x1 ) ? g3 ( x2 ) ? g3 ( x3 ) ? , 4 3

………………10 分

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而 g3 ( x1 ) ? g3 ( x2 ) ?

m3 m3 m3 ?2 ? ? ? g3 ( x3 ) , 4 2 3
………………12 分

故以 g3 ( x1 ), g3 ( x2 ), g3 ( x3 ) 的值为边长的线段可构成三角形.

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