nbhkdz.com冰点文库

潮州市饶平县第一中学2015届高二下学期校级竞赛试题(理数)


潮州市饶平县第一中学 2015 届高二下学期校级竞赛试题 数学(理科)
(满分 120 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题:(本大题共 12 小题每小题 3 分;共 36 分) 1、已知复数 z ?

1? i , 则 z 的虚部为( 1? i



A. ?i B. i C . ?1 D. 1 2、已

知 A(-1,a)、A(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行,则 a 的值为 A.-10 B. 2 C. 10 D.-2 3、已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 7 D .(1.5,4)

y 1 3 5 则 y 与 x 的线性回归方程为 必过点 ( ) A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0)

1 4、曲线 y= 与直线 x=1,x=4 及 x 轴所围成的区域的面积是( ) x 3 A. B.ln2 C.2ln2 D.ln2-2 4
5、设随机变量 ?服从正态分布 N (2,? ),若P(? ? c) ? a, 则P(? ? 4 ? c) 等于 (
2

)

A. a

B. 1 ? a

C. 2 a

D. 1 ? 2a

6、某班有 48 名学生,其中男生 32 人,女生 16 人,李老师随机地抽查 8 名学生的作业,用 X 表示抽查到的女生人数,则 E(X)的值为( ) A.

16 3

B.

8 3

C.3

D.4

7、把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里,如果数学必须比 历史先上,则不同的排法有 ( ) A.48 B.24 C.60 D.120 8、设 ? 是离散随机变量, p (? ? a ) ? 则 a ? b 的值等于( ) B.

2 1 4 2 , p (? ? b ) ? ,且 a ? b . 又 E? ? , D? ? , 3 3 3 9
C. 3 D.

5 A. 3

7 3

11 3

9、一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其 余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的 概率是( ) A.

1 22

B.

1 11

C.

3 22

D.

2 11

1

10、如图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象,给出下列命题: ① ? 3 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ② ? 1 是函数 y ? f ( x) 的最小值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f ( x) 在区间 ( ? 3,1) 上单调递增。 则正确命题的序号是( A.①② 11、函数 f ?x ? ? ) C.②③ ) D.③④

B.①④

x 1? x2



A.在 ( ?1,1) 上单调递增 C.在 ?? 1,1? 上单调递减

B.在 ?? 1,0? 上单调递增,在 ?0,1?上单调递减 D.在 ?? 1,0 ? 上单调递减,在 ?0,1?上单调递增 )

12、若关于 x 的方程 x3 -3x+m=0 在[0,2]上有根,则实数 m 的取值范围是( A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0]

D.(-∞,-2)∪(2, -∞)

二、填空题:(本大题共 6 小题;每小题 4 分,共 24 分.) 13. 在直角坐标系中,过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的一条切线 (切点为 9


T )交双曲线右支于 P ,若 M 为线段 FP 的中点,则 OM ? MT =
14. 如右图,从双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? 3 的切线 FP 交 3 5

双曲线右支于点 P,T 为切点,M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO—MT 等于 15..设正数数列 {an } 的前 n 项之和是 bn ,数列 {bn } 前 n 项之积是 c n ,且 bn ? cn ? 1 ,则数列
{ 1 } 中最接近 108 的项是第 an

项.

2 16.若 a ? x ? 1, p ? 2 , b ? ? 3, x ? , f ? x ? ? a ? b, f ? x ? 在区间 ? ?

?

?

? 1 ? , ?? ? 上是增函数,则 ? 2 ?

方程 f ? x ? ? x ? p ? 0 有且只有一解时 p 的取值范围是



17.有一个正四面体,它的棱长为 a ,现用一张圆型的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸, 但可以折叠),那么包装纸的最小半径为 . 18..使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的取值范围是
2

.

三、解答题:(本大题共 5 小题;共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(本题满分 10 分) 在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? (tan A ? tan C, 3) ,

n ? (tan A tan C ? 1,1) ,且 m / / n .
(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求Δ ABC 的面积的最大值.

20.(本题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形,∠A1AC=60o.在面 ABC 中,AB=2 3,BC=4,M 为 BC 的中点,过 A1,B1,M 三点的平面交 AC 于点 N. (1)求证:N 为 AC 中点; (2)平面 A1B1MN⊥平面 A1ACC1.

21.(本小题满分 10 分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别 为

3 9 和 p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为 ,假设 5 20

甲、乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值; (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

3

22(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? a ln x( a ? R ) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? b( b ? R ) (1)求 a 、 b 的值; (2)设集合 A ? [1, ??) ,集合 B ? {x | f ( x) ? m( x ? ) ? 0} ,若 A ? B ,求实数 m 的取值范 围.

