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集合与常用逻辑用语高考真题

时间:2015-07-16


集合与常用逻辑用语高考真题 1.(2013· 高考新课标全国卷Ⅰ文)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,x∈A},则 A∩B =( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 解析:选 A.∵A={1,2,3,4},B={x|x=n2,x∈A}, ∴B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}. 2. (2013· 高考新课标全国卷Ⅰ理)已知集合 A={x|x2-2x>0}, B={x|- 5<x< 5}, 则( ) A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B 解析:选 B.∵A={x|x>2 或 x<0},B={x|- 5<x< 5}, ∴A∩B={x|- 5<x<0 或 2<x< 5},A∪B=R. 3.(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ理)已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3}, 则 M∩N=( ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 解析:选 A.集合 M={x|-1<x<3,x∈R},∴M∩N={0,1,2},故选 A. 4.(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ文)已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1}, 则 M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 解析:选 C.M∩N={-2,-1,0},故选 C. 5.(2013· 高考大纲全国卷理)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈ B},则 M 中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 B.由题意可知,集合 M={5,6,7,8},共 4 个元素. 6.(2013· 高考大纲全国卷文)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则?UA=( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.? 解析:选 B.∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴?UA={3,4,5}. 7.(2013· 高考山东卷理)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A}中元素的个 数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 解析:选 C.当 x=0,y=0 时,x-y=0;当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0;当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2;当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,-1,-2,1,2, 共 5 个. 8. (2013· 高考山东卷文)已知集合 A, B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集, 且?U(A∪B)={4}, B={1,2},则 A∩?UB=( ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.? 解析:选 A.∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}. 又?UB={3,4},∴A∩?UB={3}. 9.(2013· 高考浙江卷理)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( )

A.(-2,1] B.(-∞,-4] C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析:选 C.因为 S={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2}.而 T={x|-4≤x≤1},所以(?RS) ∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 10.(2013· 高考浙江卷文)设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T=( ) A.[-4,+∞) B.(-2,+∞) C.[-4,1] D.(-2,1] 解析:选 D.S∩T={x|x>-2}∩{x|-4≤x≤1}= {x|-2<x≤1}. 11.(2013· 高考北京卷理)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 解析:选 B.∵A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1}且 1?B, ∴A∩B={-1,0}. 12.(2013· 高考天津卷理)已知集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B=( ) A.(-∞,2] B.[1,2] C.[-2,2] D.[-2,1] 解析:选 D.由已知得 A={x|-2≤x≤2},于是 A∩B={x|-2≤x≤1}. 13.(2013· 高考福建卷文)若集合 A={1,2,3},B={1,3,4},则 A∩B 的子集个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.16 解析:选 C.A∩B={1,3},其子集有?,{1},{3},{1,3},共 4 个. 14.(2013· 高考辽宁卷文)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 解析:选 B.B={x||x|<2}={x|-2<x<2},A∩B={0,1}. 15.(2013· 高考辽宁卷理)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( ) A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 解析:选 D.因为 A={x|0<log4x<1}={x|1<x<4},B={x|x≤2}, 所以 A∩B={x|1<x<4}∩{x|x≤2}={x|1<x≤2}. 16.(2013· 高考湖南卷文)已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B= ________. 解析:∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴?UA={6,8}. ∴(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}. 答案:{6,8} 17.(2013· 高考江西卷理)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4}, 则复数 z=( ) A.-2i B.2i C.-4i D.4i 解析:选 C.因为 M={1,2,zi},N={3,4},由 M∩N={4},得 4∈M,所以 zi=4,所以 z=-4i. 18. (2013· 高考江西卷文)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素, 则 a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0 或 4 解析:选 A.当 a=0 时,方程化为 1=0,无解,集合 A 为空集,不符合题意;当 a≠0 时,由 Δ=a2-4a=0,解得 a=4. 1?x ? ? 19.(2013· 高考湖北卷理)已知全集为 R,集合 A=?x| ? ≤1?,B={x|x2-6x+8≤0}, ? ?2? ? 则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} ? ?1?x ? 解析:选 C.A=?x| ?2? ≤1?={x|x≥0},B={x|x2-6x+8≤0}={x|2≤x≤4},所以?RB= ? ? {x|x<2 或 x>4},于是 A∩?RB={x|0≤x<2 或 x>4}. 20.(2013· 高考湖北卷文)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则 B∩ ?UA=( ) A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} 解析:选 B.∵U={1,2,3,4,5},A={1,2}, ∴?UA={3,4,5}, ∴B∩?UA={2,3,4}∩{3,4,5}={3,4} 21.(2013· 高考四川卷文)设集合 A={1,2,3},集合 B={-2,2},则 A∩B=( ) A.? B.{2} C.{-2,2} D.{-2,1,2,3} 解析:选 B.A∩B={1,2,3}∩{-2,2}={2},故选 B. 22. (2013· 高考四川卷理)设集合 A={x|x+2=0}, 集合 B={x|x2-4=0}, 则 A∩B=( ) A.{-2} B.{2} C.{-2,2} D.? 解析:选 A.∵A={x|x+2=0},∴A={-2}. ∵B={x|x2-4=0},∴B={-2,2}. ∴A∩B={-2}.故选 A. 23.(2013· 高考重庆卷文)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪ B)=( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 解析:选 D.∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3}, ∴?U(A∪B)={4}. 24.(2013· 高考重庆卷理)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪ B)=( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 解析:选 D.∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3}, ∴?U(A∪B)={4}. 25.(2013· 高考广东卷)设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则 M∪N=( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 解析:选 D.集合 M={0,-2},N={0,2},故 M∪N={-2,0,2},故选 D. 26.(2013· 高考广东卷文)设集合 S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则 S∩T=( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 解析:选 A.集合 S={0,-2},T={0,2},故 S∩T={0},故选 A. 27.(2013· 高考安徽卷文)已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(?RA)∩B= ( ) A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 解析:选 A.因为集合 A={x|x>-1},所以(?RA)={x|x≤-1}, 则(?RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}. 28.(2013· 高考新课标全国卷文Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=1 2 -x ,则下列命题中为真命题的是( )

