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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.6


数学

北(文)

§9.6 抛物线
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离 相

等 的点的集合叫作抛物线.点 F 叫作抛物线的 焦

点 ,
直线 l 叫作抛物线的 准线 .

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基础知识·自主学习
要点梳理
2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方 程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
知识回顾 理清教材

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形 顶点 对称轴 y=0 O(0,0) x=0

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向

?p ? F?2,0? ? ?

? p ? F?-2,0? ? ?

? p? F?0,2? ? ?

? p? F?0,-2? ? ?

e=1 p x=- 2 x≥0, y∈R 向右 p x= 2 x≤0, y∈R 向左 p y=- 2 y≥0, x∈R 向上 p y= 2 y≤0, x∈R 向下

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) ×(3) × (4) √

解析

C B y2=4x
4

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题型一 抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知抛物线 y2 = 2x

的焦点是 F, 点 P 是抛物线上 的动点, 又有点 A(3,2), 求|PA| +|PF|的最小值,并求出取最 小值时点 P 的坐标.

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题型分类·深度剖析
题型一 抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知抛物线 y2 = 2x

的焦点是 F, 点 P 是抛物线上 由定义知,抛物线上点 P 到焦点 的动点, 又有点 A(3,2), 求|PA| F 的距离等于点 P 到准线 l 的距 +|PF|的最小值,并求出取最 离 d,求|PA|+|PF|的问题可转化 小值时点 P 的坐标.

为求|PA|+d 的问题.

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题型分类·深度剖析
题型一 抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知抛物线 y2 = 2x 解 将 x=3 代入抛物线方程

2 y =2x,得 y=± 6. 的焦点是 F, 点 P 是抛物线上

的动点, 又有点 A(3,2), 求|PA| ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部, +|PF|的最小值,并求出取最 小值时点 P 的坐标.
如图.

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题型分类·深度剖析
题型一 抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

1 已知抛物线 y2 = 2x 设抛物线上点 P 到准线 l: x=- 的 2

的焦点是 F, 点 P 是抛物线上 距离为 d, 的动点, 又有点 A(3,2), 求|PA| 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, +|PF|的最小值,并求出取最 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小, 小值时点 P 的坐标.
7 即|PA|+|PF|的最小值为2,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x =2,∴点 P 的坐标为(2,2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

7 最小值为 , 2

题型分类·深度剖析
题型一 抛物线的定义及应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

已知抛物线 y2 = 2x 与抛物线有关的最值问题,一般

的焦点是 F, 点 P 是抛物线上 情 况 下 都 与 抛 物 线 的 定 义 有 的动点, 又有点 A(3,2), 求|PA| 关.由于抛物线的定义在运用上 +|PF|的最小值,并求出取最 有较大的灵活性,因此此类问题 小值时点 P 的坐标.

也有一定的难度.“看到准线想 焦点,看到焦点想准线”,这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重 要途径.

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跟踪训练 1 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点

(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A ) 17 9 A. B. 3 C. 5 D. 2 2 1 2 解析 抛物线 y =2x 的焦点为 F(2,0),准线是 l, 由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,
因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和 的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的 距离之和的最小值, 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.
因此所求的最小值等于
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1 17 ? ?2+?-2?2= ,选 A. 2 2
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

抛物线的顶点在原

点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5, 求该抛物线的方 程, 并写出它的焦点坐标与准 线方程.

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题型分类·深度剖析
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

抛物线的顶点在原

点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 首先确定方程的形式,根据条件 的长为 2 5, 求该抛物线的方 列方程确定方程中的系数. 程, 并写出它的焦点坐标与准 线方程.

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题型分类·深度剖析
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

抛物线的顶点在原 解 由题意,得抛物线方程为

2 x =2ay (a≠0). 点,对称轴为 y 轴,它与圆 设公共弦 MN 交 y 轴于 A, N在y轴

x2+y2=9 相交,公共弦 MN 右侧, 的长为 2 5, 求该抛物线的方 则|MA|=|AN|,而|AN|= 5. 程, 并写出它的焦点坐标与准 线方程.
∵|ON|=3, ∴|OA|= 32-? 5?2=2,

∴N( 5,± 2).

∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2), 5 即 2a=± , 2
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题型分类·深度剖析
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析
2

思维升华

【例 2】

抛物线的顶点在原

点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5, 求该抛物线的方 程, 并写出它的焦点坐标与准 线方程.

5 故抛物线的方程为 x = y 或 2 5 2 x =- y. 2 ? 5? 5 2 抛物线 x =2y 的焦点坐标为?0,8?, ? ? 5 准线方程为 y=-8. 5 2 抛物线 x =-2y 的焦点坐标为 ? 5? ?0,- ?, 8? ? 5 准线方程为 y= . 8
思想方法 练出高分

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题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

抛物线的顶点在原 (1)由抛物线的标准方程,可以首先
置及 p 的值,再进一步确定抛物线

点,对称轴为 y 轴,它与圆 确定抛物线的开口方向、焦点的位 x +y =9 相交,公共弦 MN
2 2

的焦点坐标和准线方程. 的长为 2 5, 求该抛物线的方 (2)求抛物线标准方程的常用方法是

程, 并写出它的焦点坐标与准 待定系数法,其关键是判断焦点位 线方程.
置、开口方向,在方程的类型已经 确定的前提下,由于标准方程只有 一个参数 p, 只需一个条件就可以确 定抛物线的标准方程.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦

点 F,且和 y 轴交于点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4, 则抛物线方程为 A.y2=± 4x C.y2=4x B.y2=± 8x D.y2=8x ( )

(2)(2013· 江西)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F, 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则 |FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 ( D.1∶3 )

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题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
解析 a a (1)直线方程为 y=2(x- ),令 x=0,得 y=- , 4 2 1 a a a2 故有 4= · | |· |- |= , 2 4 2 16

∴a=± 8,∴y2=± 8x.
(2)由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH.

即|FM|∶|MN|=|MH|∶|MN| =|FO|∶|AF|=1∶ 5. 答案 (1)B
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(2)C
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O .

思维启迪

解析

思维升华

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O .

思维启迪

解析

思维升华

证直线 AC 经过原点 O,即证 O、 A、C 三点共线,为此只需证 kOC = kOA. 本题也可结合图形特点, 由抛物线的几何性质和平面几何 知识去解决.

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线

思维启迪

解析

证明

方法一

思维升华 p 设 AB:x=my+ , 2

代入 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0. p2 即 yB=-y . A

交抛物线于 A、B 两点,点 C 由根与系数的关系,得 y y =-p2, A B 在抛物线的准线上,且

p BC ∥ x 轴.证明:直线 AC ∵BC∥x 轴, 且 C 在准线 x=-2上,

经过原点 O .

p ∴C(-2,yB). yB 2p yA 则 kOC= = = =k . p yA xA OA - 2 ∴直线 AC 经过原点 O.
思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 方法二

思维启迪

解析 如图,记准

思维升华

的焦点为 F, 经过点 F 的直线 线 l 与 x 轴的交点为 交抛物线于 A、B 两点,点 C E,过 A 作 AD⊥l, 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O .
垂足为 D.
则 AD∥EF∥BC.连接 AC 交 EF 于点 N, |EN| |CN| |BF| |NF| |AF| 则|AD|=|AC|=|AB|,|BC|=|AB|.
∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,

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题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且

思维启迪

解析

思维升华

∴|EN|= =|NF|,

|AD|· |BF| |AF|· |BC| = |AB| |AB|

BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 即 N 是 EF 的中点,从而点 N 与点 经过原点 O .
O 重合,故直线 AC 经过原点 O.

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题型分类·深度剖析
题型三 抛物线焦点弦的性质
2

【例 3】 设抛物线 y =2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O .

思维启迪

解析

思维升华

本题的 “ 几何味” 特别浓,这就为 本题注入了活力.在涉及解析思想 较多的证法中,关键是得到 yAyB= - p2 这个重要结论.还有些证法充 分利用了平面几何知识,这也提醒 广大师生对圆锥曲线几何性质的重 视,也只有这样才能挖掘出丰富多 彩的解析几何题目.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, A(x1, y1)、 B(x2, y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证: p2 2 (1)y1y2=-p ,x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值; |AF| |BF| (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. p 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(2,0). p

由题意可设直线方程为 x=my+2,代入 y2=2px, p 2 得 y =2p(my+2),即 y2-2pmy-p2=0. 则 y1、y2 是方程(*)的两个实数根,所以 y1y2=-p2.

