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平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

时间:2014-03-06


《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计
卢龙县城关中学 冯爱琴 一、整体设计思路 本节课从总体上讲是一节概念教学课,依据新课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念,结合本 节课知识的特点,充分利用课件辅助教学,改变相关内容的呈现方式,增加课堂容量。并设计合理板书, 加深对主要知识的印象,使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系,形成知识网络。并采用启发类比和探究 -建构

教学相结合的教学模式。 1.情境设置生活化 本着新课程的教学理念,考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接,让学生初步了解“数 学来源于生活” ,采用运用学生熟悉的物理课中功的概念背景,创设问题情景,意在营造和谐、积极的学 习气氛,激发学生的探究欲。 2.问题探究活动化 教学中本着以学生发展为本的理念,充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台,通过 他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习成功的喜悦。通 过师生之间不断合作和交流, 发展学生的数学观察能力和语言表达能力, 培养学生思维的发散性和严谨性。 3.辨析质疑结构化 在理解概念的基础上,及时类比辨析探索、归纳总结,强化了概念理解,促进学生主动建构,有助于 学生形成新的知识系统,优化知识结构。 二、教学背景分析 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算, 也是高中数学的一个重要概念, 在数学、 物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课 时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。 本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数 量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中 数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等 物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念, 然后再从概念出发, 在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。 这为学生学习数量积做了很好的铺垫, 使学生倍感亲切。 三、教学目标分析 1.知识与技能:阐明平面向量的数量积及其几何意义。了解一个向量在另一个向量上投影的概念,
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运用平面向量数量积的性质、运算律进行相关的运算和判断。 2.过程与方法:以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数 量积定义进行探究,通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。 3.情感态度与价值观:由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学 习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想,类比思想,体验法则学习研究的过程, 培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。 四、教学重难点分析 1、重点:平面向量数量积的概念。在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几 何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好的体现了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为 本节课的核心概念,也是本节课教学的重点。 2、难点:平面向量数量积的定义的理解。相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化, 两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的;由于受实数乘法运算 的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点是 数量积的概念。 五、教学基本流程

概念引入

概念获得

简单运用

算律探究

理解掌握

运用提高 六、教学过程设计 1.创设情境,引入课题 【问题】 :如图所示,如果一个物体在力 F 的作用下,产生的位移为 S,那么请问力 F 在这个运动过程 中所做的功?

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(1)力 F 所做的功 W=

。 量,F(力)是 量,S(位移)是 量,θ 是 。

(2)请同学们分析公式的特点:W(功)是 (3)师生共同探讨以引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景,让学生知道,我们研究数量积绝不仅仅是 为了数学自身的完善, 而是有其客观背景和现实意义的, 从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。 同时, 也为抽象数量积的概念做好铺垫。 2.步步探索,形成概念 (1)概念的明晰 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b ︱cosθ 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积),记作: a · b

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【问题 1】:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些? 【问题 2】:向量的数量积是一个数量,那么它何时为正?何时为负?它能等于零吗? 【问题 3】:请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积 。 【设计意图】问题 1,2 使学生不但在形式上认识数量积的定义而且从细节上进一步理解数量积的定 义 。 问题 3 使学生理解了数量积的物理意义。 例题训练 教材例 1(由学生独立完成) 【设计意图】通过计算巩固对定义的理解。 (2)探讨数量积的几何意义 给出投影的概念并提问: 【问题 1】两向量的夹角对投影的正负有什么影响? 【【问题 2】由向量投影的定义你得到数量积的几何意义是什么? 【设计意图】:这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念,从中体会数量积与向量投 影的关系,同时也更符合知识的连贯性,而且也节约了课时。同时也为数量积的性质埋下伏笔。 (3)数量积性质的发现 教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的,为了很好地完成这一探究活动,在完成上述问 题后,我不失时机地提出: 【问题】:比较︱ a · b ︱与︱ a ︱×︱ b ︱的大小,你有什么结论? 在学生讨论交流的基础上, 教师进一步明晰数量积的性质, 然后再由学生利用数量积的定义给予证明,
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完成探究活动。 (4)明晰数量积的性质 【设计意图】:体现了教师只是教学活动的引领者,而学生才是学习活动的主体,让学生成为学习的 研究者,不断地体验到成功的喜悦,激发学生参与学习活动的热情,不仅使学生获得了知识,更培养了学 生由特殊到一般的思维品质。 (5)运算律的发现 关于运算律,教材仍然是以探究的形式出现,为此,首先提出下面问题 【问题】:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用? 让学生自己写运算律,可能学生的答案有遗漏或错误,教师以此强调运算律学习的重要性。 (6)明晰数量积的运算律 (7)证明运算律 学生独立证明运算律(1)、(2)。 师生共同证明运算律(3)。 运算律(3)的证明对学生来说是比较困难的,为了节约课时,这个证明由师生共同完成,我想这也 是教材的本意。 【设计意图】:在这个环节中,我仍然是首先为学生创设情景,让学生在类比的基础上进行猜想归纳, 然后教师明晰结论,最后再完成证明,这样做不仅培养了学生推理论证的能力,同时也增强了学生类比创 新的意识,将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。 3.典例剖析,巩固提高 例 2、(学生独立完成)对任意向量 a , b 是否有以下结论: (1)( a + b ) =
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? ? a 2+2 a ? ?