A.p∧q C.p∧綈 q 解析:选 B.

B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

当 x=0 时,有 2x=3x,不满足 2x<3x, ∴p:?x∈R,2x<3x 是假命题. 如图,函数 y=x3 与 y=1-x2 有交点,即方程 x3=1-x2 有解, ∴q:?x∈R,x3=1-x2 是真命题. ∴p∧q 为假命题,排除 A. ∵綈 p 为真命题,∴綈 p∧q 是真命题.选 B. 29.(2013· 高考山东卷理)给定两个命题 p、q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?綈 p 但綈 p q,其逆否命题为 p?綈 q 但綈 q p,∴p 是綈 q 的充分不必要条件. 30.(2013· 高考山东卷文)给定两个命题 p、q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?綈 p 但綈 p q,其逆否命题为 p?綈 q 但綈 q p,∴p 是綈 q 的充分不必要条件. 31.(2013· 高考浙江卷理)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇 π 函数”是“φ= ”的( ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 π π 解析:选 B.若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ= +kπ(k∈Z),故 φ= 2 2 不成立; π π π 若 φ= ,则 f(x)=Acos(ωx+ )=-Asin(ωx),f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函数是 φ= 的 2 2 2 必要不充分条件. 32.(2013· 高考浙江卷文)若 α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 α=0,则 sin α=0,cos α=1,所以 sin α<cos α,即 α=0?sin α<cos α;

