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2010海淀区高三数学理科模拟试题

时间:2011-01-15


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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 ( 理) 2010.5 .

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数 第Ⅰ卷(选择题 一、选择题(本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 小题,每小题 选择题 共 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 共 110 分) 6 B 7 A 共 40 分)

8 D

第Ⅱ卷(非选择题 10. <

小题,每小题 有两空的小题, 二、填空题(本大题共 6 小题 每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 填空题( 9.1 14. 11.2 ; 10
12.48 13. 2

;84.

三、解答题(本大题共 6 小题 共 80 分) 解答题 本大题共 小题,共
15. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 a2 + a4 = 6, S4 = 10 ,

?2a1 + 4d = 6 ? 可得 ? 4×3 ?4a1 + 2 d = 10 ?
即?



………………………2 分

?a1 + 2d = 3 , ?2a1 + 3d = 5 ?a1 = 1 , ?d = 1
………………………4 分

解得 ?

∴ an = a1 + ( n ? 1) d = 1 + ( n ? 1) = n , 故所求等差数列 {an } 的通项公式为 an = n . (Ⅱ)依题意, bn = an ? 2 = n ? 2 ,
n n

………………………5 分

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∴ Tn = b1 + b2 + ? + bn

= 1× 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + ? + (n ? 1) ? 2n ?1 + n ? 2n ,
又 2Tn = 1× 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + 两式相减得 ?Tn = (2 + 2 + 2 + ? + 2
2 3

………………………7 分 …………………9 分 ………………………11 分

? + (n ? 1) ? 2n + n ? 2 n +1 ,
n ?1

+ 2n ) ? n ? 2n +1

=

2 (1 ? 2 n ) 1? 2

? n ? 2 n +1 = (1 ? n) ? 2n +1 ? 2 ,
n +1

………………………12 分 ………………………13 分

∴ Tn = ( n ? 1) ? 2

+2.

B ∴ AN / / 平面MBD . ………… 4 分 (Ⅱ)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A(0, 0, 0) , B(3, 0, 0) , C (3,6, 0) , D (0, 6, 0) , z P(0, 0,3) , M (2, 4,1) , N (1, 2, 2) , P
∵ AN = (1, 2, 2), PD = (0, 6, ?3) , ………………………5 分
∴ cos < AN , PD >= AN ? PD AN PD = 0 + 12 ? 6 3× 3 5 = 2 5 , 15

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM , ∵ 底面ABCD为矩形 , ∴ O为AC中点 , ………… 1 分 ∵ M 、N 为侧棱PC的三等分点 , ∴ CM = MN , ∴ OM // AN , ………… 3 分 ∵ OM ? 平面MBD, AN ? 平面MBD ,

P
N

M A
O C

D

N

M A

D

y x B
C
………………………8 分

………………………7 分
∴ 异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值为

2 5 . 15

(Ⅲ)∵ 侧棱 PA ⊥ 底面ABCD ,
∴ 平面BCD的一个法向量为 AP = (0, 0,3) ,

………………………9 分

设 平面MBD 的法向量为 m = ( x, y, z ) ,
∵ BD = (?3, 6,0), BM = (?1, 4,1) ,并且 m ⊥ BD, m ⊥ BM ,

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??3x + 6 y = 0 ∴? ,令 y = 1 得 x = 2 , z = ?2 , ?? x + 4 y + z = 0
∴ 平面MBD 的一个法向量为 m = (2,1, ?2) .

………………………11 分
………………………13 分

cos < AP, m >=

AP ? m

2 =? , 3 AP m

由图可知二面角 M ? BD ? C 的大小是锐角,
∴ 二面角 M ? BD ? C 大小的余弦值为
2 . 3 .………………………14 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“4 人恰好选择了同一家公园”为事件 A.

………………1 分
4

每名志愿者都有 3 种选择,4 名志愿者的选择共有 3 种等可能的情况 . 事件 A 所包含的等可能事件的个数为 3, 3 1 所以, P ( A ) = 4 = . 3 27 即:4 人恰好选择了同一家公园的概率为
1 . 27

…………………2 分 …………………3 分

………………5 分 .………………………6 分

1 (Ⅱ)设“一名志愿者选择甲公园”为事件 C,则 P ( C ) = . 3

4 人中选择甲公园的人数 X 可看作 4 次独立重复试验中事件 C 发生的次数,因此,随机变量 X 服从二项分

布.
X 可取的值为 0,1,2,3,4. 2 i 1 P ( X = i ) = C4 ( )i ( ) 4 ?i , i = 0,1, 2,3, 4 . 3 3 X 的分布列为: X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81 .………………………12 分 1 4 X 的期望为 E ( X ) = 4 × = . 3 3 18.(本小题满分 13 分) .………………………13 分 .………………………8 分 .………………………10 分

