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2.4正态分布教案


2.4 正态分布 教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线 的性质 。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想:在总体分布研

究中我们选择正态分布作为研究的突破口, 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在
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上一节课我们研究了当样本容量无限增大时, 频率分布直方图就无限 接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布
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但总体密度曲线的相关知识较为抽象, 学生不易理解, 因此在总体分 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学
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中是最基本、最重要的一种分布

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2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成:
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? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??) ,

(σ >0)
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由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把 它记为 N (?,? 2 )
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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其 对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负
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两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线 在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的
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4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间 高、左右对称的基本特征
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5.由于正态分布是由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某 种意义上说, 正态分布就有好多好多, 这给我们深入研究带来一定的 困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究 N(0,1) ,其他的
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正态分布都可以通过 F ( x) ? ? (

x??

?

) 转化为 N(0,1) ,我们把 N(0,

1)称为标准正态分布,其密度函数为 F ( x) ? ∞) ,从而使正态分布的研究得以简化

1 2?

e

1 ? x2 2

,x∈(-∞,+

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6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线
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的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生 只要了解大致的情形就行了, 关键是能通过正态曲线, 引导学生归纳 其性质
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教学过程: 学生探究过程: 复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越 接近于总体在相应各组取值的概率. 设想样本容量无限增大, 分组的 组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,

这条曲线叫做总体密度曲线.
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求 出总体在区间(a, b)内取值的概率等于总体密度曲线, 直线 x=a, x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左 右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函 数的图象来表示或近似表示:
? 1 ?? ,? ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)

式 中 的 实 数 ? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差, ?? ,? ( x) 的图象为正态分布密度曲线 , 简称正态曲线. 讲解新课:

一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足
P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a b

则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布 完全由参数 ? 和 ? 确定,因此正态分布常记作 N (?,? 2 ) .如果随机变 量 X 服从正态分布,则记为 X~ N (?,? 2 ) . 经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次 的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.例如,高 尔顿板试验中, 小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞, 每次碰 撞的结果使得小球随机地向左或向右下落, 因此小球第 1 次与高尔顿 板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正 态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分 布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量

等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;正常生 产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器 的电容量、电子管的使用寿命等) ;某地每年七月份的平均气温、平 均湿度、降雨量等;一般都服从正态分布.因此,正态分布广泛存在 于自然现象、 生产和生活实际之中. 正态分布在概率和统计中占有重 要的地位. 说明:1 参数 ? 是反映随机变量取值的平均水平的特征数, 可以用 样本均值去佑计;? 是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用 样本标准差去估计. 2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了 正态分布. 之后, 德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导 出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布. 2.正态分布 N (?,? 2 ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布 通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
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3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是 两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教
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师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三
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条正态曲线的图形, 结合前面均值与标准差对图形的影响, 引导学生 观察总结正态曲线的性质
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4.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称
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(3)当 x=μ 时,曲线位于最高点

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(4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降 (减函数) 并且当曲线向左、 右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,
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向它无限靠近

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(5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定

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σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握, 后两条较难理解, 因此在讲授 时应运用数形结合的原则,采用对比教学
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5.标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总 体,其相应的函数表示式是 f ( x) ? 其相应的曲线称为标准正态曲线
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1 2?
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e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞)

标准正态总体 N (0, 1) 在正态总体的研究中占有重要的地位 任
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何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 讲解范例:

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例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标 准差σ
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(1) f ( x) ? (2) f ( x) ? (3) f ( x) ?

1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?

答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率. 解:利用等式 p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有
p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1

?? ?

= ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 .

1.标准正态总体的概率问题:
y

x

对于标准正态总体 N(0,1) , ?( x0 ) 是总体取值小于 x0 的概率, 即
?( x0 ) ? P( x ? x0 ) ,
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其中 x0 ? 0 ,图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) 只要有标准正 态 分 布 表 即 可 查 表 解 决 . 从 图 中 不 难 发 现 : 当 x0 ? 0 时 ,
?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5
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2. 标准正态分布表 标 准 正 态 总 体 N (0,1) 在 正 态 总 体 的 研 究 中 有 非 常 重 要 的 地 位 ,为此专 门制作 了“标准 正态分 布表”. 在这个 表中,对 应 于 x0 的值 ?( x0 ) 是指总体取值小于 x0 的概率,即 ?( x0 ) ? P( x ? x0 ) ,
( x0 ? 0) .