1 x

23(本小题满分 14 分) 已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求数列{ an}和{bn}的通项公式; (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

参考答案
一、选择题:(本大题共 12 小题每小题 3 分;共 36 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 C 8 C 9 D 10 B 11 A 12 A

二、填空题:(每题 4 分,共 16 分) 13.

1 2

14. 5 ? 3

15. 110

16.p ? 3

17.

2 3 a 3

18. k ?

6

三、解答题:(本大题共 5 小题共 60 分) 19.(本题 10 分) 在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? (tan A ? tan C, 3) ,

n ? (tan A tan C ? 1,1) ,且 m / / n .
(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求Δ ABC 的面积的最大值. (1)因为 m / / n ,所以 tan A ? tan C ? 3(tan A tan C ? 1) , 所以

tan A ? tan C ? ? 3 ,即 tan( A ? C ) ? ? 3 , 1 ? tan A tan C

所以 tan B ? ? tan( A ? C) ? 3 , 又 B ? (0, ? ) ,所以 B ?

?
3



(2)在Δ ABC 中,由余弦定理有, cos B ? 所以 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 2ac 2

由基本不等式, a 2 ? c 2 ≥ 2ac ,可得 ac ≤ 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时,取等, 所以Δ ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ≤ ?4 ? 3 , 2 4

故Δ ABC 的面积的最大值为 3 . 20.(本题 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形,∠A1AC=60o.在面 ABC 中,AB=2 3,BC=4,M 为 BC 的中点,过 A1,B1,M 三点的平面交 AC 于点 N. (1)求证:N 为 AC 中点; (2)平面 A1B1MN⊥平面 A1ACC1.
5

解 (1)由题意,平面 ABC//平面 A1B1C1, 平面 A1B1M 与平面 ABC 交于直线 MN,与平面 A1B1C1 交于直线 A1B1,所以 MN// A1B1. CN CM 因为 AB// A1B1,所以 MN//AB,所以 = . AN BM CN 因为 M 为 AB 的中点,所以 =1,所以 N 为 AC 中点. AN (2)因为四边形 A1ACC 1 是边长为 2 的菱形,∠A1AC=60o. 在三角形 A1AN 中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得 A1N= 3, 故 A1A2=AN2+A1N2,从而可得∠A1NA=90o,即 A1N⊥AC. 在三角形 ABC 中,AB=2,AC=2 3,BC=4, 则 BC =AB +AC ,从而可得∠BAC=90 ,即 AB⊥AC. 又 MN//AB,则 AC⊥MN. 因为 M N∩A1N=N,MN ?面 A1B1MN,A1N?面 A1B1MN, 所以 AC⊥平面 A1B1MN. 又 AC?平面 A1ACC1,所以平面 A1B1MN⊥平面 A1ACC1. 21.(本小题满分 10 分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别 为
2 2 2 o

A1 B1

C1

A B M

N C

3 9 和 p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为 ,假设 5 20

甲、乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值; (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)设“甲射击一次,击中目标”为事件 A,“乙射击一次,击中目标”为事件 B,“甲射击 一次,未击中目标”为事件 A ,“乙射击一次,未击中目标”为事件 B ,则

3 2 P(A) ? ,P(A) ? ,P(B) ? p,P(B) ? 1 ? p, 5 5 3 2 9 依题意得 (1 ? p) ? p ? , 5 5 20 3 3 解得 p ? ,故 p 的值为 . 4 4
(2)ξ 的取值分别为 0,2,4.

2 1 1 P(? ? 0) ? P(AB) ? P(A) ? P(B) ? ? ? , 5 4 10 9 P(? ? 2) ? , 20 3 3 9 P(? ? 4) ? P(AB) ? P(A) ? P(B) ? ? ? , 5 4 20
6

∴ξ 的分布列为 ξ 0 2 4

1 9 P 10 20 1 9 9 27 ? 2? ? 4? ? . ∴Eξ= 0 ? 10 20 20 10
22(本小题满分 14 分)

9 20

设 f ( x) ? a ln x( a ? R ) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? b( b ? R ) (1)求 a 、 b 的值; (2)设集合 A ? [1, ??) ,集合 B ? {x | f ( x) ? m( x ? ) ? 0} ,若 A ? B ,求实数 m 的取值范 围. 22.【解析】(1) f ?( x) ?

1 x

a , x

由题设 f ?(1) ? 1 ,∴ a ? 1 , 又切点为 (1, 0) 在切线 y ? x ? b 上,∴ b ? ?1 。 (2) f ( x) ? ln x ,∵ A ? B ,∴ ?x ? ?1 , ? ?? , f ( x ) ? m( x ? ) ,即 ln x ? m( x ? ) , 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? ? 1 , ? ??, g ( x) ? 0 ,

1 x

1 x

1 x

g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m ? m(1 ? 2 ) ? , x x x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数, g ( x) ? g (1) ? 0 , 这与题设 g ( x) ? 0 矛盾;
2 2 ②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m ,

当 ? ? 0 ,即 m ?