π 但当 α=- 时,有 sin α=-1<0=cos α,此时 α≠0.所以 α=0 是 sin α<cos α 的充分不必要条 2 件. 33.(2013· 高考北京卷文)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线 y=sin(2x+φ) 必过原点,但曲线 y=sin(2x+φ)过原点时,φ 可以取其他值,如 φ=0.因此“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件. 34.(2013· 高考天津卷文)设 a,b∈R,则“(a-b)· a2<0”是“a<b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析:选 A.由不等式的性质知(a-b)· a2<0 成立,则 a<b 成立;而当 a=0,a<b 成立时, 2 2 (a-b)· a <0 不成立,所以(a-b)· a <0 是 a<b 的充分而不必要条件. 35.(2013· 高考天津卷理)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2= 相切. 2 其中真命题的序号是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 4 R?3 1 4 3 1 解析:选 C.对于命题①,设球的半径为 R,则 π? = ·πR ,故体积缩小到原来的 , 3 ?2? 8 3 8 命题正确;对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据: 1 1,3,5 和 3,3,3 的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;对于命题③,圆 x2+y2= 的圆心 2 1 2 (0,0)到直线 x+y+1=0 的距离 d= = ,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确. 2 2 36.(2013· 高考福建卷文)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y -1=0 上”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.当 x=2 且 y=-1 时,满足方程 x+y-1=0,即点 P(2,-1)在直线 l 上.点 P′(0,1)在直线 l 上,但不满足 x=2 且 y=-1,∴“x=2 且 y=-1”是“点 P(x,y)在直线 l 上”的充分而不必要条件. 37.(2013· 高考福建卷理)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,∴a∈B 且 a≠1,∴a=2 或 3,∴“a=3” 是“A?B”的充分而不必要条件. 38.(2013· 高考陕西卷文)设全集为 R, 函数 f(x)= 1-x的定义域为 M, 则?RM 为( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析:选 B.函数 f(x)的定义域 M=(-∞,1],则?RM=(1,+∞). 39.(2013· 高考湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.设 A={x|1<x<2},B={x|x<2},∴A B,即当 x0∈A 时,有 x0∈B,反之不 一定成立.因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件. 40.(2013· 高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ }是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. n 其中的真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 解析:选 D.因为 d>0,所以 an+1>an,所以 p1 是真命题.因为 n+1>n,但是 an 的符号不 知道,所以 p2 是假命题.同理 p3 是假命题.由 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d>0,所以 p4 是 真命题. 41.(2013· 高考陕西卷理)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M,则?RM 为( ) A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:选 D.由 1-x2≥0,知-1≤x≤1, ∴M=[-1,1],∴?RM=(-∞,-1)∪(1,+∞). 42.(2013· 高考湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲 降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定 范围”可表示为( ) A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨q 解析:选 A.依题意得綈 p:“甲没有降落在指定范围”,綈 q:“乙没有降落在指定范 围”,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈 p)∨(綈 q). 43.(2013· 高考四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈ A,2x∈B,则( ) A.綈 p:?x∈A,2x?B B.綈 p:?x?A,2x?B C.綈 p:?x?A,2x∈B D.綈 p:?x∈A,2x?B 解析:选 D.命题 p 是全称命题:?x∈A,2x∈B,则綈 p 是特称命题:?x∈A,2x?B.故选 D. 44.(2013· 高考重庆卷理)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( ) A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 2 C.存在 x0∈R,使得 x2 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 0≥0 解析:选 D.因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,綈 p(x)”,故“对任意 x∈R, 都有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,使得 x2 0<0”. 45.