·b +b

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(2)( a + b )·( a - b )=

? ? a 2— b 2 ?
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例 3、 (师生共同完成)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求( a +2 b )·( a -3 b ) , 并思考此运算过程类似于哪种运算? 例 4、 (师生共同完成) 已知︱ a ︱=3, ︱ b ︱=4, 且 a 与 b 不共线, k 为何值时, 向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直?并思考:通过本题你有什么收获? 【设计意图】:我根据学生实际在这里安排了教材后三道例题,并对例 3 和例 4 增加了题后反思。例 2 先要求学生自己猜测给出的两个公式,再由学生独立完成证明,一方面这并不困难,另一方面培养了学 生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例 3 是数量积的性质和运算律的综合应用,教学时,我重点从
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对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后,进一步提出问题:此运算过程 类似于哪种运算?目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上掌握这种运算。例 4 的主要作用是,在继续 巩固性质和运算律的同时,教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直,是平面向量数量积的基本应 用之一,教学时重点给学生分析数与形的转化原理。 4.知识迁移,创新演练 为了使学生更好的理解数量积的含义,熟练掌握性质及运算律,并能够应用数量积解决有关问题,再 安排如下练习: (1)有四个式子:⑴ 其中正确的个数为( A、4 个 B、3 个

? ? ? 0? a ? 0
) C、2 个



0a ? 0 ⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c



| a ? b | ?| a || b |

D、1 个 )

(2)已知 a 、 b 都是单位向量,下列结论正确的是( A、a ? b ? 1 B、 a ? b C、 a ∥ b ? a ? b (3)有下列四个关系式:⑴ 其中正确的个数是( A、1 B、2 C、3 ) D、4
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D、 a ? b ? 0 ⑶a ? b ? b ? a ⑷0a ? 0 ,

0?0 ? 0

⑵ (a ? b)c ? a(b ? c)

(4)设 | a |? 12 , | b |? 9 , a ? b ? ?54 2 ,求a 与 b 的夹角? .
(5)已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60?,求 a ? b 和 a ? b .
【设计意图】 安排练习(1) (2) (3)的主要目的是,使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要 运算, 通过练习(4) (5)使学生学会用数量积表示两个向量的夹角和向量的模,进一步感受数量积的应 用价值。 5.课堂小结,归纳提升 (1)平面向量的数量积及其几何意义。 (2)平面向量数量积的重要性质及运算律。 【设计意图】 :通过上述小结,使学生对本节课的知识有了更加全面深刻的认识。 6.课后作业,拓展延伸 (1)课本 P121 习题 2.4A 组 1、2、3、6、7。 (必做) (2)已知 a 与 b 都是非零向量,且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直, a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,求 a 与 b 的夹 角。 (选做) 【设计意图】 :在这个环节中,我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求,因此安
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排了一组教材中的习题, 目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用, 为后续学习打好基础。 其次,为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展,我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的 同学选做。 七、板书设计 §2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、数量积的概念 1、数量积的定义 2、投影的概念 3、数量积的几何意义: 二、数量积的性质 三、数量积的运算律 八、教学反思 以落实课程标准为目标,以学生知识技能的形成、数学思维的完善和情感态度的发展为出发点,用多 媒体辅助教学,在教师的组织、引导、参与下,以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活 动。以数学来源于生活,又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索,交流合作 的基础上让学生自己去发现和归纳,让学生充分的自主学习、合作探究、积极展示,体验学习数学的快乐 及成功的喜悦。 数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现,为了让 学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由 学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到,数量积的运算律则是通 过和实数乘法相类比得到,这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和 类比创新的意识。

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