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2.2.1平面向量的线性运算(1)

时间:2017-09-26


复习回顾:
向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量 向量的表示方法:
(1)几何表示法: 用有向线段表示 (2)代数表示法: A(起点) B(终点)

a

AB 或 a 向量的长度(或模):| AB | 或 | a |

复习回顾:
零向量的概念:

长度(模)为

0的向量,记作 0
单位向量概念: 长度(模)为1个单位长度的向量 平行向量的定义: 方向相同或相反的非零向量 规定:零向量与任一向量平行

复习回顾:
相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 共线向量与平行向量的关系: 任一组平行向量都可移到同一条直线上 所以平行向量也叫共线向量

课题导入:
如图:作用于o点的两个力F1和F2,求F1和F2的合力
B C

F1
O

平行四边形法则
F2
A

既有大小又有方向的量叫矢量 在数学中: 既有大小又有方向的量叫向量

上海

台北

香港

O

上海

OA+AB=OB a
台北

a + b = OB

B

b A 香港

向量的加法
定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
a b
C

作法: ?1?在平面内任取一点A

a+b A B

?2?作AB ? a, BC ? b

?3?则向量AC ? a ? b

a+b=AB+BC=AC 首 两个向量的和仍然是一个向量 尾 顺 三角形法则 次 相 作平移,首尾连,由起点指终点 连

当向量 a ,是共线向量时, a ? b 又如何 b 作出来?

(1) 同向
a

(2)反向
a

b
A a a+b B b C

b
a+b C b A
a B

AC ? a ? b

AC ? a ? b

规定: a?0 ? 0?a ? a

向量的加法
例1.如图,已知向量a,b, 求作向量a+b.
b a

三角形法则 作法:(1)在平面内任取一点A

A

B

(2)作

AB ? a, BC ? b

则 AC ? a ? b
C

还有没有其他的做法?

向量的加法
例1.如图,已知向量a,b, 求作向量a+b.
b a B

平行四边形法则 作法:(1)在平面内任取一点A (2)作
AB ? a, AD ? b

共 起 点

A

(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
D C

则 AC ? a ? b

作平移,共起点,四边形,对角线

课堂练习(一)
1.如图,已知a、b,用向量加法的三角形法则 作出a+b.
(1) a+b a

b

(2) a

b a A B a+b a b b a B b C

(3)

a b a A b a+b

(4)

C

B

A C a+b

课堂练习
2.如图,已知a、b,用向量加法的平行四边形法则 作出a+b. ( 1) (2) b
b a D b A a+b a C b A a+b C a a

B

B

D

思考:运用向量加法的三角形法则和 平行四边形法则时应注意什么?

思考2.两向量的和与两个数的和有什么区别?

向量 (1)两个向量的和是一个_______
(2)规定:

a?0 ? 0?a ? a

思考以下三个问题:
1.什么时候 a ? b ? a ? b ?
当向量a与b不共线时, a与b的方向不同向, 此时 a ? b ? a ? b ;

2.什么时候 a ? b ? a ? b ?
当向量a与b同向时, 则a ? b、 a、 b同向, 此时 a ? b ? a ? b ;

3.什么时候 a ? b ? a ? b ?
当向量a与b反向时, 若 a ? b , 则a ? b的方 向与a相同, 且 a ? b ? a ? b ; 当向量a与b反向时, 若 a ? b , 则a ? b的方 向与b相同, 且 a ? b ? b ? a .
14, 2 已知 a ? 8, b ? 6, 则 a ? b 的最大值和最小值是 ___

探究

向量加法的运算律

对于任意的向量 a , b , c :
交换律:a ? b ? b ? a

结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 成立吗?

探究

向量加法的运算律

交换律:a ? b ? b ? a
如图:以A为起点,作向量 AB ? a, AD ? b ,以AB,AD 为邻边作平行四边形ABCD.对角线 AC 是两向量和. 根据相等向量的定义得:
DC ? a, BC ? b
? AC ? AB ? BC ? a ? b AC ? AD ? DC ? b ? a
A a B D

b a+b
b

a C

?a ? b ? b ? a

探究

结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
b A B

a

c

O

C

例如:
(a ? b) ? (c ? d ) ? (b ? d ) ? (a ? c) a ? b ? c ? d ? e ? [d ? (a ? c) ? (b ? e)]

课堂练习(二)D
1.根据图示填空




(1)a ? d ? DA (2)c ? b ? CB
2.根据图示填空: A e f


b B D c b



(1) a + b = c
(2) c + d = f

E g A

d C

(3) a + b + d = f
(4) c + d + e = g





探究
A2
A1 A2 A3 A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4 A3 A1A3 A1A2+A2A3=_______

A1

探究 若平面内有n个首尾相接的向量,构成
一个折线,那么这n个向量的和是多少 呢?
An

多 边 形 法A 1 则

A2
A3 A4 An+1 A1An+1 A1A2+A2A3+…+ AnAn+1=_______

探究 若平面内有n个首尾相接的向量,构成
一个封闭图形,那么这n个向量的和是 多少呢?
An-1

A2
A3 A1 A4 An 0 A1A2+A2A3+…+ An-1An+AnA1 +=_______

例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 () 1 OA ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE

解:(1) OA ? OC ? OB ;
(2) BC ? FE ? AD;
(3) OA ? FE ? 0.

E

D

F
A

O
B

C

例2.

如图,一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时河水以2km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.

解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸 的速度,用向量 AB 表示水流的速度 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是船实际行驶的速度

C

D

A

B

在Rt?ABD中, AB ? 2, BD ? 2 3
AD ? AB ? BD
? AD ? 4
? tan ?DAB ? 3 ??DAB ? 60

答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角60 .

课时小结
1.向量加法的定义
2.向量加法的两种法则:
(1)三角形法则: 作平移,首尾连,由起点指终点 (2)平行四边形法则: 作平移,共起点,四边形,对角线

3.向量加法的运算律: 交换律:a ? b ? b ? a

结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

作业:
1.阅读教材的相关内容 2.教材第页第题


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