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广西柳铁一中2012届高三第一次月考数学及答案


荆楚教育

广西柳铁一中 2012 届高三第一次月考数学(理)试题解析
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 至 4 页.考试结束后,将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)若集合 M ? ?

0, ,2?, N ? x x ? 2a,a ? M ,则 M ? N ? 1 A. ?0? B. ?0, ? 1 C. ? 2? 1,

?

?

D. ?0,2?

【答案】D 【解析】解: 因为集合 N={0,2,4},集合 M={0,1,2},所以 M ? N ? {0,2},故选 D (2)函数 f ( x) ?

4 x ? x 2 (0 ? x ? 2) 的反函数是
B. y ? 2 ? 4 ? x 2 ?x ? ?0,2?? D. y ? 2 ? 4 ? x 2 ?x ? ?0,2??

A. y ? 2 ? 4 ? x 2 ?x ? ?1,2?? C. y ? 2 ? 4 ? x 2 ?x ? ?1,2?? 【答案】B 【解析】解:令

f ( x) ? y, 则,y ? 4 x ? x 2 ,? 0 ? x ? 2, y ? [0, 2] 两边平方,y 2 ? 4 x ? x 2 ? y 2 ? ?( x-2) 2 ? 4,? 4 ? y 2 ? ( x-2) 2 ,? 0 ? x ? 2 ? x-2 ? ? 4 ? y 2 , 互换x, y,y ? 2 ? 4 ? x 2 , x ? [0, 2]
(3)设数列 {an } 是等差数列,则 A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 【答案】B 【解析】解:因为数列 {an } 是等差数列,所以 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5

a1 ? a8 ? a1 ? a1 ? 7d )=2a1 ? 7d ( a4 ? a5 ? a1 ? 3d )+(a1 ? 4d )=2a1 ? 7d (
显然答案为 B (4)函数 y ? A. ?

1 2

sin x ? 3 的最大值是 cos x ? 4 ? 12 ? 2 6 B. 15

C. ?

4 3

D.

? 12 ? 2 6 15

【答案】D

1

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【解析】解:

?y?

sin x ? 3 ,? y (cos x ? 4) ? sin x ? 3 cos x ? 4 4y ? 3 1? y2 ? [ ?1,1]

? sin x ? y cos x ? 4 y ? 3,? 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 4 y ? 3 (tan ? ? y ) ? sin( x ? ? ) ? ? sin( x ? ? ) ? [ ?1,1],?

4y ? 3 1? y2

两边平方,解得15y2 ? 24 y ? 8 ? 0 ? y ?[ ?12 ? 2 6 ?12 ? 2 6 , ] 15 15

故答案为 D (5) 函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后, 得到的函数解析式为 y ? cos 2 x ? 1 , a 等 则 于 A. ?

?? ? ,1? ?? ?

B. ? ?

? ? ? ,1? ? ? ?

C. ? ?

? ? ? ,1? ? 2 ?

D. ?

?? ? ,1? ?2 ?

【答案】B 【解析】解:设向量 a ? (h, k ) ,则 y ? sin 2 x 的图象上任意一点 P(x,y)按照向量 ? 平移 a 后,则解析式变为 P’(x’,y’),有
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?

?x ' ? x ? h ? y ' ? cos 2 x '? 1,? ( y ? k ) ? cos 2( x ? h) ? 1 ? ?y' ? y ? k ? y ? cos 2( x ? h) ? 1 ? k ? sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos(? ? 2 x) 2 2 ?1 ? k ? 0 ? ? ?? ? ? k ? 1, h ? ? 4 ? 2h ? ? 2 ?
(6)到椭圆

?

?

x2 y2 ? ? 1 右焦点的距离与到定直线 x ? 6 距离相等的动点轨迹方程是 25 9 2 2 2 2 A. y ? ?4( x ? 5) B. y ? 4( x ? 5) C. y ? ?4x D. y ? 4 x

【答案】A 【解析】 解: 利用抛物线的定义可知, 点的轨迹方程为抛物线, 抛物线的顶点坐标为 (5,0) 设抛物线方程为 y 2 ? ?2 p( x ? 5) ,又因为定直线为准线,定点为焦点,故 p=2,所以所求

2

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的方程为

y 2 ? ?4( x ? 5) ,故选 A

(7)在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一 步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 【答案】C 【解析】解:本题是一个分步计数问题, ∵由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, ∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列,有 A2 =2 种结果 ∵程序 B 和 C 实施时必须相邻,
1

(9)三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,且长度分别为 3、4、5,则三棱 锥 P-ABC 外接球的表面积是 A. 20 2? 【答案】C 【解析】解:本试题可以把三棱锥看成是长方体的一个角,长方体的外接球就是三棱锥的 外接球,转化为求长方体的外接球的直径,即长方体的体对角线, B. 25 2? C. 50? D. 200?

