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2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考文数


2013 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(一) 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利!

第 I 卷(选择题,共 40 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后

,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再填涂其它答案,不能答在试卷上。 一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的) 1. i 是虚数单位,复数 A. 1 ? 2i

3?i = 1? i
C. 2 ? i D. 2 ? i

B. 1 ? 2i

? x ? 2, ? 2.实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4, ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ??2 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.7 B.8 C.10
2

D.11

3.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 B.30 C.20 D.55

5.设 a ? log 2 3 , b ? log4 3 , c ? ( ) A. c ? a ? b B. b ? c ? a

1 2

1.2

,则它们的大小关系是 C. b ? a ? c D. c ? b ? a

6.将函数 y=cos(x- 图像向左平移

? 个单位,则所得函数图像对应的解析式是 3 x ? ? A. y ? cos( ? ) B. y ? cos(2 x ? ) 2 4 6
D. y ? cos(
1

5? )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得 6

C. y ? sin 2 x

x 2? ? ) 2 3

7.已知函数 f ( x) ? x 2( x ? 0),若对于任意 ? ? (0, ),都有

?

2

f (tan ? ) ? f (
A. ?

1 ) ? 4 cos ?(0 ? ? ? 2? )成立,则 ? 的取值范围是 tan ?
B. ?

? ? 5? ? , ? ?3 3 ?

? ? 11? ? , 6 ? ?6 ?

C. ? 0,

? ?

??

? 5? ? ? ? ? 3 , 2? ? 3? ? ?

D. ? 0, ? ? ? , 2? ? ? 6? ? 6 ?
(a ? 0, a ? 1) . 若 数 列 ?an ? 满 足 an ? f (n) 且

?

??

? 11?

?

a ? ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), f ( x) ? ? 2 8. 已 知 函 数 ?a x ?5 ( x ? 6) ?

an?1 ? an , n ? N * ,则实数 a 的取值范围是
A. ? 7,8? B. 7,8?

?

C. ? 4,8?

D. ?1,8 ?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知集合 M ? {x || x ? 2 |? 3} ,集合 N = ? x ? R

? ?

x ?3 ? <0? ,则集合 M ? N = x?2 ?
.

.

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

2

2

2 1.5 3

A
侧视图

1.5
正视图

C

2
2 2 俯视图

O

B

P

第 10 题图

第 11 题图

11.如图, CB 是⊙O 的直径, AP 是⊙O 的切线, A 为切点, AP 与 CB 的延长线交于点 P .若

PA ? 10 , PB ? 5 ,则 AB 的长为

.

x2 y2 12. 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 e ? 10 , 它 的 一 条 渐 近 线 与 抛 物 线 a b

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线交点的纵坐标为 6 ,则正数 p 的值为

. .

13.已知函数 f ( x ) ? ?2 x 2 ? | x | ?1 ,若 f (log2 m) ? f (3) ,则实数 m 的取值范围是 14.已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心, AB =2 ,直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P ,交边 AC 于 点 Q ,则 BQ ? CP 的最大值为

??? ??? ? ?

.

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如图的频 率分布直方图. (Ⅰ )求图中实数 a 的值; (Ⅱ )若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于 60 分的人 数;

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在 ? 40,50? 与 ?90,100? 两个 分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大
0.020

a
0.025

频率 组距

于 10 的概率.
0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100 (分数)

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 (Ⅰ )求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ )在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值.

A 2

17.(本小题满分 13 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , AD ? CD , PA ? PD ? AD ? 2 BC ? 2CD , E , F 分 别是 AD, PC 的中点. (Ⅰ)求证 AD ? 平面PBE ; (Ⅱ)求证 PA / /平面BEF ; (Ⅲ)若 PB ? AD ,求二面角 F ? BE ? C 的大小.

18. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的首项为 1 ,对任意的 n ? N* ,定义 bn ? an?1 ? an . (Ⅰ 若 bn ? n ? 1, ) (i)求 a3 的值和数列 {an } 的通项公式; (ii)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Sn ; an

(Ⅱ )若 bn?1 ? bn?2bn (n ? N ? ) ,且 b1 ? 2, b2 ? 3 ,求数列 {bn } 的前 3n 项的和.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x , g( x ) ? (? x 2 ? ax ? 3) ? e x (其中 a 实数, e 是自然对数的底数) . (Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 y ? g( x ) 在点 (1, e ) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (Ⅲ) 若存在 x1 , x2 ? [e ?1 , e]( x1 ? x2 ) ,使方程 g( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. ..
x

20. (本小题满分 14 分) 已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3) ,且它的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t
2 2

1 . 2

y N

交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一点 C 满足

OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.
O M x

2013 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(一) 数学试卷(文科) 评分标准

一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x -1 ? x <3

?

