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高一必修二立体几何练习题(含答案)

时间:2017-09-03


《立体几何初步》练习题
一、选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 D、不确定 2. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 与 A1C 垂直的是( ) )

A. BD B. CD C. BC D. CC1 3、线 m, n 和平面 ?、? ,能得出

? ? ? 的一个条件是( ) A. m ? n, m // ? , n // ? B. m ⊥ n , ? ∩ ? = m , n ? ? C. m // n, n ? ? , m ? ? D. m // n, m ? ? , n ? ? 4、平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? ) B.直线 a// ? ,a// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

5、设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m?n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.①和④ ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

6.点 P 为Δ ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC, 则点 O 是Δ ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面, 则下列命题中为真命题的是( ) A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n B.若 ? ? ? ,l ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m 8. 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9. (2013 浙江卷)设 m.n 是两条不同的直线,α .β 是两个不同的平面, A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β





10. (2013 广东卷)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?





二、填空题 11、在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B —B1EF 的体积为 . 12.对于空间四边形 ABCD,给出下列四个命题:①若 AB=AC,BD=CD 则 BC⊥AD;②若 AB=CD,AC=BD 则 BC⊥AD;③若 AB⊥AC,BD⊥CD 则 BC⊥AD;④若 AB⊥CD, BD ⊥AC 则 BC⊥AD;其中真命题序号是 . 13. 已知直线 b//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则直线 b 与 ? 的位置关系
P

为 . 14. 如图,△ABC 是直角三角形, ? ACB= 90 ? ,PA ? 平面 ABC,此图形 A 中有 个直角三角形 三、解答题 15.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC
B

C

求证:AB⊥BC

P

A B
A D M

C

16. 如 图 , ABCD和 ABEF 都是正方形, M ? AC N? FB ,且 , AM ? FN。 求证: MN // 平面BCE 。

F

N

B

E

C

P

17. 如 图 , P 为 ?ABC 所 在 平 面 外 一 点 , PA ? 平 面 ABC ,
?ABC ? 90? , AE ? PB 于 E , AF ? PC 于 F

F

求证: (1) BC ? 平面 PAB ; (2)平面 AEF ? 平面 PBC ; (3) PC ? EF .
A

E

C

B

18、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.[来 源:Zxxk.Com]

19、如图, 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 , 点 P 为 DD1 的中点。求证: (1)直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)平面 PAC ? 平面 BDD1 ; (3)直线 PB1 ? 平面 PAC .
C C1

D1

A1 B1

P

D B

A

20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC—A1B1C1 中 AC=3, AB=5, CB ? 4, AA1 ? 4, 点D是AB的中点. (Ⅰ)求证: AC ? BC1 (Ⅱ)求证:AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 A1—B1CD 的体积.

21.如图,在几何体 ABCDE 中,AB = AD = 2,AB 丄 AD,AE
丄平面 ABD,M 为线段 BD 的中点, MC//AE,且 AE = MC = 2 ( I ) 求 证 : 平 面 B C D 丄 平 面 C D E ; (II)若 N 为线段 DE 的中点, 求证:平面 AMN//平面 BEC.

22. (2013 年北京卷)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中
AB // CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD ,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,

求证:

(1) PA ? 底面 ABCD ; (3)平面 BEF ? 平面 PCD

(2) BE // 平面 PAD ;

23 . 2013 年 山 东 卷 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD ( 中 , AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD ,
E , F , G, M , N 分别为 PB, AB, BC , PD, PC 的中点

求证: (Ⅰ) CE∥平面PAD ; (Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

24. (2013 年大纲卷)如图,四棱锥 P ? ABCD中, ABC ? ?BAD ? 90?, ? 2 AD ? BC
?PAB与?PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

(I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

参考答案
选择题:AACDA,BCCCB 填空题:11、

1 12、①④ 13、 b // ? 或b ? ? 3

14、4

解答题:15、作 AD ? PB, 16、
作MG // AB交CB于G, NH // EF 交BE于H, 连接GH,证明四边形MGHN是平行四边形

17、 (2)证 AE ? 平面PBC (3)证 PC ? 平面AEF 18、 (1)连接 OE , OE // PA ,(2)证 BD ? 平面PAC 19、(1)设 AC ? BD ? O ,连接 OP , OP // BD1 ,(2)证 AC ? 平面BDD1 (3) 由 AC ? 平面BDD1 得 AC ? B1P ,计算可以得到 ?B1 PO ? 90? , B1 P ? PO 20、 (1) AC ? 平面BB1C1C (2) (1)设 B1C ? BC1 ? O ,连接 OD , OD // AC1

(3)

VA1 ? B1CD ? VC ? A1DB1 ? 8 ,

21、 (1)计算得 ?BCD ? 90? , BC ? CD, ?BCE ? 90? , BC ? CE, BC ? 平面CDE (2) AM // EC, MN // BE 22、 (I)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于两平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD. (III)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD. 23、 (1) 取PA中点H,连接EH、DH,证明四边形CEHD是平行四边形 或者连接 CF,证明 平面ECF // 平面PAD (2)证 AB ? 平面EFG, MN // CD // AB, 所以 MN ? 平面EFG,

24、

(Ⅰ)证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE ? BD ,从而 PB ? OE . 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE//CD.因此, PB ? CD . (Ⅱ)解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF//PB. 由(Ⅰ)知, PB ? CD ,故 OF ? CD . 1 又 OD ? BD ? 2 , OP ? PD 2 ? OD 2 ? 2 , 2 故 ?POD 为等腰三角形,因此, OF ? PD . 又 PD ? CD ? D ,所以 OF ? 平面 PCD. 因为 AE//CD, CD ? 平面 PCD, AE ? 平面 PCD,所以 AE//平面 PCD. 1 因此,O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF ? PB ? 1 , 2 所以 A 至平面 PCD 的距离为 1.


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