若 x0 ? 0 ,则 ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) . 利 用 标准 正态 分布 表 ,可 以求 出标 准 正态 总体 在任 意 区间
( x1 , x2 ) 内取值的概率,即直线 x ? x1 , x ? x2 与正态曲线、 x 轴所围

成的曲边梯形的面积 P( x1 ? x ? x2 ) ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) . 3.非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过
F ( x) ? ? ( x??

?

) 转化成标准正态总体,然后查标准正态分布表即可 在
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这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然后
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进行相应的转化

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4.小概率事件的含义 发生概率一般不超过 5%的事件, 即事件在一次试验中几乎不可 能发生
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假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总 体, 然后, 依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试 验结果进行分析
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假设检验方法的操作程序,即“三步曲” 一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体; 二是确定一次试验中的 a 值是否落入(μ -3σ ,μ +3σ ); 三是作出判断 讲解范例: 例 1. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2). 解: (1) P (-2.32< x<1.2)= ? (1.2)- ? (-2.32) = ? (1.2)-[1- ? (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P ( x >2)=1-P ( x <2)=1- ? (2)=l-0.9772=0.0228.
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例 2.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的 概率: (1)在 N(1,4)下,求 F (3)
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(2)在 N(μ ,σ 2)下,求F(μ -σ ,μ +σ ) ; F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ ) ;F(μ -2σ ,μ +2σ ) ;

F(μ -3σ ,μ +3σ )
3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? ) =Φ (1)=0.8413 (2)F(μ +σ )= ? (

解: (1) F (3) = ? (

F (μ -σ ) = ?( =0.1587

? ?? ? ? ) =Φ (-1) =1-Φ (1) =1-0.8413 ?

?

F(μ -σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413 -0.1587=0.6826 F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ )=F(μ +1.84σ )-F(μ - 1.84σ )=0.9342 F (μ -2σ , μ +2 σ ) =F (μ + 2 σ ) -F (μ -2σ ) =0.954 F (μ -3σ , μ +3 σ ) =F (μ + 3 σ ) -F (μ -3σ ) =0.997 对于正态总体 N (?,? 2 ) 取值的概率:

68.3%
x

95.4%
x

99.7%
x







在区间(μ -σ ,μ +σ ) 、 (μ -2σ ,μ +2σ ) 、 (μ -3σ ,μ +3 σ )内取值的概率分别为 68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在
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区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小 的一部分
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例 3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的 最大值为
1 2?

,求总体落入区间(-1.2,0.2)之间的概率
1 2? ?
? ( x?? )2 2? 2

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解:正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

e

, x ? (??,??) ,

它是偶函数,说明μ =0, f ( x) 的最大值为 f ( ? ) = 这个正态分布就是标准正态分布

1 2? ?

,所以σ =1,

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P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1

巩固练习:书本第 74 页 课后作业: 书本第 75 页 教学反思:

1,2,3 习题 2. 4 A 组 1 , 2 B 组 1 , 2

1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在
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上一节课我们研究了当样本容量无限增大时, 频率分布直方图就无限 接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布
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但总体密度曲线的相关知识较为抽象, 学生不易理解, 因此在总体分 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学
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中是最基本、最重要的一种分布

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2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成:
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? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??) ,

(σ >0)
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由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把 它记为 N (?,? 2 )
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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其 对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负
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两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线 在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的
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4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、

左右对称的基本特征。 由于正态分布是由其平均数μ 和标准差σ 唯一 决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深 入研究带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究
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N (0, 1) , 其他的正态分布都可以通过 F ( x) ? ? (

x??

?

) 转化为 N (0, 1) ,

我们把 N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为 F ( x) ?

1 2?

e

1 ? x2 2



x∈(-∞,+∞) ,从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的 图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做
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要求, 授课时可以借助几何画板作图, 学生只要了解大致的情形就行 了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质。


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