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2011年温州外国语竞赛试题

时间:2012-01-11


2011 年温州外国语竞赛试题
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档; 第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试
(本题满分 一、选择题: 本题满分 42 分,每小题

7 分) 选择题: (

(1 ? a ) 2 (1 ? b) 2 1.已知 a + b = 2 , + = ?4 ,则 ab 的值为 . b a
A.1. 【答】B. 由 B. ?1 . C. ?





1 . 2

D.

1 . 2

(1 ? a ) 2 (1 ? b) 2 + = ?4 可得 a (1 ? a ) 2 + b(1 ? b) 2 = ?4ab , b a

即 ( a + b) ? 2(a 2 + b 2 ) + a 3 + b 3 + 4ab = 0 , 即 2 ? 2( a 2 + b 2 ) + 2(a 2 ? ab + b 2 ) + 4ab = 0 ,即 2 ? 2ab + 4ab = 0 ,所以 ab = ?1 . 2. . 已知△ ABC 的两条高线的长分别为 5 和 20,若第三条高线的长也是整数, 则第三条 高线长的最大值为 ( ) A.5. B.6. C.7. D.8. 【答】B. 设△ ABC 的面积为 S,所求的第三条高线的长为 h,则三边长分别为 然

2 S 2S 2S , , .显 5 20 h

2 S 2S > ,于是由三边关系,得 5 20 ? 2 S 2S 2S ? 20 + h > 5 , 20 解得 4 < h < . ? 2 S 2S 2S 3 ? + > , h ? 20 5 所以 h 的最大整数值为 6,即第三条高线的长的最大值为 6.
3.方程 | x 2 ? 1 |= ( 4 ? 2 3 )( x + 2) 的解的个数为 . A.1 个 【答】C. B.2 个 C.3 个 ( ) D.4 个

当 | x |≥ 1 时,方程为 x 2 ? 1 = ( 4 ? 2 3 )( x + 2) ,即 x 2 ? ( 4 ? 2 3 ) x ? 9 + 4 3 = 0 , 解得 x1 = 3 , x2 = 4 ? 3 3 ,均满足 | x |≥ 1 . 当 | x |< 1 时,方程为 1 ? x 2 = ( 4 ? 2 3 )( x + 2) ,即 x 2 + ( 4 ? 2 3 ) x + 7 ? 4 3 = 0 ,

解得 x3 = 3 ? 2 ,满足 | x |< 1 . 综上,原方程有 3 个解. .4. 今有长度分别为 1,2, …, 的线段各一条,现从中选出若干条线段组成 9 “线段组” , . 由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( ) A.5 组. B.7 组. C.9 组. D.11 组. 【答】C. 显然用这些线段去拼接成正方形,至少要 7 条.当用 7 条线段去拼接成正方形时,有 3 条边每边都用 2 条线段连接, 而另一条边只用 1 条线段, 其长度恰好等于其它 3 条边中每两 条线段的长度之和.当用 8 条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相 等. 又因为 1 + 2 + L + 9 = 45 ,所以正方形的边长不大于 [

7 = 1+ 6 = 2 + 5 = 3 + 4 ; 9 = 1+ 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 ; 1+ 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6;

45 ] = 11 .由于 4 8 = 1+ 7 = 2 + 6 = 3 + 5



2+9 = 3+8 = 4+ 7 = 5+ 6.

所以,组成边长为 7、8、10、11 的正方形,各有一种方法;组成边长为 9 的正方形, 有 5 种方法。 故满足条件的“线段组”的组数为 1×4+5=9. 5. 如图, 菱形 ABCD 中, AB = 3 , = 1 , DAB = 60° , EFG = 15° , ⊥ BC , DF ∠ ∠ FG . 则 AE = ( ) A.1 +

2.

B. 6 .

C.2 3 ? 1 .

D.1 + 3 .