(*)

2 2 2 2 因为 y1 =2px1,y2 = 2 px ,所以 y y = 4 p x1x2, 2 2 1 2 2 4 2 y2 y p p 1 2 所以 x1x2= 4p2 =4p2= 4 .

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, A(x1, y1)、 B(x2, y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证: p2 2 (1)y1y2=-p ,x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值; |AF| |BF| (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. x1+x2+p 1 1 1 1 (2) + = . p+ p= |AF| |BF| p p2 x1+ x2+ x1x2+ ?x1+x2?+ 2 2 2 4 p2 因为 x1x2= 4 ,x1+x2=|AB|-p,代入上式,
1 1 |AB| 2 得|AF|+|BF|=p2 p = p2 p(定值). + ?|AB|-p?+ 4 2 4
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, A(x1, y1)、 B(x2, y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证: p2 2 (1)y1y2=-p ,x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值; |AF| |BF| (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)设 AB 的中点为 M(x0,y0),分别过 A、B 作准线的 垂线,垂足为 C、D,过 M 作准线的垂线,垂足为 N,
1 1 1 则|MN|=2(|AC|+|BD|)=2(|AF|+|BF|)=2|AB|.

所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
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题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

抛物线上的点到抛物线的焦点 距离,往往转化为该点到准线 的距离.

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类

思维升华 1 解 (1)∵抛物线 C:x2=my, 1 ∴它的焦点 F(0,4m). 1 (2)∵|RF|=yR+4m, 1 1 ∴2+4m=3,得 m=4. 2 ? ?y=mx , (3)存在, 联立方程? ? ?2x-y+2=0, 消去 y 得 mx2-2x-2=0, 思维启迪

解析

依 题 意 , 有 Δ = ( - 2)2 - 1 4×m×(-2)>0?m>- . 2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

2 mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y 设 A(x1,mx2 1),B(x2,mx2), 2 ? +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, x + x = , 2 ? 1 m P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴 则? (*) 2 ? x · x =- 的垂线交抛物线 C 于点 Q. m, ? 1 2 (1)求抛物线 C 的焦点坐标. ∵P 是线段 AB 的中点,
2 2 x + x mx + mx 1 2 1 2 (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 ∴P( 2 , ), 2 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. 1 1 1 即 P(m,yP),∴Q(m,m). (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 1 1 → 2 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 得QA=(x1- ,mx1- ), m m 在,求出 m 的值;若不存在,说明 → 1 1 2 QB=(x2-m,mx2-m), 理由.

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y 若存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为 +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点,

直角顶点的直角三角形,

P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴

→ → 则QA· QB=0, 的垂线交抛物线 C 于点 Q. 1 1 1 2 即(x1-m)· (x2-m)+(mx1-m)(mx2 (1)求抛物线 C 的焦点坐标. 2- (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 1 )=0, m 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. 4 6 (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 结合(*)化简得-m2-m+4=0,
Q 为直角顶点的直角三角形?若存 即 2m2-3m-2=0, 在,求出 m 的值;若不存在,说明 1 理由.
基础知识 题型分类

∴m=2 或 m=- , 2
思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y

1 1 +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, 而 2∈(-1, +∞), - ?(- , +∞). 2 2 2 P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴
的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

∴存在实数 m=2, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形.

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标.

(1)直线与抛物线的位置关系和直线 与椭圆、双曲线的位置关系类似, 一般要用到根与系数的关系;

(2)有关直线与抛物线的弦长问题,

(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 要注意直线是否过抛物线的焦点, 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. 若过抛物线的焦点,可直接使用公 (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则 必须用一般弦长公式.

题型分类·深度剖析
题型四
【例 4】

直线与抛物线的位置关系
已知抛物线 C:y=

思维启迪

解析

思维升华

mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y +2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离 P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴

等相关问题时,一般利用根与系数 入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般 用“点差法”求解.

