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河北省正定中学2010届高三上学期第一次月考(数学文)

时间:2010-11-14


河北省正定中学 2010 届高三上学期第一次考试 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题,
小题, 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 选择题( ) 1.集合 A = y ∈ R y = lg x, x > 1 , B = {? 2,?1,1,2} 则下列结论正确的是( A. A I B = {?2, ?1

} C. A U B = (0, +∞ )
2 2

{

}



B. (CR A) U B = ( ?∞, 0) D. (CR A) I B = {?2, ?1}

2.原命题: “设 a, b, c ∈ R ,若 ac > bc ,则 a > b ” 的逆命题、否命题、逆否命题中真 命题有( )个 A. 0 个
2

B.1 个

C.2 个

D.4 个 )

3.一元二次方程 ax + 2 x + 1 = 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件为( (A) a < 0 (B) a > 0 (C) a < ?1 (D) a < 1 ( )

4.已知 M = {y ∈ R | y = x2}, N = {x ∈ R | x2 + y 2 = 2} ,则 M I N = A. {( ?1,1), (1,1)} B. {1} C. [0, 2]

D. [0,1] )

5.“ a = 1 ”是“函数 f ( x ) = x ? a 在区间 [1, +∞ ) 上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 6. 定义运算 x⊙y= ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ( x ≤ y) ? ,若 m ? 1 ?y ( x > y) ?
B. [1, +∞ )

m = m ? 1 , 则 m 的取值范围是(
? ? 1? ? 2?
D. ( 0, +∞ )



A. ? , +∞ ?

?1 ?2

? ?

C. ? ?∞,

7. 已知 a ∈ R ,若关于 x 的方程 x 2 + x + a ? A. 0 ≤ a ≤

1 4

B. a < 0或a >

1 4

1 + a = 0 没有实根,则 a 的取值范围是( ) 4 1 1 C. a ≤ 0或a ≥ D. 0 < a < 4 4

8. 已知函数 f ( x) = x + 1 + x ? a + x ? 3 的图象关于 x = ?1 对称,则 a 的值为( ) A.5 B.-5 C.1 D.-3

9.设函数 f ( x ) = x 2 + (2a ? 1) x + 4 ,若 x1 < x2 , x1 + x2 = 0 时,有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则实

数 a 的取值范围是( A. a >



1 2 f ( x ) ? f ( ? x) 且 < 0 的解集 10. 设奇函数 f ( x)在(0,+∞) 上为增函数, f (1) = 0, 则不等式 x
B. a ≥ C. a < D. a ≤ 为( ) B. ( ?∞,?1) U (0,1) ; D. ( ?1,0) U (0,1) A. ( ?1,0) U (1,+∞) C. (?∞,?1) U (1,+∞)

1 2

1 2

1 2

11. 偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) = f ( x + 1) ,且在 x ∈ [ 0,1] 时, f ( x ) = ? x + 1 ,则关于 x 的 方程 f ( x ) = ( A.1

1 x ) ,在 x ∈ [ 0,3] 上解的个数是 ( 10
B.2 C.3

) D.4

12. 设全集 I = { ,2,3, K ,9 1

} , A, B 是 I 的子集,若 A I B = {1, 2,3} ,就称 ( A, B) 为好集,
) C. 2 6 D. 3
6

那么所有“好集”的个数为( A. 6! B. 6
2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
(本大题共 个小题, 二.填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 填空题: ( ) 13.函数 f ( x ) =

x+5 的定义域为 lg(6 ? x 2 )

.

14. 已知 f (x ) 是 x ∈ R 上的偶函数,f ( x ) 的图像向右平移一个单位长度又得到一个奇函数, 且 f (2) = ?1 ;则 f (8) + f (9) + f (10) + …… + f (2010) =

15.两个命题:①函数 y = log a x 是减函数;② x 的不等式 ax + 1 > 0 的解集为 R ,如果
2

这两个命题中有且只有一个是真命题,则 a 的取值范围 16.关于函数 f ( x) = lg



x2 +1 ( x ≠ 0, x ∈ R) 有下列命题: | x|

①函数 y = f (x ) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 (?∞,0) 上,函数 y = f (x ) 是减函数;

③函数 f (x ) 的最小值为 lg 2 ; ④在区间 (1, +∞ ) 上,函数 f (x ) 是增函数. 其中正确命题序号为_______________. (本大题共 个小题, 三.解答题: 本大题共 6 个小题,共 70 分。 解答题: ( ) 17. (本题满分 10 分) (1)已知集合 P = ? x

? 1 ? ≤ x ≤ 3? , 函数 f ( x) = log 2 (ax 2 ? 2 x + 2) 的定义域为 Q 。 ? 2 ?

