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山东省青岛市2014届高三上学期期中考试 理科数学

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青岛 2014 届高三期中理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? {x | y ? A. [0, ??) B. (??, 0)

2 x ? 1} ,则 CU A ?
C. (0, ??) D. (??, 0]

2.已知命题 p 、 q ,则“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos 2? ? A. ?

?

1 3

?

?

?

1 3

B.

1 3

C. ?

7 9

D.

7 9

4.在正项等比数列 {a n } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10

5.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

y

y

y

y

1

1
1

1 1

1 1

O
A

x

O
B

x

O
C

x

O
D

1

x

6.定义运算

a c

b d

若函数 f ? x ? ? ? ad ? bc ,

x ?1 ?x

2 x?3

在 (??, m) 上单调递减, 则实数 m

的取值范围是 A. (?2, ??) B. [?2, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?2]

?x ? 0 y ?1 1 ? 7.设 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 ,若目标函数 z ? 的最小值为 ,则 a 的值为 x ?1 2 ?2 x ? 3 y ? a ?
A. 2 8.已知 cos( x ? B. 4 C. 6 D. 8

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3

A. ?

2 3 3

B. ?

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

9.下列命题中正确的是

1 的最小值是 2 x 4 2 C. y ? sin x ? 的最小值是 4 sin 2 x
A. y ? x ?

B. y ? 2 ? 3 x ?

4 ? x ? 0 ? 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D. y ? 2 ? 3 x ? ? x ? 0 ? 的最小值是 2 ? 4 3 x

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 2013at ( t ? N* ) ,则 t ? A. 2014 B. 2013 C. 1007 D. 1006

? ? ? ? a b ? 11.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ? ? ? ? 0 成立的是 |a| |b| ? ? ? ? ? ? ? 1? A. a ? ? b B. a / / b C. a ? 2b D. a ? b 3
12.已知函数 f ( x) 的导函数图象如图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则一定成立的是 A. f (cos A) ? f (cos B ) B. f (sin A) ? f (cos B ) C. f (sin A) ? f (sin B ) D. f (sin A) ? f (cos B ) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知函数 f ( x) ? ?

y

O 1

?

x

?log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 ? 4 , x ? 1 ?
x

,则 f ( f ( )) ?

1 2

.

( 14.曲线 y ? 2sin x 0 ? x ? ? ) 与直线 y ? 1 围成的封闭图形的面积为

.

15.已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,当 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? ? x ,则 f (2013) ? f (2014) ? .

16.若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为 ( 关于 x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 的广义“距 y 离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ;

(3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出四个二元函数:① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ③ f ( x, y ) ?
2

x ? y ;④

f ( x, y ) ? sin( x ? y ) . 则 能 够 成 为 关 于 的 x 、 y 的 广 义 “ 距 离 ” 的 函 数 的 所 有 序 号
是 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向左平移 .

?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图

象.若 y ? g ( x ) 在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {d n } 满足 d n ? n , 等比数列 {an } 为递增数列, a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 , 且 2

n ? N? .
(Ⅰ)求 an ; ( Ⅱ ) 令 cn ? 1 ? (?1) n an , 不 等 式 ck ? 2014(1 ? k ? 100, k ? N? ) 的 解 集 为 M , 求 所 有

d k ? ak (k ? M ) 的和.
19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2 AB ? AC ? a ? (b ? c) .
2 2

??? ???? ?

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ,求 b, c .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b(b ? R) .
2

( Ⅰ ) 若 函 数 f ( x) 的 值 域 为 [0, ??) , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c(c ? 0) 的 解 集 为

(k , k ? 6)(k ? R) ,求 c 的值;

(Ⅱ)当 b ? 0 时, m 为常数,且 0 ? m ? 1 ,1 ? m ? t ? m ? 1 ,求

f (t ) ? t 2 ? t 的取值范围. f (t ) ? 2t ? 1

21. (本小题满分 13 分) 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交

a (1 ? a ? 3) 元 的 管 理 费 , 预 计 当 每 件 商 品 的 售 价 为 x(7 ? x ? 9) 元 时 , 一 年 的 销 售 量 为

(10 ? x )2 万件.
(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ?

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ( a ? ) x 2 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,证明: a ?

1 2

e . 2

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. BADAC DACBC AD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?2 14. 2 3 ?

2? 3

15. ?1

16.①

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3
由周期为 ? ,得 ? ? 1 . 由正弦函数的单调增区间得 得 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?

………………2 分

?
3

)

………………4 分

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 12

所以函数 f (x) 的单调增区间是 [k? ? (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向左平移

?
12

, k? ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 6

5? ] ,k ?Z 12

………………6 分

得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 …………………………8 分 令 g ( x) ? 0 ,得: x ? k? ?

7? 11? 或 x ? k? ? (k ? Z) …………………………10 分 12 12

所以在每个周期上恰好有两个零点, 若 y ? g ( x ) 在 [0, b] 上有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 即 b 的最小值为 4? ?