【答】 D. 过 F 作 AB 的垂线,垂足为 H.∵ ∠DAB = 60° , AF = AD ? FD = 2 , ∴ ∠AFH = 30° , AH = 1 , FH =

3,
F

D

C

又∵ ∠EFG = 15° , ∴ ∠EFH = ∠AFG ? ∠AFH ? ∠EFG = 90° ? 30° ? 15° = 45° , 从而△FHE 是等腰直角三角形,所以 HE=FH= 3 , ∴ AE = AH + HE = 1 + 3 . 6.已知 ( ) A.1. 【答】C. 由已知等式得 B.
A

G H E B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 + = , + = , + = ,则 + + 的值为 x y+z 2 y z+x 3 z x+ y 4 x y z 3 . 2 5 . 2

C.2.

D.

xy + zx yz + xy zx + yz xy + yz + zx 9 = . = 2, = 3, = 4 ,所以 x+ y+z x+ y+z x+ y+z x+ y+z 2

于是,

y 5 z y 5 yz 5 zx 3 xy 1 所以 = , = 3, = , = , = , = . x+ y+z 2 x+ y+z 2 x+ y+z 2 x 3 y x 3

即 z = 3 y = 5x 。

代入

1 1 1 1 1 1 23 = ,解得 x = + = ,得 + . x y+z 2 x 5 2 10 x + 5x 3
2 3 4 2 3 4 23 + + = + + = = 2. 5 x y z x 5x 5x x 3


所以

(本题满分 二、填空题: 本题满分 28 分,每小题 7 分) 填空题: ( 1.在△ABC 中,已知 ∠B = 2∠A , BC = 2, AB = 2 + 2 3 ,则 ∠A = . 【答】 15° 。 延长 AB 到 D,使 BD=BC,连线段 CD,则 ∠D = ∠BCD = CA=CD。 作 CE ⊥ AB 于点 E,则 E 为 AD 的中点,故

1 ∠ABC = ∠A ,所以 2
C A

AE = DE =

1 1 1 AD = ( AB + BD ) = (2 + 2 3 + 2) = 2 + 3 , 2 2 2

E

B

D

BE = AB ? AE = (2 + 2 3) ? (2 + 3) = 3 .
在 Rt △ BCE 中 , cos ∠EBC =

EB 3 = , 所 以 ∠EBC = 30° , 故 BC 2

∠A =

1 ∠ABC = 15° . 2

2.二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象的顶点为 D,与 x 轴正方向从左至右依次交于 A, . B 两点, y 轴正方向交于 C 点, 与 若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形 (O 为坐标原点) , 则 b + 2c = . 【答】 2. 由已知,得 C (0, c ) , A(

? b ? b 2 ? 4c ? b + b 2 ? 4c b b 2 ? 4c ,0) , B( ,0) , D(? ,? ). 2 2 2 4
b 2 ? 4c = b 2 ? 4c , 4

过 D 作 DE ⊥ AB 于点 E, ,则 2 DE = AB ,即 2 × 得 b ? 4c = 2 b ? 4c ,
2 2

所以 b ? 4c = 0 或 b ? 4c = 2 .又 b ? 4c > 0 ,所以 b ? 4c = 2 .
2 2
2 2

? b + b 2 ? 4c 2 又 OC = OB ,即 c = ,得 b + 2c = b ? 4c = 2 . 2
3.能使 2 + 256 是完全平方数的正整数 n 的值为 .
n



【答】 11. 当 n < 8 时, 2 + 256 = 2 (1 + 2
n n n
2

8? n

) ,若它是完全平方数,则 n 必为偶数.
n
4

若 n = 2 ,则 2 + 256 = 2 × 65 ;若 n = 4 ,则 2 + 256 = 2 × 17 ;若 n = 6 ,则

2 n + 256 = 2 6 × 5 ;若 n = 8 ,则 2 n + 256 = 2 8 × 2 。所以,当 n ≤ 8 时, 2 n + 256 都不是
完全平方数. 当 n > 8 时, 2 n + 256 = 2 8 ( 2 n ?8 + 1) ,若它是完全平方数,则 2 n ?8 + 1 为一奇数的平 方。 设2
n ?8