若PIQ = ? ,

?1 2 ? ? , P U Q = (?2,3] ,求实数 a 的值; ?2 3 ?
1 2

(2)函数 f ( x ) 定义在 R 上且 f ( x + 3) = f ( x ), 当 ≤ x ≤ 3 时 f ( x) = log 2 (ax 2 ? 2 x + 2) , , 若 f (35) = 1 ,求实数 a 的值。

18.本题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米 的楼房.经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位: 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = log 1
2

ax ? 2 ( a 为常数). x ?1

(1)若常数 a < 2 且 a ≠ 0 ,求 f ( x ) 的定义域; (2)若 f ( x ) 在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)

定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足 f ( 3) = log 2 3 且对任意 x, y ∈ R 都有

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) .
(1)求证 f ( x ) 为奇函数; (2)若 f k ? 3

(

x

) + f (3

x

? 9 x ? 2) < 0 对任意 x ∈ R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 向量 m = ( ,

ur

ur 1 1 1 2 ) (a > 0), 将函数 f ( x ) = ax ? a 的图象按向量 m 平移后得到函数 g (x ) a 2a 2

的图象。 求函数 g (x ) 的表达式; 若函数 g ( x ) 在 [ 2, 2] 上的最小值为 h(a ) , h(a ) (1) (2) 求 的值域。

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足:对任意 x, y ∈ R ,都有 f ( x + y ) = f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ) ? f ( y ) + 2 成 立,且 x > 0 时, f ( x ) > 2 。 (1)求 f (0) 的值,并证明:当 x < 0 时, 1 < f ( x ) < 2 ; (2)判断 f ( x ) 的单调性并加以证明。 (3)若函数 g ( x) = f ( x) ? k 在 (?∞, 0) 上递减,求实数 k 的取值范围。

河北正定中学高三第一次考试
小题, 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 选择题( )

数学(文)答案

DBCCA

ABBCD

DD
14. 0 15. a ≥ 1 16.(1) (3) (4)

(本大题共 个小题, 二.填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 填空题: ( ) 13. {x ? 6 < x <

6 , x ≠ ± 5}
2 3

(本大题共 个小题, 三.解答题: 本大题共 6 个小题,共 70 分。 解答题: ( ) 17.解:解:(1)由条件知 Q = ( ?2, ) 即 ax ? 2 x + 2 > 0 解集 (?2, ) .
2

2 3

4 ?2 ?a = ? 3 2 3 ? 2 ∴ a < 0 且 ax ? 2 x + 2 = 0 的二根为 ?2, .∴ ? ,∴ a = ? . 3 2 ?2 = ? 4 ?a 3 ?
(2)∵ f ( x) 的周期为 3, f (35) = f (3 × 11 + 2) = f (2) = log 2 ( a ? 2 ? 4 + 2) = 1 ,所以
2

a = 1。
18. 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ( x ) = ( 560 + 48 x ) +

2160 × 10000 10800 = 560 + 48 x + 2000 x x

( x ≥ 10, x ∈ Z )
+

≥ 560 + 2 48 × 10800 = 560+2 × 720=200

当且仅当 48 x = 10800 , 即 x = 15 时取等号, x ≥ 10 , x ∈ Z + , x 所以 x = 15 满足条件 因此 当 x = 15 时,f(x)取最小值 f (15 ) = 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层 19、解:(1)由

ax ? 2 2 > 0 ,当 0 < a < 2 时,解得 x < 1 或 x > , x ?1 a 2 当 a < 0 时,解得 < x < 1 . a 2 故当 0 < a < 2 时, f ( x ) 的定义域为{ x | x < 1 或 x > } a 2 当 a < 0 时, f ( x ) 的定义域为 {x | < x < 1 }. a ax ? 2 ,因为 f ( x ) = log 1 u 为减函数,故要使 f ( x ) 在(2,4)上是减函数, x ?1 2

(2)令 u =

u=

ax ? 2 a?2 = a+ 在(2,4)上为增且为正. x ?1 x ?1

?a ? 2 < 0 ? 故有 ? ?1≤ a < 2 . 2a ? 2 ?umin > u (2) = 2 ? 1 ≥ 0 ?
故 a ∈ [1, 2) . 20、解: (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), 证明: 证明 R ①

令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0, 则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, R 所以 f(x)是奇函数.--------------------------------------6 分

(2)解: f ( 3) = log 2 3 >0,即 f(3)>f(0),又 f ( x ) 在 R 上是单调函数,所以 f ( x ) 在 R 解 又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2),
x x x 2x x ∴ k·3 <-3 +9 +2,3 -(1+k)·3 +2>0 对任意 x∈R 成立.----------10 分 R x x x x x

上是增函数,-------------------------------------------------------8 分

令 t=3 x >0,问题等价于 t 2 -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.