解法一: (Ⅰ)依题意得 f ( x) = (2 x ? x 2 ) e x ,所以 f ′( x) = (2 ? x 2 ) e x , 令 f ′( x) = 0 ,得 x = ± 2 ,
f ′( x) , f ( x) 随 x 的变化情况入下表:

.………………………1 分
.………………………2 分

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………………………4 分 由上表可知, x = ? 2 是函数 f ( x) 的极小值点, x = 2 是函数 f ( x) 的极大值点.
………………………5 分

(Ⅱ)

f ′( x) = [ ?ax 2 + (2a 2 ? 2) x + 2a]eax ,

.………………………6 分

由函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减可知: f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立,
.………………………7 分

当 a = 0 时, f ′( x) = ?2 x ,显然 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立; .…………………8 分 当 a > 0 时, f ′( x) ≤ 0 等价于 ax 2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ≥ 0 , 因为 x ∈ ( 2, 2) ,不等式 ax 2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ≥ 0 等价于 x ?
2 2a 2 ? 2 ≥ , x a .………………………9 分

2 令 g ( x) = x ? , x ∈ [ 2, 2] , x

则 g ′( x) = 1 +

2 ,在 [ 2, 2] 上显然有 g ′( x) > 0 恒成立,所以函数 g ( x) 在 [ 2, 2] 单调递增, x2 .………………………11 分 2 2a 2 ? 2 ≥ 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立, x a

所以 g ( x) 在 [ 2, 2] 上的最小值为 g ( 2) = 0 , 由于 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立等价于 x ? 需且只需 g ( x) min ≥

2a 2 ? 2 2a 2 ? 2 ,即 0 ≥ ,解得 ?1 ≤ a ≤ 1 ,因为 a > 0 ,所以 0 < a ≤ 1 . a a

综合上述,若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ≤ a ≤ 1 .
.………………………13 分

解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) f ′( x) = [ ?ax 2 + (2a 2 ? 2) x + 2a]eax ,
.………………………6 分

由函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减可知: f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立, 即 ax 2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立,
…………………7 分

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当 a = 0 时, f ′( x) = ?2 x ,显然 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立; …………………8 分 当 a > 0 时,令 h( x) = ax 2 ? (2a 2 ? 2) x ? 2a ,则函数 h( x) 图象的对称轴为 x =
a2 ? 1 , a .………………………9 分



a2 ? 1 ≤ 0 ,即 0 < a ≤ 1 时,函数 h( x) 在 (0, +∞) 单调递增,要使 h( x) ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立,需 a

且只需 h( 2) ≥ 0 ,解得 ?1 ≤ a ≤ 1 ,所以 0 < a ≤ 1 ;..………………………11 分 若
a2 ? 1 > 0 ,即 a > 1 时,由于函数 h( x) 的图象是连续不间断的,假如 h( x) ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成 a

立,则有 h( 2) ≥ 0 ,解得 ?1 ≤ a ≤ 1 ,与 a > 1 矛盾,所以 h( x) ≥ 0 不能对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立. 综合上述,若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ≤ a ≤ 1 .
.………………………13 分 19. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)由题意,抛物线 C2 的方程为: y 2 = 4 x , (Ⅱ)设直线 AB 的方程为: y = k ( x ? 4), (k 存在且k ≠ 0) .
? y = k ( x ? 4) 联立 ? 2 ,消去 x ,得 ky 2 ? 4 y ? 16k = 0 , y = 4x ?
………………3 分 显然 ? = 16 + 64k 2 > 0 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则

…………2 分

y

B

O F
A

M P

x

4 y1 + y2 = k y1 ? y2 = ?16

① ② ③

…………………4 分 …………………5 分

又 AM =

1 1 MB ,所以 y1 = ? y2 2 2 k2 = 2 ,

由①② ③消去 y1 , y2 ,得

故直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 2, 或 y = ? 2 x + 4 2 .

…………………6 分

m n (Ⅲ)设 P (m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y = k ( x ? 4) 对称, 2 2

m ? 8k 2 ?n ?m= ? 2 = k ( 2 ? 4) ? km ? n = 8k ? ? 1+ k2 , 所以 ? ,即 ? ,解之得 ? ? m + nk = 0 ? n ? k = ?1 ? n = ? 8k ? m ? ? 1+ k2 ?
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…………………8 分

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将其代入抛物线方程,得:
(? 8k 2 8k 2 ) = 4? ,所以, k 2 = 1 . 1+ k2 1+ k2
………………………9 分

? y = k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: ? 2 + 2 =1 b ?a

(b 2 + a 2 k 2 ) x 2 ? 8k 2 a 2 x + 16a 2 k 2 ? a 2 b 2 = 0 .