?

;10. 108 ? 3? ; 11. 3 5 ; 12. 4 ;13. ( , 8) ;14. ?

1 8

22 9

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: )由 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? 10a ? 0.25 ? 0.1 ? 1 (Ⅰ 可得 a ? 0.03 ????2 分 频率 组距

(Ⅱ )数学成绩不低于 60 分的概率为:

0.2 ? 0.3 ? 0.25 ? 0.1 ? 0.85 ?4 分
数学成绩不低于 60 分的人数为

a
0.025 0.020

500 ? 0.85 ? 425 人

??5 分
0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100 (分数)

(Ⅲ)数学成绩在 ? 40,50? 的学生人数:

40 ? 0.05 ? 2 人

??6 分

数学成绩在 ? 40,50? 的学生人数:

40 ? 0.1 ? 4 人

??7 分

设数学成绩在 ? 40,50? 的学生为 A , A2 , 1 数学成绩在 ?90,100? 的学生为 A3 , A4 , A5 , A6 ????8 分

两名学生的结果为: {A , A2},{A , A3},{A , A4},{A , A5},{A , A6} , 1 1 1 1 1

{A2 , A3},{A2 , A4},{A2 , A5},{A2 , A6},{A3 , A4},{A3 , A5},{A3 , A6}, {A4 , A5},{A4 , A6},{A5 , A6}
????10 分

共 15 种;

????11 分

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有 A1 , A2 , A3 , A4 , A3 , A5 ,

?

? ?

? ?

?

? A , A ? , ? A , A ? , ? A , A ? , ? A , A ? 共 7 种,
3 6 4 5 4 6 5 6

????12 分

因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为

7 15

????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: ) f (x) ? (Ⅰ

3 sin 2x ? cos 2x

????2 分

? 2 sin(2 x ?

?
6

)

????4 分

T ?

2?

?

? ?

??????5 分

由 2k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

得, k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z ).,??7 分

故 f (x) 的单调递增区间为 ? k ? ?

? ?

?
6

,k ? ?

??
3? ?

( k ? Z ).

??????8 分

(Ⅱ f ( ) ? 2 ,则 2sin( A ? )

A 2

?
6

) ? 2 ? sin( A ?

?
6

) ? 1 ????9 分

? A?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ?

2? ? 2k? , k ? Z 3

????10 分

又 0 ? A ? ? ,? A ?

2? 3

?????????11 分

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7 ????12 分

?a ? 7

? ????????13 分

17.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ) 证明:由已知得 ED / / BC,ED ? BC , 故 BCDE 是平行四边形,所以 BE / / CD,BE ? CD --1 分 因为 AD ? CD ,所以 BE ? AD , 由 PA=PD 及 E 是 AD 的中点,得 PE ? AD , 又因为 BE ? PE ? E ,所以 AD ? 平面PBE . (Ⅱ) 证明:连接 AC 交 EB 于 G ,再连接 FG , 由 E 是 AD 的中点及 BE / / CD ,知 G 是 BF 的中点, 又 F 是 PC 的中点,故 FG / / PA , ---------5 分 ---2 分 --3 分 --4 分

又因为 FG ? 平面BEF , PA ? 平面BEF , 所以 PA//平面BEF . ---------7 分

(Ⅲ)解:设 PA=PD=AD=2BC=2CD ? 2a , 则 PF ? 3a ,又 PB ? AD ? 2a , EB ? CD ? a ,
2 2 2 故 PB ? PE ? BE 即 PE ? BE , ------8 分

又因为 BE ? AD , AD ? PE ? E , 所以 BE ? 平面PAD ,得 BE ? PA ,故 BE ? FG , ---------10 分

取 CD 中点 H ,连接 FH , GH ,可知 GH / / AD ,因此 GH ? BE , ---------11 分 综上可知 ?FGH 为二面角 F-BE-C 的平面角. 可知 FG = ---------12 分

1 1 1 PA ? a, FH ? PD ? a, GH ? AD ? a , 2 2 2
? ?