的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到 焦点 F 的距离为 3, 求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m, 使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类

的关系采用“设而不求”“整体代

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

跟踪训练 4

已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点

F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m, 对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交 →· → <0?若存在,求出 m 的 点 A,B 的任一直线,都有FA FB 取值范围;若不存在,请说明理由.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
解 (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足:

?x-1?2+y2-x=1(x>0). 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1, y1), B(x2,y2). 设 l 的方程为
? ?x=ty+m, x=ty+m,由? 2 ? ?y =4x

得 y2-4ty-4m=0,

Δ=16(t2+m)>0,
? ?y1+y2=4t, 于是? ? ?y1y2=-4m.



→ → → → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FA· FB<0?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. ②

2 2? 2 ? y y y2 y2 y 1 2 1 2 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-? 4 + 4 ?+1<0 4 4 4 ? ? ?y1y2?2 1?? ? 2 ? 16 +y1y2-4??y1+y2? -2y1y2??+1<0. ③

由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2. 等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2.



对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立
由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个 → → 交点 A,B 的任一直线,都有FA· FB<0,且 m 的取值范围是(3 -2 2,3+2 2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

基础知识

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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)求 MN 的长,由面积得 p 的值;

(2)问题的几何条件是:线段 MN 的中垂线与 y 轴的交点和 M,N 构成等 腰直角三角形,因此依次待定直线,表示中点,得中垂线与 y 轴交点, 利用直角边垂直关系列式求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,则|MN|=2p, 1 p p2 ∴S△OMN= · 2p·= =2,即 p=2. 2 2 2

∴抛物线 C 的方程为 y2=4x.
(2)∵直线 l 与 x 轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为 P.

4分

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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

思 维 启 迪
? ?y=k?x-1?, 联立? 2 ? ?y =4x,2

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

故可设直线 l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),
可化简得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
4 ? k2+2 2 ?y1+y2=k , ? 代入直线 l 可得 MN 的中点为( k2 , k), ? ?y1y2=-4,

2k +4 ? ?x1+x2= 2 , k 则? ? ?x1x2=1.

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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

规 范 解 答 答 题 模 板 2 1 2 则线段 MN 的垂直平分线为 y-k=-k(x-1- 2), k 3 2 故 P(0,k +k3). →· → =0,则 x x +(y -y )(y -y )=0. 又PM PN
1 2 1 0 2 0

思 维 启 迪

温 馨 提 醒

8分

即 x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y2 0=0.
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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

∴存在直线 l:y=±

思 维 启 迪 规 范 解 答 答 题 模 板 4 2 2 1-4-y0· + y 0=0,化解得 ky0-4y0-3k=0, k 3 2 由 y0=k+k3代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0. 4 4 解得 k=± 3. 4
4 (x-1). 3

温 馨 提 醒

12分

基础知识

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答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤:

第一步:联立方程,得关于 x 或 y 的一元二次方程;

第二步:写出根与系数的关系,并求出 Δ>0 时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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规 范 解 答

答 题 模 板

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第三步:根据题目要求列出关于 x1x2,x1+x2 的关系 式,求得结果;

第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
答题模板系列7 直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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答 题 模 板

温 馨 提 醒

本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)题比较基础,易于 掌握;(2)题的基本点是设而不求,难点是如何把几何条件转化为代数方程, 重点考查解题思想与方法,其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数 量积为零.

基础知识

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思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y=ax2 与 y2=2px (p>0),前者不是抛物 线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分 类讨论,标准方程有时可设为 y2=mx 或 x2= my(m≠0).

基础知识

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思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

2.抛物线的焦点弦:设过抛物线 y2=2px (p>0)的

方 法 与 技 巧

焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则:
2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4

2p (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ,则|AB|= 2 ; sin θ 1 1 2 (3)若 F 为抛物线焦点,则有|AF|+|BF|=p.

基础知识

题型分类

思想方法

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思想方法·感悟提高

1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 值,

失 误 与 防 范

但首先要判断抛物线是否为标准方程, 以及是哪一种 标准方程.