3

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32 ? 42 ? 52 ? 50 ? 5 2, 则长方体的外接球的半径为 故球的表面积公式S =4? ? (
(10) 已知双曲线

5 2 2

5 2 2 )=50? 2

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 600 的直 2 a b

线与双曲线右支有且仅有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A. ?1,2? B. ?1,2? C. ?2,??? D. ?2,??? 【答案】C
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【解析】解: 解:要使过点 F 且倾斜角为 60 度的直线与双曲线的右支只有一个交点 则需渐近线 y=(b/a)x 的斜率 b/a≥那条直线的斜率,即 b/a≥tan60°

(12) 已知函数 f ( x) ? ?

? 2 ? x ? 1 ( x ? 0) ,若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的 ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
C.(-∞,1] D.[0,+∞)

实数根,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,1) B.(0,1) 【答案】A 【解析】解:解:函数

? 2? x ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
的图象如图所示,

4

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当 a<1 时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根 故选:A

第Ⅱ卷非选择题(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? x ? y ? 1 ? 0, ? (13)如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, 则 2x ? y 的最大值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?



5

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【答案】 1

4
【解析】解:因为由二倍角的正弦公式

1 1 1 1 cos15? sin15? ? sin 30? ? ? ? 2 2 2 4
(15)如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为椭圆的两个焦点, 其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率是 .

【答案】

3 ?1

【解析】解:设正六边形的边长为 2c,则焦距为 2c,连接 EA,ED,则在三角形 EAD 中, |EA|+|ED|=2a, DE ? AE ? DE ? AE ? AD , DE ?
2 2 2

1 AD ,解得 2

AE ? 3c,? 3c ? c ? 2a,?e ? 3 ?1 ,故答案为 3 ?1

【答案】①②③④ 【解析】解:如下图所示,因为 ABCD 是正方形,故有 BD ? AC ,而 AC 是斜线 PA 在底面 的射影,则有三垂线定理,可知①正确。 点 P 在底面的射影在 AC 与 BD 的交点 O 处,则四个侧面三角形射影后的三角形为直角三角 形,因此,原三角形为锐角三角形,可知②正确。 由因为侧面与底面所成的角为

?PEO,侧棱与底面所成的角为?PBO , OE ? BC , OB ? OE ,由正切函数定义, 可知
tan ?PEO ? PO PO , tan ?PBO ? ? tan ?PEO ? tan ?PBO ? 0 ,故③正确。 OE OB
6

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如图所示,相邻两侧面的二面角显然是钝角。因此④正确。

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知数列 {an } 是等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a7 的等差中项 为

5 ,求 S5 . 4

∴q ?
3

a7 1 1 ? ? q ? , a1 ? 16 a4 8 2

7

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? ? 1 ?5 ? 16?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 31 ∴ S5 ? ? 1 1? 2
(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............
?

在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c ? 2, C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

3

.

【解题说明】本试题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理,以及三角形 的面积公式,两角和差的三角公式的综合运用。解决该试题的关键是余弦定 理 并 能 结 合 面 积 公 式 求 解 a,b。 【答案】 (Ⅰ) a ? 2, b ? 2
(Ⅱ)

2 3 3

【解析】解: 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 .(6 分) ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 , B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3
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当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? .(12 分) 2 3

8

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【解题说明】本试题考查了等可能事件的古典概率的求解,并结合组合数公 式、对立事件的概率公式的综合运用。解决该试题的关键是弄清楚没有涂色 的情况,一面涂色的情况,以及两面涂色的情况, 三面涂色的情况分别是 , 多少。 【答案】 (Ⅰ)
(Ⅱ)

1 27

40 117

【解析】解: 解:27 个小正方体中,表面没有涂色的有 1 个,有一面涂色的有 6 个,有两面涂色的有 12 个,有三面涂色的有 8 个┉┉4 分 (Ⅰ) P ?

1 ┉┉8 分 27

1 1 1 1 C6C12 ? C6C8 40 (Ⅱ) P ? ┉┉12 分 ? 2 117 C27

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形, ?BAD ? 90 , AD // BC ,
?

