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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题7 第1讲 几何证明选讲(选修4-1)

时间:2015-02-01


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第一讲

几何证明选讲(选修4-1)

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1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ) 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为

切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于 点 E,证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

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解:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2.
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2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)

如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形.
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解:(1)由题设知 A,B,C,D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥ AD. 所以 AD∥BC, 故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E. 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.

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3.(2014· 辽宁高考)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D, G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

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证明:(1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线, 故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP, 所以∠PFA=90° ,于是∠BDA=90° ,故 AB 是直径.

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(2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径, 故∠BDA=∠ACB=90° .在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD,从而 Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB, 所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径,由(1)得 ED=AB.

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4.(2013· 辽宁高考)如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相 切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连 接 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.

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解:(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. π 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=2. π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=2,从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB.

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(2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边,得 Rt △BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 同理可证 Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC.

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1.平行线等分线段定理 (1)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么 在其他直线上截得的线段也相等. (2)推论 1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第 三边. (3)推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一 腰. 2.平行线分线段成比例定理 (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. (2)推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例.

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3.相似三角形的判定与性质 (1)判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2:两边对应成比例并且夹角相等,两三角形相似. 判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似. (2)性质定理 1:相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线 和它们周长的比都等于相似比. 性质定理 2:相似三角形的面积比等于相似比的平方. (3)推论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外 接圆的面积比等于相似比的平方.

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4.射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两 直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 5.圆周角与圆心角定理 (1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的 圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的 弦是直径.
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6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理 1:圆的内接四边形的对角互补. 性质定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的 四个顶点共圆. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四 边形的四个顶点共圆.

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7.圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线.

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8.弦切角的性质 定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 9.与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理: 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的 积相等. (2)割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积相等. (3)切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到 割线与圆交点的两条线段长的比例中项. (4)切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
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热点一 相似三角形的判定与性质的应用
[ 例 1] (2014· 东北三校联考)

如图, PA, PB 是圆 O 的两条切线, A, B 是切点, C 是劣弧 AB(不 包括端点)上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且 ∠DAQ=∠PBC.求证: BD BC (1)AD= AC; (2)△ADQ∽△DBQ.

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[师生共研] (1)因为△PBC∽△PDB, BD PD AD PD 所以BC= PB ,同理AC = PA . 又因为 PA=PB, BD AD BD BC 所以BC= AC,即AD=AC.

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(2)连接 AB.因为∠BAC=∠PBC=∠DAQ,∠ABC=∠ADQ, 所以△ABC∽△ADQ, BC DQ 即AC= AQ , BD DQ 故AD= AQ , 又因为∠DAQ=∠PBC=∠BDQ, 所以△ADQ∽△DBQ.

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判定两个三角形相似的四种常用方法 (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似; (4)相似三角形的定义.

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1.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于 点 E,点 F 在 BA 的延长线上. EC 1 ED DC (1)若 CB= ,DA=1,求AB 的值; 3 (2)若 EF2=FA· FB,证明:EF∥CD.

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解:(1)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF,又∠AEB 为公共角, ∴△ECD∽△EAB, DC EC ED ∴ AB =EA= EB ,
?DC?2 EC ED EC ED 1 1 1 ∴? AB ? =EA · EB =EB · EA =4×2=8, ? ?

DC 2 ∴ AB = 4 .

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(2)∵EF2=FA· FB, EF FB ∴ FA =FE, 又∵∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB, ∴∠FEA=∠EBF, 又∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠EDC=∠EBF, ∴∠FEA=∠EDC,∴EF∥CD.

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热点二:圆的内接四边形问题
[ 例 2] (2014· 兰州模拟)如图,△ABC 是直角三角形,∠ABC

=90° ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点, 连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:2DE2=DM· AC+DM· AB.

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[师生共研] (1)连接 BE、OE,则 BE⊥EC. 又 D 是 BC 的中点,所以 DE=BD, 又 OE=OB,OD=OD, 所以△ODE≌△ODB. 所以∠OED=∠OBD=90° , 所以 O、B、D、E 四点共圆. (2)延长 DO 交圆 O 于点 H. 因为 DE2=DM· DH=DM· (DO+OH)=DM· DO+DM· OH,
?1 ? ?1 ? ? AC?+DM· ? AB?, 所以 DE2=DM· 2 2 ? ? ? ?

所以 2DE2=DM· AC+DM· AB.
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(1)在平面几何中求角的大小,经常考虑用三角形内角和定理及 其推论. (2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理.

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2.如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (1)证明:A、E、F、M 四点共圆; (2)若 MF=4BF=4,求线段 BC 的长.

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解:(1)如图,连接 AM,由 AB 为直径可知∠AMB=90° , 又 CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90° , 因此 A、E、F、M 四点共圆. (2)连接 AC,由 A、E、F、M 四点共圆, 可知 BF· BM=BE· BA, 在 Rt△ABC 中,BC2=BE· BA, 又由 MF=4BF=4 知 BF=1,BM=5, 所以 BC2=5,BC= 5.

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[ 例 3] (1)(2014· 南京模拟)

如图,AB,CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 9 1 的中点 P,若 PC= ,OP= ,求 PD 的长. 8 2

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(2)(2014· 太原模拟)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,∠APC 的平分线分别交 AB、AC 于 点 D、E. ①证明:∠ADE=∠AED; PC ②若 AC=AP,求 PA 的值.

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[师生共研] (1)∵P 为 AB 的中点, ∴OP⊥AB, 3 ∴PB= r2-OP2= 2 (r 为圆 O 的半径), 3 9 2 又∵PC· PD=PA· PB=PB =4,由 PC=8,得 PD=3.
2

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(2)①∵PA 是切线,AB 是弦, ∴∠BAP=∠C. 又∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED.

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②由①知∠BAP=∠C, ∵∠APC=∠BPA,∴△APC∽△BPA, PC CA ∴ PA =AB .又∵AC=AP, ∴∠APC=∠C=∠BAP. 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180° ,∵BC 是圆 O 的直径, ∴∠BAC=90° , ∴∠APC+∠C+∠BAP=180° -90° =90° , 1 ∴∠C=∠APC=∠BAP=3×90° =30° , CA PC CA 在 Rt△ABC 中,AB = 3,∴ PA =AB = 3.

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1.处理与圆有关的比例线段的常见思路有: (1)利用相似三角形; (2)利用圆的有关定理; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等. 2.在涉及两圆的公共弦时,通常是作出两圆的公共弦,如果有 过公共点的切线就可以使用弦切角定理,在两个圆内实现角的等量 代换,这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考 方向.
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3. 已知圆 O 的弦 CD 与直径 AB 垂直并交于点 F, 点 E 在 CD 上, 且 AE=CE. (1)求证:AC2=CE· CD; (2)已知 CA=5,AE=3,求 sin∠EAF.

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解:(1)连接 AD,则∠ACD=∠ADC,∵CE=AE,∴∠ACD= ∠EAC, AC CE ∴△AEC 与△CAD 相似,∴CD=AC, ∴AC2=CD· CE. 25 (2)CA=5,AE=3,∴CE=3,CD= 3 , 1 25 7 ∴CF=2CD= 6 ,则 EF=6, 7 6 7 ∴sin∠EAF=3=18.
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