2.注意应用抛物线的定义解决问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 2 1.抛物线 y=- x 的焦点坐标是 2 1 1 A.(0, ) B.(- ,0) 8 8 1 1 C.(0,- ) D.(- ,0) 2 2
解析

( C )

把原方程先化为标准方程 x2=-2y,则 2p=2,

p 1 1 ∴2=2,即焦点坐标为(0,-2),故选 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 y 2.(2013· 四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐 3

近线的距离是 1 3 A. B. 2 2

( B ) C.1 D. 3

解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),
2 y 双曲线 x2- =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x± y=0, 3

| 3± 0| 3 ∴所求距离为 2 2= 2 .选 B. ? 3? +?± 1?
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交 抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则 该抛物线的准线方程为 A.x=1 B.x=-1 ( B ) C.x=2 D.x=-2 p 2 解析 ∵y =2px 的焦点坐标为( , 0), 2 p ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2, p 即 x=y+2,将其代入 y2=2px,得 y2=2py+p2, 即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2 则 y1+y2=2p,∴ 2 =p=2, ∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 y1y2 A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于 ( A ) x1x2 A.-4
解析

B. 4

C.p2

D.-p2

p ②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴,可设 AB:y=k(x- ), 2 2 2 2 pk p 2 2 2 2 联立 y =2px 得 k x -(k p+2p)x+ =0, 则 x1x2= . 4 4 2 p y1y2 2 即 x1x2= 4 ,则 y1y2=-p .故x x =-4. 1 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

①若焦点弦 AB⊥x 轴, p p2 则 x1=x2=2,则 x1x2= 4 ;

练出高分
1 2 3

A组
4
2

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

p2 5.如图,抛物线 C1:y =2px 和圆 C2:(x- ) 2 2 p +y2= ,其中 p>0,直线 l 经过 C1 的焦点, 4 → → 依次交 C1, C2 于 A, B, C, D 四点, 则AB· CD 的值为 A.p2
解析

p2 B. 4

p2 C. 2

p2 D. 3

( B )

设抛物线的焦点为 F,A(x1,y1),D(x2,y2), p p 则|AB|=|AF|-|BF|=x1+2-2=x1, 同理|CD|=x2. 2 p →· → =|AB||CD|=x · 又AB CD 1 x2= . 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则 2 x =12y . 点 P 的轨迹方程是__________

解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点 (0,3)的距离,
故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点, 以 y=-3 为准线的抛 物线,且 p=6,

所以其标准方程为 x2=12y.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 2 两点,|AF|=2,则|BF|=________.

解析 设 A(x0,y0),由抛物线定义知 x0+1=2,
∴x0=1,则直线 AB⊥x 轴,∴|BF|=|AF|=2.

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5
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8. 已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线为 l, 过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若AM=M B,





2 则 p=________.

解析

→=M→ 知∠α=60° , 又 AM B, ∴M 为 AB 的中点.
过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P, 则∠ABP=60° ,∴∠BAP=30° . 1? ? ? ? ? ? ? ? ?=?BM?. AB ∴?BP?=2? ? ? ? ? p ∴M 为焦点,即2=1,∴p=2.
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如图,由 AB 的斜率为 3,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,已知抛物线 y2=2px (p>0)有一个内接直 角三角形,直角顶点在原点,两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8,求抛物线的方程.
解 设直线 OA 的方程为 y=kx,k≠0, 1 则直线 OB 的方程为 y=- x, k ? ?y=kx, 2p ? 由 2 得 x=0 或 x= k2 . ? ?y =2px, ?2p 2p? ∴A 点坐标为? k2 , k ?, 同理得 B 点坐标为(2pk2, -2pk), ? ? 由|OA|=1,|OB|=8,
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,已知抛物线 y2=2px (p>0)有一个内接直 角三角形,直角顶点在原点,两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8,求抛物线的方程.

? 2k2+1 ?4p ① 4 =1, k ? 可得 2 2 2 ? ?4p k ?k +1?=64, ②
②÷ ①解方程组得 k6=64,即 k2=4. 16 4 2 则p = 2 2 = . k ?k +1? 5 2 5 4 5 2 又 p>0,则 p= 5 ,故所求抛物线方程为 y = 5 x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.(2013· 福建)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦 点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半 径作圆, 设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N. (1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|· |AN|,求圆 C 的半径.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10



(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.