AB ? BC ? 1, AD ? 2 , PA ? 底面 ABCD , PD 与底面成 45? 角,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: BE ? PD ; (Ⅱ)求二面角 P ? CD ? A 的余弦值.
9

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P

E

A

D

B

C

【解题说明】本试题主要考查了空间几何体中的线线的垂直和二面角的求 解。解决该试题的关键是运用向量的代数法来解决,或者利用几何方法来结 合线面垂直的判定定理和性质定理的综合运用。 【答案】 (Ⅰ)略
(Ⅱ)

3 3

【解析】解:解法一: (1)证明:连接 AE,因为

PA ? 底面ABCD,??PDA是PD与底面ABCD的所成的角, ??PDA=45?, PA ? DA???? 6分 ? ? ?BAD ? 90?, BA ? DA,? BA ? PA ? BA ? 面PDA ? 由三垂线定理,得BE ? PD (2)连接AC,在直角梯形ABCD中, AB=BC=1,AD=2, ? ? AC=CD= 2, AC2 +CD2 ? AD 2, AC ? CD ? ? 又PA ? 底面ABCD,? PC ? CD ??PCA为二面角P ? CD ? A的平面角,在RT ?PCA中, tan ?PCA ? PA 2 ? ? 2 CA 2 3 3

所以,所求的二面角的余弦值为

10

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解法二: (1) 如图,建立空间直角坐标系,由已知可得: A(0,0, 0) B(1,0,0) , ,C(1,1,0), D(0,2,0) P(0,0,2) E(0,1,1) , , ,

? BE ? ?? 1,1,1?, PD ? ?0,2,?2?, ? BE ? PD ? ?1 ? 0 ? 1? 2 ? 1 ? (?2) ? 0, ? BE ? PD??????????6分
z P

E

A

D

y

B x

C

(2)? AP ? 平面ABCD,? AP ? ?0,0,2?是平面ABCD的法向量,

设n ? ?x, y, z?是平面PCD的法向量,则 ? PD, n ? CD , n
由 PD ? ?0,2,?2?, , CD ? ?? 1,1,0?,

11

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得?

?2 y ? 2 z ? 0, ? z ? y ?? ? x ? y ? 0, ? x ? y ?

令 y=1,则 n=(1,1,1),

? cos n, AP ?

n ? AP n ? AP

?

2 3?2

?

3 3

所以,所求二面角的余弦值为

3 . …………………………12 分 3

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

函数 f ?x? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ?? ? ,0?上是增函数,在 ?0,2? 上是减函数. (Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)解关于 x 的不等式

2 f ' ?x ? ? 6 x 2 ? 4 ?b. 2x ?1

【解题说明】本试题主要考查了导数在研究函数中的应用,以及不等式的求 解的综合运用。解决该试题的关键是能够通过已知的单调区间找到极值点,

12

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(Ⅱ)

2 3x 2 ? 2bx ? 6 x 2 ? 4 ?b ? 0 2x ?1

?

?

┉┉7 分

4bx ? 4 ? 2bx ? b 2bx ? 4 ? b ?0? ? 0 ┉┉8 分 2x ?1 2x ?1 1 b?4 1 2 ? ? ┉┉9 分 ∵对应方程的根为 x1 ? ? , x2 ? 2 2b 2 b
∵ b ? ?3 ∴ x1 ? x2 ┉┉10 分

∴解集为 ? x ?

? ?

1 1 2? ? x ? ? ? ┉┉12 分 2 2 b?

【解题说明】本试题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系、向量的 数量积,向量的共线概念的的综合运用。解决该试题的关键是要求出椭圆的 方程,并能利用联立方程组和韦达定理求解 m 的范围。 【答案】 (Ⅰ)

?2 ? O A O B ? ?

?

?

1 2

( Ⅱ ) ( x ? )2 ? ( y ? 【解析】解:

4 5

2 2 18 ) ? 5 25

(1) 2a ? 2 2 ?a ? 2, b2 ? 1 ,所以椭圆的方程是
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1, 2

联立直线方程,化简为 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )? OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 ? ?

13

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m?2 k2 ? 2 k2 ? 2 2 ?0 (#) 令 2 =m 则 k ? 2 1 ? 2m 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1 1 ??2 ? m ? ,??2 ? OA? OB ? 2 2
OA? OB =
? ?

当 K 不存在时, A(1, 综上, ?2 ? OA? OB ?
? ?
? ?

? ? 1 2 2 ), B(1, ? ) ,则 OA? OB = 2 2 2

1 2

(6 分)

OA? OB =(x1 +x2 ,y1 +y2) -2 2 (y1 +y2 ) ? x1 +x2 ? ? -2 2 (k (x1 -1) ? k (x2 -1)) ? x1 +x2 由韦达定理知,k=0,或k= 2 , 代入(#)得 OA? OB =-2或0
(2) 当OA? OB =-2时,A,B,O共线,不存在外接圆
? ? ? ? ?

当OA? OB =0时, ? OB ,外接圆直径为AB,圆心为( OA 4 2 28 即( , ),r2 ?| OC |2 ? ????12分 5 5 15

?

?

?

x1 +x2 y1 +y2 , ) 2 2

14


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