故 ?FGH =60 ,所以二面角 F-BE-C 等于 60

.

---------13 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ 解:(i) a1 ? 1 , a2 ? a1 ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 , a3 ? a2 ? b2 ? 3 ? 3 ? 6 ) .由 an?1 ? an ? n ? 1得 当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ………………2 分

? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 =
而 a1 ? 1 适合上式,所以 an ?

n(n ? 1) ………4 分 2

n(n ? 1) (n ? N ? ) .………………5 分 2
……………6 分

(ii)由(i)得:

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) an n(n ? 1) n n?1

Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? a1 a2 a3 a n
1 ? ) 2 1 1 2( ? ?) 2 3 1 1 2 ( ? ?)? ? 2 3 1 1 ?2 ( ) ……………7 分 n n? 1
…………8 分

? 2(1 ?

? 2(1 ?

1 2n )? n?1 n?1

(Ⅱ)解:因为对任意的 n ? N* 有 bn ? 6 ?

bn?5 b 1 ? n?4 ? ? bn , bn ? 4 bn ?3bn ? 4 bn ?3
…………9 分

所以数列 {bn } 各项的值重复出现,周期为 6 . 又数列 {bn } 的前 6 项分别为 2,3,

3 1 1 2 , , , ,且这六个数的和为 8. ……………10 分 2 2 3 3

设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,则, 当 n ? 2k (k ? N ) 时,
*

S3n ? S6k ? k (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ) ? 8k ,
当 n ? 2k ? 1(k ? N* ) 时,

……………11 分

S3n ? S6k ?3 ? k (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ) ? b6k ?1 ? b6k ?2 ? b6k ?3
? 8k ? b1 ? b 2 ? b 3? 8k ?
当 n ? 1 时 S3 ?

13 , 2

…………12 分

13 2
5 . ……………13 分 2

所以,当 n 为偶数时, S3n ? 4n ;当 n 为奇数时, S3 n ? 4n ?

19. (本小题满分 14 分)
2 x 2 x 解: (Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x ? 5 x ? 3) ? e , g?( x ) ? (? x ? 3 x ? 2) ? e ┈┈1 分

故切线的斜率为 g?(1) ? 4e ,

┈┈┈┈ 2 分

所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . ┈┈┈┈ 3 分 (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 , 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ①当 t ?

1 e

┈┈┈┈ 4 分

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数, e
所以 f ( x )min ? f (t ) ? t ln t ┈┈┈┈ 5 分

②当 0 ? t ?

1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数,┈┈┈┈ 6 分 e e
在区间 ( , e ) 上 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数,┈┈┈┈ 7 分

1 e

所以 f ( x )min ? f ( ) ? ?

1 e

1 e
2

┈┈┈┈ 8 分

(Ⅲ) 由 g( x) ? 2e x f ( x) 可得 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x 3 , x

┈┈┈┈ 9 分

( 令 h x) ? x ? 2 ln x ?
h ?( x) ? 1 ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? 2 ? x x x2

┈┈┈┈ 10 分

x
h ?(x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?

0

?
单调递增

h( x)

单调递减

极小值 (最小值)

┈┈┈┈ 12 分

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 e e 3 ? 实数 a 的取值范围为(4,e ? 2 ? ] e
┈┈┈┈ 13 分

┈┈┈┈ 14 分

20. (本小题满分 14 分) 20.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ┈┈┈┈┈┈┈ 1 分 a2 b2

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?
所以椭圆的标准方程为:

解得 ?

?a 2 ? 8 ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 2 ?b ? 6 ?

x2 y2 ? ?1 8 6

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切 所以,

t?k 1? k2

? 1 ? 2k ?

1? t2 ( t ? 0) t

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

把 y ? kx ? t 代入

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 分 8 6
x1 ? x 2 ? ?

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2

┈┈┈┈┈┈┈┈ 8 分

因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? ┈┈ 9 分 , (3 ? 4k 2 ) ? (3 ? 4k 2 ) ? ? ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ? 1 ┈┈┈┈┈ 10 分 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2
┈┈┈┈┈ 12 分

? ?2 ?

2t 2 2 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
所以 (

因为 t 2 ? 0 所以

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

┈┈┈┈┈ 13 分

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,

2)

┈┈┈┈ 14 分


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