………………………10 分

由 ? = ( ?8k 2 a 2 ) 2 ? 4(b 2 + a 2 k 2 )(16a 2 k 2 ? a 2 b 2 ) ≥ 0 ,得
16a 2 k 4 ? (b 2 + a 2 k 2 )(16k 2 ? b 2 ) ≥ 0 ,即 a 2 k 2 + b 2 ≥ 16k 2 , …………………12 分

将 k 2 = 1 , b 2 = a 2 ? 1 代入上式并化简,得
2a 2 ≥ 17 ,所以 a ≥ 34 ,即 2a ≥ 34 , 2
………………………13 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . (本小题满分 14 分) 20. 解: (Ⅰ)由题意可得:
f1 ( x) = cos x, x ∈ [0, π ] f 2 ( x) = 1, x ∈ [0, π ] . ,

………………………1 分 ………………………2 分

? x 2 , x ∈ [ ?1, 0) (Ⅱ) f1 ( x) = ? , ?0, x ∈ [0, 4] ?1, x ∈ [?1,1) , f 2 ( x) = ? 2 ? x , x ∈ [1, 4]

………………………3 分

………………………4 分

?1 ? x 2 , x ∈ [ ?1, 0) ? f 2 ( x) ? f1 ( x) = ?1, x ∈ [0,1) , ? 2 ? x , x ∈ [1, 4]

………………………5 分

当 x ∈ [?1, 0] 时, 1 ? x 2 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥ 1 ? x , k ≥ 2 ; 当 x ∈ (0,1) 时, 1 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥
1 ∴k ≥ 1 ; x +1 x2 16 ∴k ≥ . x +1 5 ………………………6 分 ………………………7 分

当 x ∈ [1, 4] 时, x 2 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥ 综上所述,∴ k ≥

16 . 5 即存在 k = 4 ,使得 f ( x) 是 [?1, 4] 上的 4 阶收缩函数.
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(Ⅲ) f ′( x) = ?3x 2 + 6 x = ?3x ( x ? 2 ) ,令 f '( x) = 0 得 x = 0 或 x = 2 . 函数 f ( x ) 的变化情况如下:

令 f ( x) = 0 ,解得 x=0 或 3.
………………………8 分

ⅰ) b ≤ 2 时, f ( x) 在 [0, b] 上单调递增,因此, f 2 ( x) = f ( x ) = ? x3 + 3x 2 , f1 ( x) = f ( 0 ) = 0 . 因为 f ( x) = ? x 3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数, 所以,① f 2 ( x) ? f1 ( x ) ≤ 2 ( x ? 0 ) 对 x ∈ [0, b] 恒成立; ②存在 x ∈ [ 0, b ] ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x ) > ( x ? 0 ) 成立. ①即: ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立, 由 ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x ,解得: 0 ≤ x ≤ 1 或 x ≥ 2 , 要使 ? x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立,需且只需 0 < b ≤ 1 . ②即:存在 x ∈ [0, b] ,使得 x ( x 2 ? 3x + 1) < 0 成立. 由 x ( x 2 ? 3x + 1) < 0 得: x < 0 或 所以,需且只需 b > 综合①②可得:
3? 5 . 2 .………………………11 分 3? 5 3+ 5 <x< , 2 2

………………………9 分

.………………………10 分

3? 5 < b ≤1. 2 ⅱ) 2 < b ≤ 3 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,在 [2, b] 上单调递减,

因此, f 2 ( x) = f ( 2 ) = 4 , f1 ( x) = f ( 0 ) = 0 , f 2 ( x) ? f1 ( x ) = 4 , x ? 0 = x , 显然当 x = 0 时, f 2 ( x) ? f1 ( x ) ≤ 2 ( x ? 0 ) 不成立. ⅲ)当 b > 3 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,在 [2, b] 上单调递减, 因此, f 2 ( x) = f ( 2 ) = 4 , f1 ( x) = f ( b ) < 0 , f 2 ( x) ? f1 ( x ) = 4 ? f ( b ) > 4 , x ? 0 = x , 显然当 x = 0 时, f 2 ( x) ? f1 ( x ) ≤ 2 ( x ? 0 ) 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)ⅲ)可得:
3? 5 < b ≤1. 2
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………………………12 分

………………………13 分 ………………………14 分


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