由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5, 所以|MN|=2 |CO|2-d2=2 5-4=2.
4 y2 y2 y 0 0 2 0 2 2 (2)设 C( 4 ,y0),则圆 C 的方程为(x- 4 ) +(y-y0) =16+y0 ,
2 y 0 即 x2- x+y2-2y0y=0. 2

2 y 0 2 由 x=-1,得 y -2y0y+1+ 2 =0,

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

设 M(-1,y1),N(-1,y2),则
2 y ? 0 2 2 Δ = 4 y - 4 ? 1 + ? = 2 y 0 0-4>0, ? 2 ? 2 y ?y1y2= 0+1. 2 ?

由|AF|2=|AM|· |AN|,得|y1y2|=4,

y2 0 所以 2 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ>0. 3 3 所以圆心 C 的坐标为(2, 6)或(2,- 6), 33 33 33 2 从而|CO| = 4 ,|CO|= 2 ,即圆 C 的半径为 2 .
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练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 → +FB → +FC → =0,则|FA → |+|FB → |+|FC → |等于 FA ( )

B

A.9

B. 6

C.4

D.3

解析

设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又 F(1,0).

→ +FB → +FC → =0 知(x -1)+(x -1)+(x -1)=0, 由FA 1 2 3

即 x1+x2+x3=3,
3 → → → |FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+ p=6. 2

基础知识

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练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原 点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 A.(2,2 2) B.(2,-2 2) C.(2,± 2) ( ) D.(2,± 2 2)

解析 如图所示,由题意,
可得|OF|=1,由抛物线的定义,得|AF|=|AM|,
∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1,
1 2×|AF|×|AM|×sin∠MAF

S△AMF ∴ = =3, S△AOF 1 ×|OF|×|AF|×sin?π-∠MAF? 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原 点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 A.(2,2 2) B.(2,-2 2)
2 ?y0 ? A? 4 ,y0?, ? ?

( D ) D.(2,± 2 2)

C.(2,± 2)

∴|AF|=|AM|=3,设

y2 0 ∴ +1=3,解得 y0=± 2 2. 4 y2 0 ∴ =2,∴点 A 的坐标是(2,± 2 2). 4

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.(2012· 安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2 ( )

解析 如图所示,
由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,

由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,
∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,
由图知点 A 的纵坐标 y=2 2,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.(2012· 安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2
∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
? ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ? ?y =4x,

( C )

1 ? ? ?x= , ?1 ? ?x=2, 解之得? 2 或? 由图知 B?2,- 2?, ? ? ? ?y=2 2. ? ?y=- 2

1 1 3 ∴S△AOB=2|OF|· |yA-yB|=2×1×|2 2+ 2|=2 2.故选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

4.已知直线 l1:4x-3y+11=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是________ . 3

解析 因为 x=-1 恰为抛物线 y2=4x 的准线,
所以可画图观察.如图,连接 PF d2=PF, ∴d1+d2=d1+PF≥FQ

|4×1-3×0+11| 15 = = 5 =3. 2 2 4 +?-3?
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

5.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物 线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,若 BC=2BF,且
y =3x . AF=3,则此抛物线的方程为________
2

解析 如图, 分别过 A, B 作 AA1⊥l 于 A1, BB1⊥l 于 B1,
由抛物线的定义知 AF=AA1,BF=BB1,
∵BC=2BF,∴BC=2BB1,
∴∠BCB1=30° ,∴∠AFx=60° .

则△AA1F 为等边三角形,过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1, 则 F1 为 AA1 的中点,设 l 交 x 轴于 K, 1 1 3 则 KF=A1F1= AA1= AF,即 p= , 2 2 2 ∴抛物线方程为 y2=3x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求 四边形 OACB 面积的最小值.

解 (1)依题意知 F(1,0),设直线 AB 的方程为 x=my+1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得
y2-4my-4=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=-4. → =2FB → ,所以 y =-2y . 因为AF
1 2

① ②

2 联立①和②,消去 y1,y2,得 m=± 4 .

所以直线 AB 的斜率是± 2 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求 四边形 OACB 面积的最小值.
(2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点,
从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,

所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB. 1 因为 2S△AOB=2×2· |OF|· |y1-y2|

= ?y1+y2?2-4y1y2=4 1+m2, 所以当 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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