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高中数学选修2-1同步练习 2.2.2椭圆的简单几何性质(含答案)

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2.2.2 椭圆的简单几何性质
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.一个顶点的坐标为(0,2),焦距的一半为 3 的椭圆的标准方程为( A. + =1 4 9 C. + =1 4 13 )

x2 y2 x2

B. + =1 9 4 D. + =1 13 4
2 2

x2 y2 x2<

br />
y2

y2

解析: 由椭圆中 a>b,a>c=3,且一个顶点坐标为(0,2)知 b=2,b =4,且椭圆焦点在 x 轴上,a =b +c =13.故所求椭圆的标准方程为 + =1.故选 D. 13 4 答案: D 2.椭圆 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( 25 9 A.8,2 C.9,1 B.5,4 D.5,1
2 2

x2

y2

x2

y2

)

解析: 因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9,最小距离为 a-c=1. 答案: C 3.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B 的周长为 16,椭圆 离心率 e= 3 ,则椭圆的方程是( 2 ) B. D. + =1 16 4 + =1 16 3

x2 y2 a b

A. + =1 4 3 C. + =1 16 12

x2 y2 x2

x2 x2

y2 y2

y2

解析: 由题意知 4a=16,即 a=4, 又∵e=
2 2

3 ,∴c=2 3, 2
2

∴b =a -c =16-12=4, ∴椭圆的标准方程为 + =1. 16 4 答案: B 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( A. 1 2 B. 3 2 )

x2

y2

C.

3 4

D.

6 4

解析: 依题意,△BF1F2 是正三角形,

∵在 Rt△OBF2 中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,

c 1 ∴acos 60°=c,∴ = , a 2
1 即椭圆的离心率 e= ,故选 A. 2 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 12,则椭圆 G 的方程为______________. 解析: 依题意设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12, ∴2a=12,即 a=6. ∵椭圆的离心率为 ∴ ∴
2

3 ,且 G 上一点到两个焦点的距离之和为 2

x2 y2 a b

3 , 2

a2-b2 3 = , a 2
36-b 3 = , 6 2
2

∴b =9, ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 答案: + =1 36 9

x2

y2

x2

y2

6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________. 解析: 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为 2a,2b,2c, 由题意可得 2a+2c=4b,a+c=2b,又 b= a -c , 所以 a+c=2 a -c ,
2 2 2 2

3 2 整理得 5e +2e-3=0,e= 或 e=-1(舍去). 5 答案: 3 5

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= 椭圆的标准方程. 解析: e= = ∴

x2 y2 a b

6 3 .过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 ,求 3 2

c a

a2-b2 6 = , a 3

a2-b2 2 = , a2 3
2 2

∴a =3b ,即 a= 3b. 过 A(0,-b),B(a,0)的直线为 - =1. 把 a= 3b 代入,即 x- 3y- 3b=0, 又由点到直线的距离公式得 解得 b=1,∴a= 3, ∴所求方程为 +y =1. 3 8.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横 2 的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解析: 方法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a, 坐标等于右焦点 |- 3b| 1+?- 3? = 2 3 , 2

x y a b

x2

2

b,c,则焦点为

? ? F1(-c,0),F2(c,0).M 点的坐标为?c, b?, ?
2 3 ? 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2| +|MF2| =|MF1| , 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 而|MF1|+|MF2|=
2 2 2 2 2

4 2 2 2 4c + b + b=2a, 9 3

整理得 3c =3a -2ab. 又 c =a -b ,所以 3b=2a.
2 2 2

b2 4 所以 2= . a 9

∴e = 2= ∴e= 5 . 3

2

c2 a2-b2 b2 5 =1- 2= , 2 a a a 9

方法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 a b

c2 4b2 ? 2 ? 则 M?c, b?,代入椭圆方程,得 2+ 2=1, a 9b ? 3 ? c2 5 所以 2= , a 9
所以 =

c a

5 5 ,即 e= . 3 3

?尖子生题库?☆☆☆ 9. (10 分)设 P(x, y)是椭圆 + =1 上的点且 P 的纵坐标 y≠0, 点 A(-5,0)、 B(5,0), 试判断 kPA?kPB 25 16

x2

y2

是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由. 解析: 因为点 P 的纵坐标 y≠0,所以 x≠±5.设 P(x,y). 所以 kPA=

y y ,kPB= . x+5 x-5 y x2 x+5 x-5 x2-25 y2
?

所以 kPA?kPB=

y



y2

.

因为点 P 在椭圆 + =1 上, 25 16 25-x ? x? 2 所以 y =16??1- ?=16? . 25 ? 25? 25-x y 2 把 y =16? 代入 kPA?kPB= 2 ,得 25 x -25 25-x 16? 25 16 kPA?kPB= 2 =- . x -25 25 16 所以 kPA?kPB 为定值,这个定值是- . 25
2 2 2 2 2


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