11? 59? ? 12 12

…………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q , 所以 (a1q 4 ) 2 ? a1q 9 ,解得 a1 ? q …………2 分

又因为 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,所以 2(an ? an q 2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2 2

1 (舍)或 q ? 2 2

…………4 分

所以 an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

…………6 分

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? (?2) n , d n ? n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2n ? ?2013 ,不成立 当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2n ? 2013 , 因为 210 =1024, =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 211 则 {d k } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列 …………9 分

{ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等比数列
则所有 d k ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? …………12 分 2 1? 4 3 3
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得
2bc cos A ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,

………………2 分

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc , ∴ cos A ? ? (Ⅱ) S ?
1 2? , ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? 2 3

……………4 分 ………………6 分

1 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16 2

………………8 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? 32 ? b ? c ? 8 ………………10 分
解得: b ? c ? 4 20. (本小题满分 12 分) ………………12 分

解(Ⅰ)由值域为 [0 , ?) ,当 x 2 ? 2 x ? b =0 时有 V? 4 ? 4b ? 0 , ? 即b ?1 …………2 分

则 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ,由已知 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? c 解得 ? c ? x ? 1 ? c , ? c ? 1 ? x ? c ? 1 ……………4 分

不等式 f ( x) ? c 的解集为 (k , ? 6) ,∴ ( c ? 1) ? (? c ? 1) ? 2 c ? 6 , k 解得 c ? 9
2

……………6 分

(Ⅱ)当 b ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,所以

f (t ) ? t 2 ? t t = 2 f (t ) ? 2t ? 1 t ? 1

因为 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1 ,所以 0 ? 1 ? m ? t ? m ? 1 ? 2 令 g (t )=

1? t2 t ,则 g ?(t )= 2 ……………8 分 (t ? 1) 2 t2 ?1

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调增,当 1 ? t ? 2 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调减, 所以当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值, g (1) ? 因为 g (1 ? m) ? g (1 ? m) ?

1 ……………10 分 2

1? m 1? m ? 2 (1 ? m) ? 1 (1 ? m) 2 ? 1

?

?2m3 ? 0 ,所以 g (1 ? m) ? g (1 ? m) [(1 ? m) 2 ? 1][(1 ? m) 2 ? 1]
1? m 1 t 的范围为 [ , ] ……………12 分 2 t ?1 (1 ? m) ? 1 2
2

所以 g (t )=

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的 函数关系式为 L( x) ? ( x ? 4 ? a )(10 ? x) , x ? [7,9] . ……………………………3 分
2

(Ⅱ) L?( x) ? (10 ? x) ? 2( x ? 4 ? a )(10 ? x)
2

? (10 ? x)(18 ? 2a ? 3 x), …………………………………………6 分 2 令 L' ( x) ? 0 ,得 x ? 6 ? a 或 x ? 10 ……………………………8 分 3 20 2 ?1 ? a ? 3,? ? 6 ? a ? 8 . 3 3 2 3 ①当 6 ? a ? 7 ,即 1 ? a ? 时, 3 2 时, L?( x) ? 0 , L( x) 在 x ? [7,9] 上单调递减, ? x ? [7,9] 故 L( x) max ? L(7) ? 27 ? 9a ……………10 分 2 3 ②当 6 ? a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? ) ……………12 分 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 27 ? 9a 万 2
元;

3 2 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 2 3 a 3 ……………13 分 4(2 ? ) 万元. 3
当 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e ? x ? a ,
x

∴ f ?(0) ? 1 ? a . 于是由题知 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 .………………………………………………2 分 ∴ f ( x) ? e x ? ∴ f (0) ? 1 ,

1 2 x ? x. 2

于是 1 ? 2 ? 0 ? b ,解得 b ? 1 .……………………………………………………4 分 (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? 0 即 e x ? x ? a ? 0 恒成立, ∴ a ? e x ? x 恒成立.……………………………………………………5 分 设 h( x) ? e ? x ,则 h?( x) ? e ? 1 .
x x

当 x 变化时, h?( x) 、 h( x) 的变化情况如下表:

∴ h( x) min

x h?( x) h( x ) ? h(0) ? 1 ,

(??, 0)

?
减函数

0 0
极小值

(0, ?) ?

?
增函数

∴ a ? 1 …………………………………………………………………………8 分

(Ⅲ)由已知 g ( x) ? e x ?
x

1 2 1 x ? ax ? ax 2 ? x 2 ? e x ? ax 2 ? ax , 2 2

∴ g ?( x) ? e ? 2ax ? a . ∵ x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个不同极值点(不妨设 x1 ? x2 ) , ∴ e x ? 2ax ? a ? 0 ( ? )有两个不同的实数根 x1 , x2 ………………………10 分

1 时,方程( ? )不成立 2 e x (2 x ? 1) ex ex 则a ? ,令 p ( x) ? ,则 p?( x) ? 2x ?1 2x ?1 (2 x ? 1) 2 1 由 p?( x) ? 0 得: x ? 2 当 x 变化时, p ( x) , p?( x) 变化情况如下表: 1 1 1 1 1 (??, ? ) (? , ) ( , ??) x 2 2 2 2 2 p( x) 0 ? ? ? ?( x) p 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 1 ∴当 x ? (??, ? ) 时,方程( ? )至多有一解,不合题意;……………12 分 2 1 e 1 当 x ? (? , ??) 时,方程( ? )若有两个解,则 a ? p ( ) ? 2 2 2 e 所以, a ? ………………………………………………………13 分 2
当x??


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