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高二数学数列专题练习题

时间:2017-09-22


高二数学《数列》专题练习

an ? ? Sn 与 an 的关系: 1.
n ? 2 时, an =
2.等差等比数列 等差数列 定 义 通 项

(n ? 1) ? ? S1 , 已知 S n 求 an , 应分 n ? 1 时 a1 ? ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)
两步,最后考虑 a1 是

否满足后面的 an .



等比数列

an ? an?1 ? d ( n ? 2 )
a n ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ,(n ? m)

an?1 ? q(n ? N * ) an
, 如果 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与

如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 中 项

a?b 项. A ? 。 2
等差中项的设法:

b 的等比中项.
等比中项的设法:

a , a , aq q

前n 项 和 性 质

Sn ?

n(n ? 1) n (a1 ? a n ) , S n ? na1 ? d 2 2

am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)
2m ? p ? q ,则



若 m ? n ? p ? q ,则

若2m ? p ? q, 则有a2m ? ap ? aq ,( p, q, n, m ? N * )

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
函 数 看 数 列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列
an ? a1 n q ? Aq n q a a sn ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n (q ? 1) 1? q 1? q

an ? dn ? (a1 ? d ) ? An ? B sn ? d2 2 d n ? (a1 ? )n ? An 2 ? Bn 2 2

* (1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N ) 为一个常数; * ( 2 ) 等 差 中 项 : 证 明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N ,

(1)定义法:证明 常数 ( 2

a n ?1 (n ? N * ) 为一个 an
项 : 证 明

判 定 方 法

n ? 2)
(3)通项公式: an ? kn ? b(k , b 为常数)( n ? N * )
2 (4) sn ? An ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N * )





2 an ? an?1 ?an?1 (n ? N * , n ? 2) n (3) 通项公式:an ? cq

(c, q 均是不为

0 常数)
1

n ( 4 ) sn ? Aq ? A ( A, q 为 常 数 ,

A ? 0,q ? 0,1)

3.数列通项公式求法。 (1)定义法(利用等差、等比数列的定义) ; (2)累加法 (3)累乘法(

(n ? 1) ? S1 an?1 ? ? cn 型) ;(4)利用公式 an ? ? ;(5)构造法(0. an ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)

an?1 ? kan ? b 型)(6) 倒数法 等
4.数列求和 (1)公式法; (2)分组求和法; (3)错位相减法; (4)裂项求和法; (5)倒序相加法。 5. Sn 的最值问题: 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求 解: (1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m ? 0 ? m?1 (2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m

?a ? 0

的项数 m 使得 S m 取最大值.

?a ? 0 的项数 m 使得 S m 取最小值。 ? m?1 ? 0

也可以直接表示 Sn ,利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问 题时,注意转化思想的应用。 6.数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面 积、等实际问题,常考虑用数列的知识来解决. 训练题 一、选择题 1.已知等差数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 、 a ?1 、 2a ? 3 , 则 2011 是这个数列的( A.第 1006 项 B.第 1007 项 C. 第 1008 项 ).

D. 第 1009 项 ( ) )

2.在等比数列 {an } 中, a 6 ?a5 ? a7 ? a5 ? 48 ,则 S10 等于 A.1023 B.1024 C.511 3.若{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= A.-2 1 B.-2 1 C.2 D.2

D.512 (

4.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3· a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( A.180 B.-180 C.90 D.-90 5.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

) )

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

a2 9 6.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则a11的值为

2

A.9

B.1

C.2

D.3 )

1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a5=2S5,且 a9=20,则 S11=( A.260 B.220 C.130 D.110

2 * 8. n≥2), 各项均不为零的等差数列{an}中, 若 an-an-1-an+1=0(n∈N , 则 S2 009 等于(

)

A.0

B.2

C.2 009

D.4 018 )

9.数列{an}是等比数列且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于( A.5 B.10 C.15 D.20

10.首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}中,a3,a4,a6 是一个等比数列的前三项,则 这个等比数列的第四项是
A.8 B.-8 C.-6 D.不确定

(

)

1 11.在△ ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 为 3 9 ( ) 第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形
12.记等差数列 ?an ? 的前项和为 sn , 若 s3 ? s10 , 且公差不为 0, 则当 sn 取最大值时,n ? ( ) A.4 或 5 B.5 或 6 C.6 或 7 D.7 或 8 13.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 S2 011=-2 011,a1 007=3,则 S2 012 的值为 A.1 006 B.-2 012 C.2 012 D.-1 0 )

2f?n?+n 14.设函数 f(x)满足 f(n+1)= (n∈N*),且 f(1)=2,则 f(20)=( 2 A.95 B.97 C.105 D.192

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 log( 2 S n ? 1) ? n ? 1 ,则通项公式为( A. an ? 2 n (n ? N * ) C. an ? 2n?1 (n ? N * ) B. a n ? ? n ?2 (n ? 2) D. 以上都不正确



?3 (n ? 1)

16.一种细胞每 3 分钟分裂一次, 一个分裂成两个, 如果把一个这种细胞放入某个容器内, 恰好一小时充满该容器,如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的 时间为 ( ) A.15 分钟 B.30 分钟 C.45 分钟 D.57 分钟 二、填空题 17.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4= .

3

18.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6= 19.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 an ? 64 ,则 n 的值为 20.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 a =
2

1 2

. .

S4

.

21.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? 则 ?an ? 的通项公式 22.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an· an+1· an+ 1 > 2 9的最大正整数 n 的值为________. S10 31 23.等比数列{an}的首项为 a1=1,前 n 项和为 Sn,若 S5 =32,则公比 q 等于________.

Sn 2n a100 24.数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若Tn=3n+1,则b100=________.
三、解答题 25.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

26.已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

log (I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log 3 a 1 ?
前 n 项和.

3 2

a ?? log ?

3

1 an ,求数列 { } 的 bn

4

1 1 1 1 27.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2(a1+a2),a3+a4+a5=64(a3+a4+ 1 1 2 ) (1) { a } (2) b ( a . 求 的通项公式; 设 = + n n n a5 an) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

28. 已 知 {an } 为 等 比 数 列 , a1 ? 1, a5 ? 256 ; Sn 为 等 差 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 ,

b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 .(1) 求 {an } 和 {bn} 的通项公式; (2) 设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,
求 Tn .

29.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值;(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

5

2 ? 30. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N ,且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ;(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

31. a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? . 2
(2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

6


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