(2013· 高考安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 解析:选 B.当 x=0 时,显然(2x-1)x=0;当(2x-1)x=0 时,x=0 或 x= ,所以“(2x 2 -1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件. 46.(2013· 高考陕西卷)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 C.若|a· b|=|a||b|, 若 a,b 中有零向量,显然 a∥b; 若 a,b 均不为零向量,则 |a· b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, ∴|cos〈a,b〉|=1, ∴〈a,b〉=π 或 0, ∴a∥b,即|a· b|=|a||b|?a∥b. 若 a∥b,则〈a,b〉=0 或 π, ∴|a· b|=||a||b|cos〈a,b〉|=|a||b|, 其中,若 a,b 有零向量也成立, 即 a∥b?|a· b|=|a||b|. 综上知,“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件. 47.(2013· 高考江苏卷理)集合{-1,0,1}共有________个子集. 解析:由于集合中有 3 个元素,故该集合有 23=8(个)子集. 答案:8 48.(2013· 高考湖南卷)对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1,ai2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,?,x100,其中 xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为 0.例如:子集{a2, a3}的“特征数列”为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________. (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为________. 解析: (1) 子集 {a1 , a3 , a5} 的 “ 特征数列 ” 中共有 3 个 1 ,其余均为 0 ,该数列为 1,0,1,0,1,0,0,?,0.故该数列前 3 项的和为 2. (2)E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 中,由于 p1=1,pi+pi+1=1(1≤i≤99), 因此集合 P 中必含有元素 a1. 又当 i=1 时, p1+p2=1, 且 p1=1, 故 p2=0.同理可求得 p3=1, p4=0, p5=1, p6=0, ?. 故 E 的子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0,1,0,?,1,0,即 P={a1,a3,a5,a7,?,a99}. E 的子集 Q 的“特征数列”q1, q2, ?, q100 中, 由于 q1=1, qj+qj+1+qj+2=1(1≤j≤98), 因此集合 Q 中必含有元素 a1. 又当 j=1 时, q1+q2+q3=1, 当 j=2 时, q2+q3+q4=1, 当 j=3 时, q3+q4+q5=1, ?, 故 q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,?. 所以 E 的子集 Q 的“特征数列”为 1,0,0,1,0,0,1,0,0, ?, 0,1, 即 Q={a1, a4, a7, a10, ?, a100}.因为 100=1+(n-1)×3,故 n=34.所以集合 Q 中有 34 个元素,其下标为奇数的有 17 个. 因此 P∩Q={a1,a7,a13,a19,?,a97},共有 17 个元素. 答案:(1)2 (2)17 ?m ? 49.(2013· 高考重庆卷)对正整数 n,记 In={1,2,?,n},Pn=? m∈In,k∈In?. k ? ? (1)求集合 P7 中元素的个数; (2)若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集”,求 n 的 最大值,使 Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并. ?m ? 解:(1)当 k=4 时,? m∈I7?中有 3 个数与 I7 中的 3 个数重复,因此 P7 中元素的个数为 k ? ? 7×7-3=46. (2)先证:当 n≥15 时,Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设 A,B 为不相 交的稀疏集,使 A∪B=Pn?In.不妨设 I∈A,则因为 1+3=22,故 3?A,即 3∈B.同理,6∈ A,10∈B,又推得 15∈A,但 1+15=42,这与 A 为稀疏集矛盾. ?m ? 再证 P14 符合要求.当 k=1 时,? m∈I14?=I14 可分成两个稀疏集之并,事实上,只要 ? k ? 取 A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则 A1,B1 为稀疏集,且 A1∪B1=I14.

? 13? ?1 3 5 m∈I14?中除整数外剩下的数组成集? , , ,?, ?,可求解为 2 2 2 2? k ? ? ? ?1 5 9 11? ?3 7 13? 下面两稀疏集的并:A2=?2,2,2, 2 ?,B2=?2,2, 2 ?. ? ? ? ?

当 k=4 时,集合?

?m

当 k = 9 时 , 集 合 ?

?m? ? k?

m∈I14? 中 除 正 整 数 外 剩 下 的 数 组 成 集

? ?

13 14? ?1 2 4 5 ?1 4 5 10 13? ? , , , ,?, , ?,可分解为下面两稀疏集的并:A3=? , , , , ?, 3 3? 3? ?3 3 3 3 ?3 3 3 3 2 7 8 11 14 ? ? B3=?3,3,3, 3 , 3 ?. ? ? ?m ? 最后,集合 C=? m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9?中的数的分母均为无理数,它与 P14 k ? ? 中的任何其他数之和都不是整数,因此,令 A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则 A 和 B 是不相交的稀疏集,且 A∪B=P14. 综上可知,所求 n 的最大值为 14. 注:对 P14 的分析方法不是唯一的.


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