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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月29日)

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【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 29 日)
一、填空题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分. 1.不等式|x+1|<3 的解集为________. 解析 由|x+1|<3 得-3<x+1<3? -4<x<2, 所以不等式|x+1|<3 的解集为(-4,2). 答案 (-4,2)

1 1 2.若 x>0,y>0,且 x+2y=1,则 + 的取值范围是________.

x y

1 1 ?1 1? ?2y x? 解析 依题意得 + =? + ?(x+2y)=3+? + ?≥3+2

x y ?x y?

?x

y?

2y x · =3+2 2,当且仅

x

y

2y x 2- 2 1 1 当 = ,即 x= 2-1,y= 时取等号,因此 + 的取值范围是[3+2 2,+∞). x y 2 x y 答案 [3+2 2,+∞) 3.不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集为________. 解析 当 x>2 时,(x+3)-(x-2)=5≥3 恒成立; 当-3≤x≤2 时,x+3-(-x+2)=2x+1≥3,解得 x≥1,即 1≤x≤2;当 x≤-3 时, (-x-3)-(-x+2)=-5≥3 不成立,综上可得此不等式的解集为{x|x>2,或 1≤x≤2}= {x|x≥1}. 答案 {x|x≥1} 4.(2013·重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范 围是________. 解析 |x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,故 a≤8. 答案 a≤8 5 .若关于 x 的不等式 |a|≥|x + 1| + |x - 2| 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以只需|a|≥3 即可, 所以 a≥3 或 a≤-3. 答案 a≥3 或 a≤-3

? 1? 6.若不等式?x+ ?≥|a - 2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 ?
x?
________. 解析

? 1? 令 f(x)=?x+ ?,由题意只要求|a-2|+1≤f(x)时 a 的最大值,而 f(x)= ?
x?

1

?x+1?=|x|+?1?≥2, ? x? ?x? ? ? ? ?
∴|a-2|+1≤2,解得 1≤a≤3,故 a 的最大值是 3. 答案 3 7.x 1-y +y 1-x 的最大 值是________. 解析 ∵x 1-y +y 1-x ≤
2 2 2 2

x2+1-x2

-y +y

2

2

=1 ,

∴最大值为 1. 答案 1 8.若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,则实数 m 的取值范围为________. 解析 在同一直角坐标系中分别画出函数 y= |2x- m| 及 y=|3x+6|的图象 (如图所

示), 由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立, 所以函数 y=|2x-m|的图象在 y=|3x+6|的图 象的下方,因此,函数 y =|2x-m|的图象也必须经过点(-2,0),所以 m=-4.

答案 -4 9. (2013·湖南卷)已知 a, b, c∈R, a+2b+3c=6, 则 a +4b +9c 的 最小值为________. 解析 由柯西不等式得(a +4b +9c )(1 +1 +1 )≥(a+2b+3c) =36, 所以 a +4b + 9c ≥12,从而 a +4b +9c 的最小值为 12. 答案 12 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 1 * 10.(本小题 10 分)(2013·福建卷)设不等式|x-2|<a(a∈N )的解集为 A,且 ∈A, ? 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值. 解 3 1 ?3 ? ?1 ? (1)因为 ∈A,且 ?A,所以? -2?<a,且? -2?≥a , 2 2 ?2 ? ?2 ?

2

1 3 * 解得 <a≤ .又因为 a∈N ,所以 a=1. 2 2 (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当 (x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤ 2 时取到等号. 所以 f(x)的最小值为 3. 11.(本小题 10 分)(2013·辽宁卷)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的 解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值. -2x+6,x≤2, ? ? 解 (1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4. 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解 得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1,或 x≥5}. -2a,x≤0, ? ? (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ? ?2a,x≥a. 由|h(x)|≤2,解得

a-1
2

≤x≤

a+1
2

.

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

a-1 ? ? 2 =1, 所以? a+1 ? ? 2 =2,

于是 a=3.

12.(本小题 10 分)(2013·辽宁沈阳二模)设函数 f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤x+10 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)≥a-(x-2) 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. -2x+4,x<-1, ? ? 解 (1)f(x)=?6,-1≤x≤5, ? ?2x-4,x>5. 当 x<-1 时,-2x+4≤x+10,x≥-2, 则-2≤x<-1; 当-1≤x≤5 时,6≤x+10,x≥-4,则-1≤x≤5; 当 x>5 时,2x-4≤x+10,x≤14,则 5<x≤14.
3
2

综上可得,不等式 f(x)≤x+10 的解集为[-2,14]. (2)设 g(x)=a-(x-2) ,由函数 f(x)的图象与 g(x)的图象可知:f(x)在 x∈[-1,5] 上取最小值为 6,g(x)在 x=2 时取最大值为 a,若 f(x)≥g(x)恒成立,则 a≤6.
2

4


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