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3.1.2复数的几何意义(第二课时)


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实数的几何意义?
在几何 上,我们用 什么来表示 实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 一一对应 数轴上的点 (数 ) (形 )

类比实数的几何意义,复
数的几何意义是什么呢?

回 忆

… 复数的 一般形 式?


Z=a+bi(a, b∈R)
实部 虚部

一个复数 由什么确 定?

3.1.2
y b y

z=a+bi Z(a,b)
b

z=a+bi Z(a,b)

o

a

x

o

a

x

教学重难点
重点
?对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.

难点
?由于理解复数是一对有序实数不习惯,对 于复数几何意义理解有一定困难.

?对于复数向量表示的掌握有一定困难.

探究

复数的实质是什么?

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应,因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.

可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

那么现在复数z=a+bi可以在平面直 角坐标系中表示出来,如图所示: y

z=a+bi
b

Z(a,b)

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

a

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.

观察
实轴上的点都表示实数;虚 轴上的点都表示纯虚数,除原点

外,因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标

轴上的单位长度是1,而不是i.

练一练
?复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); ?实轴上的点(2,0)表示(实数2); ?虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); ?点(-2,3)表示( 复数-2+3i).

依照这种表示方法,每一个 复数,有复平面内唯一的一个点 和它对应;反过来,复平面内的 每一个点,有唯一的一个复数和 它对应.

由此可知,复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的. 复数的几何意义之一是: 记住!

复数 z=a+bi

一一对应

复平面内 的点Z(a,b)

在平面直角坐标系中,每一个 平面向量都可以用一个有序实数对 来表示,而有序实数对与复数是一 一对应的.这样,我们还可以用平面 向量来表示复数.

可用下图表示出他们彼此的关系. 直角坐标系中 复数z=a+bi 一一对应 的点Z(a,b) z=a+bi Z(a,b) 平面向量
y b

OZ
a

o

x

由此可知,复数集C和复平面内 的向量所成的集合也是一一对应的. 复数的另一几何意义之一是:

复数z=a+bi

一一对应

平面向量OZ

注意
为了方便起见,我们常把复数z=a+bi说

成点Z或说成向量 OZ 且规定相等的向量 表示同一个复数.
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模,记作 |z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可 知: |z|= |a+bi|=r=

a +b ? 0, r ∈ R).
2 2(r

同学们还应明确:
任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点 Z(a,b)对应,复平面内任意一点Z(a,b)又可

以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的量 OZ
对应.这些对应都是一一对应,即

z=a+bi

Z(a,b)

一一对应

OZ

例题1

画一画

找出与下列复数对应的点的位置,且在复 平面内画出这些复数对应的向量: (1)i; (2)2-2i; (3)(2+i) ×i; (4)i-1;

解:
(2+i) ×i
4

y

(2+i) ×i 转化为 -1+2i
i

i-1

2 1
-2 -1 O 2 4

i = -1
x

2

-2

2-2i

注意

解:
4

y

Z3:(2+i) ×i
Z4:i-1

2 1 -2

Z1:i
O 2 4 x

-2 -1

Z2:2-2i

例题2
已知某个平行四边形的三个顶 点所对应的复数分别为2,4+2i, -2+4i,求第四个顶点对应的复数.

自己动动手

解:
4

y

-2

O

2

4

x

答案:6i或-4+2i或8-2i

扩展题
求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i

(5)
(5)

(5 2)

课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对;

2.用平面直角坐标系表示复平面,其 中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴;

3.实轴上的点都表示实数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数; 4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面 内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi);

5.复数的两个几何意义: 复数z=a+bi
一一对应

复平面内的点Z(a,b)

复数z=a+bi 一一对应 平面向量

OZ

6.复平面内任意一点 Z(a,b)可以 与以原点为起点,点 Z(a,b) 为终 点的向量 OZ 对应; 7.复数的模通过向量的模来定义;

随堂练习
填空
1.复数z=-5-3i在复平面内的点的坐标是
( -5,-3 ). 2.复数z=4-3i的模是( 5 ).

自己动动手

选择
(1)下列命题中的假命题是( D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上 (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上 (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数 (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数

(2)“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的 点在虚轴上”的( C )

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

解答题
1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复 平面内所对应的点在直线x+y+4=0上, 求实数m的值.

提示
复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点的坐标是( m2+m-6, m2+m-2 ),此 点在直线上,代入直线方程求m即可.

解: m2+m-6+m2+m-2+4=0

得 m=-2或m=1

2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点位于第二象限,求实数m允许 的取值范围.

提示 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)

? -3 < m < 2 ?m 2 + m - 6 < 0 得? 解:由 ? 2 ?m < -2 或 m > 1 ?m + m - 2 > 0

? m ? (-3, -2) (1, 2)
注意 一种重要的数学 思想:数形结合思想

习题答案
练习(第105页)
1.A:4+3i, B:3-3i, C:-3+2i,

D:-5/2-3i,
G:5i,

E:11/2,
H:-5i.

F:-2,

y

2.

5
4

2+5i

-3+2i
-2 O 2 4 x

-3-i -3i 2-4i

y

3. Z5:-2+4i
4

Z4:4 Z1:2+i

-2

O

2

4

x

Z3:-2i Z2:3/2-4i


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