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2013—2014学年度新课标高中数学人教A版必修5章节素质测试题——第一章 解三角形


必修 5 章节素质测试题——第一章 解三角形
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(10 湖北理 3)在 ?ABC 中, a ? 15,b ? 10,A ? 60?, cos B =( 则 ) A. -

2 2 3

B.

2 2

3

C. -

6 3

D.

6 3
?

2. 08 陕西理 3)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , c ? 2, ? 6 , ? 10 ( 若 b B 2 则 a 等于( A. 6 ) B.2 C. 3 D. 2 )



3.(09 福建文 7)已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为( A. 75° B. 60° C. 45° D.30°

2 2 ( 4. 11 重庆理 6) ( 若△ABC 的内角 A、 C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c ? 4 , C ? 60? , B、 且

则 ab 的值为( A.

) B. 8 ? 4 3 C. 1 D.

4 3

2 3
2 2

5. (10 天 津理 7 )在 △ABC 中, 内角 A、 B、C 所 对的 边 a、b、c ,若 a ? b ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
A. 30
0


0

B. 60

C. 120

0

D. 150

0

6.(11 重庆文 8)若△ ABC 的内角, A, B, C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ? (



A.

15 4

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

11 16
2

7. 11 辽宁理 4) ( △ABC 的三个内角 A、 C 所对的边分别为 a、 c, sin A sin B ? b cos A ? B、 b、 a 则

2a ,

b ?( a

) B. 2 2 C. 3 D. 2

A. 2 3

8 . 11 浙 江 文 5 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B , 则 (

s i nA c o A? s
A. ?

c2o s ? ( B
B.



1 2

1 2

C. ? 1

D.1

1

9. (08 山东文 8) 已知 a, c 为△ABC 的三个内角 A, C 的对边, b, B, 向量 m ? ( 3,?1), n ? (cos A, sin A) . 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B 的大小分别为( A.
? ?

?

?

) D.

? ? , 6 3
?

B.

2? ? , 3 6

C.

? ? , 3 6
?

? ? , 3 3


10.(11 四川理 6)在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C ,则 A 的取值范围是( A. (0, ] 6 B. [ , ? ) 6

?

C. (0, ] 3

D. [ , ? ) 3

?

11. 福建理 10) (08 在△ABC 中, A、 、 的对边分别为 a、 、 若 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) tan B ? 3ac , 角 B C b c, 则角 B 的值为( A. ) B.

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

12.(12 湖北文 8)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正 3b 整数,且 A ? B ? C, ? 20 a cos A ,则 sinA∶ sinB∶ sinC 为( ) A.4∶ 2 3∶ B.5∶ 7 6∶ C.5∶ 3 4∶ D.6∶ 4 5∶ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在对应题号后的横线上) 13.(08 湖北文 12)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, C ? 30? , 则 A= .

14.(11 新课标文 15)△ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则△ABC 的面积为_________. 15.(10 广东文 13)已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边.若 a =1, b = 3 ,

A ? C ? 2 B ,则 sin C =

.

16.(12 北京理 11)在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ?

?
3

,则 ?C 的大小为_________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分,12 安徽文 16)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

2

18.(本题满分 12 分,11 湖南理 17)在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足

c sin A ? a cos C. (Ⅰ )求角 C 的大小;
(Ⅱ )求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

19. (本题满分 12 分,11 山东理 17)在 ? ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a . ? cos B b sin C (Ⅰ )求 的值; sin A

(Ⅱ )若 cos B ?

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S. 4

3

20.(本题满分 12 分,09 宁夏理 17)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1 km. 试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离 相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

21.(本题满分 12 分,11 全国Ⅰ 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 文

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B,
(Ⅰ )求 B; (Ⅱ )若 A ? 75 , b ? 2, 求a与c .
0

4

22.(本题满分 12 分,10 陕西理 17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两 个观测点.现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点 ,B 的 南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需要多长时间?

5

新课标高中数学人教 A 版必修 5 章节素质检测题——第一章 解三角形(参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 C 11 D 12 D

二、填空题 13.

? ; 6

14.

15 3 ; 4

15.

1

; 16.

? . 2

三、解答题 17. 解: (Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B

? cos A ?

1 ? ? A? . 2 3

2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

.

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 . ) ? 2 2

18. 解: )由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. (Ⅰ 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (Ⅱ )由(Ⅰ )知 B ?

?
4



3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

4 a b c ? ? ? k, 19. 解: )由正弦定理,设 (Ⅰ sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

6

所以

cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C ? 2 得 c ? 2a. (Ⅱ)由 sin A
因此 由余弦定理得:

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1. 因此 c=2 又因为 cos B ?

1 15 , 且0 ? B ? ? . 所以 sin B ? . 4 4

因此 S ?

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

20. 解:在△ABC 中,∠ DAC=30° ∠ , ADC=60° DAC=30, -∠ 所以 CD=AC=0.1 又∠ BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
? 即 AB ? ACsin60 ? 3 2 ? 6 , ?

AB

AC

sin 15

20

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km. 21. 解: ) a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ

a b c , sin B ? , sin C ? , 2R 2R 2R a c c b ?a ? ?c? ? 2a ? ? b? . 2R 2R 2R 2R
由正弦定理得 sin A ?

7

即 a ? c ? 2ac ? b . 从而 a ? c ? b ?
2 2 2

2

2

2

2ac.

由余弦定理得 cos B ? 故 B ? 45?.

a2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? . 2ac 2ac 2

(Ⅱ sin A ? sin(30? ? 45?) )

? sin 30? cos 45? ? cos 30? sin 45? ? 2? 6 . 4

故 a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3, sin B 2

c ? b?

sin C sin 60? ? 2? ? 6. sin B sin 45?

22. 解:由题意知 AB=5(3+ 3) 海里,

?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 45?,
??ADB ? 105? .
在 ?DAB 中,由正弦定理得

DB AB ? sin ?DAB sin ?ADB

? DB ?

AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? 5(3 ? 3) ? sin 45? ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? ? cos 60? ? sin 60? ? cos 45?

=

5 3(1 ? 3) , ? 10 3 (海里) (1 ? 3) 2

又 ?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? (90? ? 60?) ? 60?, BC ? 20 3 海里, 在 ?DBC 中,由余弦定理得

CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC ? cos ?DBC
1 ? 900 . 2 30 ? CD ? 30(海里) ? 1 (小时). ,则需要的时间 t ? 30
= 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ? 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

8


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