1 时, g ?( x) ? 0 .? g ( x) 在 (1,??) 上单调递减, 2

? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成立,
当0 ? m ?

1 2 时,方程 ?mx ? x ? m ? 0 ,设两根为 x1 , x2 ?x1 ? x2 ?, 2

x1 ?

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 ? ?0,1? , x2 ? ? ?1,??? , 2m 2m

7

当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾, 综上所述, m ?

1 . 2

23(本小题满分 14 分) 已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求数列{ an}和{bn}的通项公式; (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,

?a n + a n+1 = 2n ∴? ?bn = a n ? a n+1
由 an+an+1=2n,得 a n+1 ? ? 2 是首项为 a1 ?

1 3

n+1

1 1 ? ?(a n ? ? 2n ) ,故数列 {a n ? ? 2 n } 3 3

2 1 ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, ∴?

?a n + a n+1 = 2n ?bn = a n ? a n+1

1 1 1 a n+1 ? ? 2n+1 2n ? a n ? ? 2n+1 ?(a n ? ? 2n ) 3 3 3 ∵ ? ? ? ?1 , 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3
(2)解:由(1)得 a n ? ? 2 ?
n

1 3

1 1 ? ( ?1) n ,即 a n ? [2 n ? ( ?1) n ] , 3 3

∴ b n = a n ? a n+1 ?

1 n [2 ? (?1) n ] ? [2n+1 ? (?1) n+1 ] 9

1 ? [22n+1 ? (?2) n ? 1] 9 1 ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an= [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] 3

1 2n+1 (?1) n ? 1 ? [2 ? 2 ? ], 3 2
要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,

8

即 [2

1 9

2n+1

? (?1) n ? 1 ? (?2)n ? 1] ? [22n+1 ? 2 ? ] ? 0 (*) 对任意 n∈N*都成立. 3 2
1 9
2n+1

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 即

? ? 2n ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 3

1 n+1 λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. 3 1 2n+1 n ? ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 9 3 1 n+1 λ n+1 n 即 (2 ? 1)(2 ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. 3 1 2n+1 n ? ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 2] ? 0 , ②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [2 9 3 1 n+1 2 λ n (2n ? 1) ? 0 , 即 (2 ? 1)(2 ? 1) ? 9 3 1 n +1 ∵2n-1>0,∴ λ < (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n +1 当且仅当 n=2 时, (2 ? 1) 有最小值 1.5,∴λ<1.5. 6
综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,λ 的取值范围是(-∞,1).

9


广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高二下学期(理科)数学竞赛试题(校级)

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高二下学期(理科)数学竞赛试题(校级)_数学_高中教育_教育专区。饶平县第一中学 2014-2015 年高中(理科)数学竞赛试题(...

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高二下学期(文科)数学竞赛试题(校级)

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高二下学期(文科)数学竞赛试题(校级)_数学_高中教育_教育专区。饶平县第一中学 2014-2015 年高中(文科)数学竞赛试题(...

广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高二下学期(文科)数学竞赛试题(校级)

广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高二下学期(文科)数学竞赛试题(校级)_数学_高中教育_教育专区。广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高二下学期(文科)数学竞赛...

潮州市饶平县第一中学2015届高一下学期第三次阶段测试(数学)

潮州市饶平县第一中学2015届高一下学期第三次阶段测试(数学)_理化生_高中教育_...16. 在区间 上随机取一个数 x,则 的概率 为 . 三、解答题(本题共 52 ...

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高一数学下学期第三次阶段测试试题

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高一数学下学期第三次阶段测试试题_数学_高中教育_教育专区。饶平一中 2014-2015 年高一级第三次阶段测试 数学试题一、...

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高一下学期第三次阶段测试数学试题

广东省潮州市饶平县第一中学2014-2015学年高一下学期第三次阶段测试数学试题_高中教育_教育专区。饶平一中 2014-2015 年高一级第三次阶段测试 数学试题 一、选择题...

潮州市饶平县第一中学2015届高一下学期第三次阶段测试(物理)

潮州市饶平县第一中学 2015 届高一下学期第三次阶段测试 物理 一、 本题共 12 小题.共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有一个或一个以上选项符合题目...

广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高一下学期第三次阶段测试数学试题 (Word版含答案)

广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高一下学期第三次阶段测试数学试题 (Word版含答案)_数学_高中教育_教育专区。广东潮州市饶平县第一中学14-15学年高一下学期...

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二下学期第一次月考 理数试题 含解析

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二下学期第一次月考 理数试题 含解析_...大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、1 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排...