R 恒成立.-------12 分 21.解:设 y = f ( x) 上任一点 P ( x0 , y0 ) 对应 g (x) 上的点 Q ( x1 , y1 ) 则 y0 =

1 2 ax0 ? a , 2

1 1 ? ? uuu ur r ? x ? x0 = a ? x0 = x ? a ? ? 且 PQ = m ? ? ?? ?y ? y = 1 ?y = y ? 1 0 ? ? 0 2a 2a ? ?
1 1 1 = a( x ? )2 ? a 2a 2 a 得 1 1 ? y = g ( x) = ax 2 ? x + ? a 2 a y?
(2)函数 y = g ( x ) 的对称轴为 x = ①当 x =

1 a

1 1 2 1 1 ∈ [ 2, 2]( ≤ a ≤ ) 时, h ( a ) = f ( ) = ?a a 2 2 a 2a

②x =

1 2 1 < 2( a > ) 时, h ( a ) = f ( 2 ) = ? 2 a 2 a

③x =

1 1 1 > 2(0 < a < ) 时, h ( a ) = f (2) = a + ? 2 a 2 a

? 1 1 2 ? a( ≤ a ≤ ) ? 2a 2 2 ? ? 得 h(a ) = ? 1 ? 2 (a > 2 ) ? 2 ? a 1 1 ? ? a + a ? 2(0 < a < 2 ) ? ?
①当

1 1 2 时, h′( a ) = ? 2 ? 1 < 0 ? h( a ) 单调递减 ≤a≤ 2a 2 2 0 ≤ h( a ) ≤ 1 2

②当 a >

1 2 时, h′( a ) = ? 2 < 0 ? h( a ) 单调递减 a 2
? 2 < h( a ) < 0

③当 0 < a <

1 1 时, h′(a ) = 1 ? 2 < 0 ? h( a ) 单调递减 a 2
h( a ) > 0

得: h ( a ) 的值域为 ( ? 2, +∞ ) 22.解: (1)Q f (0) = f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) + 2,∴ f 2 (0) ? 3 f (0) + 2 = 0, f (0) = 2或f (0) = 1. 若 f (0) = 1 则 f(1)=f(1+0)=f(1)? f(0)-f(1)-f(0)+2=1,与已知条件 x > 0 时, f ( x ) > 2 相矛盾, 所以 f (0) = 2 ----------------2 分 设 x < 0 ,则 ? x > 0 ,那么 f ( ? x ) > 2 . 又 2 = f (0) = f ( x ? x ) = f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x) ? f ( ? x ) + 2

∴ f ( x) =

f (? x) 1 = 1+ . f (? x) ? 1 f ( ? x) ? 1 1 < 1, 1 < f ( x) < 2 .-----------4 分 从而 f (? x) ? 1

Q f ( ? x) > 2 ∴ 0 <

(2)函数 f ( x) 在 R 上是增函数.设 x1 < x2 ,则 x2 ? x1 > 0 ∴ f ( x2 ? x1 ) > 2

f ( x2 ) = f ( x2 ? x1 + x1 ) = f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) + 2

= f ( x2 ? x1 ) [ f ( x1 ) ? 1] ? f ( x1 ) + 2 Q 由(1)可知对任意 x ∈ R, f ( x) > 1∴ f ( x1 ) ? 1 > 0
又 f ( x2 ? x1 ) > 2 ∴ f ( x2 ? x1 ) ? [ f ( x1 ) ? 1] > 2 f ( x1 ) ? 2

f ( x2 ? x1 ) ? [ f ( x1 ) ? 1] ? f ( x1 ) + 2 > f ( x1 ) 即 f ( x2 ) > f ( x1 ) ∴ 函 数 f ( x) 在 R 上 是 增 函
数。--------------------------------------------8 分 (3)Q 由(2)知函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,∴ 函数 f ( x ) y = f ( x ) ? k 在 R 上也是增 函数,若函数 g ( x) = f ( x) ? k 在 ( ?∞, 0 ) 上递减, 则 x ∈ ( ?∞, 0 ) 时, g ( x) = f ( x) ? k = k ? f ( x) ,即 x ∈ ( ?∞, 0 ) 时, f ( x ) ? k < 0 .

Q x ∈ (?∞, 0) 时, f ( x) < f (0) = 2 ∴ k ≥ 2 ------------------------------------12 分


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