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【三维设计】2013高考数学总复习 课时跟踪检测12 函数与方程

时间:2013-07-24


课时跟踪检测(十二)

函数与方程

?2 -1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? ? ?1+log2x,x>1,

x

则函数 f(x)的零点为(

)

1 A. ,0 2 C. 1 2

B.-2,0 D.0

? 1? ?1? 3 2.设 f(x)=x +bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f?- ?·f? ?<0,则方程 f(x)=0 在 ? 2? ?2?
[-1,1]内( ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根 A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根

3.(2012·长沙模拟)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表:

x f(x)

1 136.13

2 15.552

3 -3.92 )

4 10.88

5 -52.488

6 -232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有( A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

4.(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y=2 ; ②y=-2 ; ③f(x)=x+x ;④f(x)=x-x . 则输出函数的序号为( )
x x
-1 -1

A.① C.③

B.② D.④

1

2 x 5. (2012·北京朝阳统考)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内, 则实数 a 的

x

取值范围是( A.(1,3) C.(0,3)

) B.(1,2) D.(0,2)

6.(2013·哈师大模拟)若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]

?lg x,x>0, ?0,x=0, 时,(x)=1-x , f 函数 g(x)=? 1 ?-x,x<0, ?
2

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]

内的零点个数是( A.5 C.8

) B.7 D.10
3

7.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可 得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 8. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 9. (2013·南通质检)已知函数 f(x)=x +(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 则实数 k 的取值范围是___ _____.
2

x

x 1 ? 1? 3 2 10.已知函数 f(x)=x -x + + .证明:存在 x0∈?0, ?,使 f(x0)=x0. 2 4 ? 2?
11.关于 x 的二次方程 x +(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 12.若函数 f(x)=ax -x-1 有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围.
2 2

1.(2012·“江南十校”联考)已知关于 x 的方程|x -6x|=a(a>0)的解集为 P,则 P 中所有元素的和可能是( A.3,6,9 C.9,12,15 ) B.6,9,12 D.6,12,15 满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(-1)=0,那么

2

? ?x-2,x>0, 2.已知函数 f(x)=? 2 ?-x +bx+c,x≤0 ?

函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为___ _____. 3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实 2 根,证明必有一个实根属于(x1,x2).
2
2

[答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5.__________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.__ ____





课时跟踪检测(十二)

A级 1.D 2.C 3.C 4.D 5.选 C 由条件可知 f(1)f(2 )<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解之得 0<a<3. 6. C 依题意得, 选 函数 f(x)是以 2 为周期的函数, 在同一坐标系下画出函数 y=f(x) 与函数 y=g(x)的图象,结合图象得,当 x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有 8 个,即 函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数是 8.

7.解析:因为 f(x)=x +3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在

3

x∈( 0,0.5)上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号.
答案:(0,0.5) f(0.25) 8.解析:函数 f(x)的零点个数就是函数 y=a 与函数 y=x+a 的图象交点的个数,易 知当 a>1 时,两图象有两个交点;当 0<a<1 时,两图象有一个交点. 答案:(1,+∞) 9.解析:因为 Δ =(1-k) +4k=(1+k) ≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x) 的零点 x=-1?(2,3),故要使函数 f(x)=x +(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则必有
2 2 2

x

f(2)·f(3)<0,即 2<k<3.
答案:(2,3) 10.证明:令 g(x)=f(x)-x.
3

1 ?1? 1 ?1? 1 ∵g(0)= ,g? ?=f? ?- =- , 4 ?2? 8 ?2? 2

?1? ∴g(0)·g? ?<0. ?2? ? 1? 又函数 g(x)在?0, ?上连续, ? 2? ? 1? ∴存在 x0∈?0, ?,使 g(x0)=0, ? 2?
即 f(x0)=x0. 11.解:设 f(x )=x +(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在 区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 又∵f(2)=2 +(m-1)×2+1, 3 ∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则
2 2

?Δ ≥0, ? m-1 ?0<- 2 <2, ?f? 2? ≥0, ?
?? m-1? -4≥0, ? ∴?-3<m<1, ?4+? m-1? ×2+1≥0. ?
2

?m≥3或m≤-1, ?-3<m<1, ∴? 3 ?m≥-2. ?

3 ∴- ≤m≤-1. 2

由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1]. 12.解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函 数仅有一个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax -x-1 为二次函数,并且仅有一个零点 ,则一元二次方 1 1 2 程 ax -x-1=0 有两个相等实根.则 Δ =1+4a=0,解得 a=- .综上,当 a=0 或 a=- 4 4 时,函数仅有一个零点. B级
2

4

1.选 B 如图,函数 y=|x -6x|的图象关于直线 x=3 对称,将 直线 y=a 从下往上移动可知:P 中所有元素的和可能是 6,9,12. 2.解析:∵f(0)=1,∴c=1.又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1) 1 1 =-1-b+1=- ,得 b= .∴当 x>0 时,g( x)=2x-2=0 有唯一解 2 2

2

x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x2+ x+1,令 g(x)=0,得 x=2(舍去)或 x=- ,
即 g(x)=0 有唯一解.综上可知,

3 2

1 2

g(x)=f(x)+x 有 2 个零点.
答案:2 3.证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0, 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 又∵Δ =b -4ac≥-4ac>0,∴方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根,∴函数 f(x)有两 个零点. 1 1 (2) 令 g(x) = f(x) - [f(x1) + f(x2)] , 则 g(x1) = f(x1) - [f(x1) + f(x2)] = 2 2
2 2

f? x1? -f? x2?
2



1 f? x2? -f? x1? g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 ∴g(x1)·g(x2)=

f? x1? -f? x2?
2

·

f? x2? -f? x1?
2

1 2 =- [f(x1)-f(x2)] . 4

∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0. ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 1 即 f(x)= [f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根. 2

5


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