+ 1 = (2k + 1) 2 (k 为自然数) 2 n ?10 = k (k + 1) .由于 k 和 k + 1 一奇一偶, ,则

所以 k = 1 ,于是 2 n ?10 = 2 ,故 n = 11 . 4.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作圆的切线与 CD 的 延长线交于点 F,如果 DE = AB= . 【答】 24. 设 CE = 4 x, AE = y ,则 DF = DE = 3 x, EF = 6 x . 连 AD,BC.因为 AB 为⊙O 的直径,AF 为⊙O 的切线,所以
A B E O

3 CE , AC = 8 5 ,D 为 EF 的中点,则 4

C

D

∠EAF = 90°, ∠ACD = ∠DAF .
又因为 D 为 Rt△AEF 的斜边 EF 的中点, ∴ DA = DE = DF ,∴ ∠DAF = ∠AFD , ∴ ∠ACD = ∠AFD ,∴ AF = AC = 8 5 . 在 Rt△AEF 中,由勾股定理得
F

EF 2 = AE 2 + AF 2 ,即 36 x 2 = y 2 + 320 .

设 BE = z ,由相交弦定理得 CE ? DE = AE ? BE ,即 yz = 4 x ? 3 x = 12 x 2 , ∴ y 2 + 320 = 3 yz 又∵ AD = DE , ∴ ∠DAE = ∠AED . 又 ∠DAE = ∠BCE , ∠AED = ∠BEC ,∴ ∠BCE = ∠BEC ,从而 BC = BE = z .
2 2 在 Rt△ACB 中,由勾股定理得 AB = AC + BC ,即 ( y + z ) = 320 + z , 2 2 2



∴ y + 2 yz = 320 .
2



联立①②,解得 y = 8, z = 16 . 所以 AB = AE + BE = 24 .

第二试 (A) )
一 、 本 题 满 分 20 分 ) 已 知 三 个 不 同 的 实 数 a, b, c 满 足 a ? b + c = 3 , 方 程 (

x 2 + ax + 1 = 0 和 x 2 + bx + c = 0 有 一 个 相 同 的 实 根 , 方 程 x 2 + x + a = 0 和 x 2 + cx + b = 0 也有一个相同的实根.求 a, b, c 的值.
解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.

? x12 + ax1 + 1 = 0, 两式相减,可解得 设 x1 是方程①和方程②的一个相同的实根,则 ? 2 ? x1 + bx1 + c = 0,
x1 = c ?1 . a?b
……5 分 设 x 2 是方程③和方程④的一个相同的实根,则 ?
2 ? x 2 + x 2 + a = 0, 两式相减,可解得 2 ? x 2 + cx2 + b = 0,

x2=

a ?b 。 c ?1
所以 x1 x 2 = 1 .
2 又方程①的两根之积等于 1,于是 x 2 也是方程①的根,则 x 2 + ax 2 + 1 = 0 。 2 又 x 2 + x 2 + a = 0 ,两式相减,得 (a ? 1) x 2 = a ? 1 .

………15 分

若 a = 1 ,则方程①无实根,所以 a ≠ 1 ,故 x 2 = 1 . 于是 a = ?2, b + c = ?1 .又 a ? b + c = 3 ,解得 b = ?3, c = 2 . ………20 分

(本题满分 二. 本题满分 25 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知 ∠BAD = 60° , ∠ABC = 90° , (

∠BCD = 120° ,对角线 AC, BD 交于点 S ,且 DS = 2 SB , P 为 AC 的中点.求证: (1) ∠PBD = 30° ; (2) AD = DC .
证明 (1)由已知得 ∠ADC = 90° ,从而 A, B, C , D 四点共圆, AC 为直径, P 为该圆的圆心. ……………………5 分
M P A N B S C D

作 PM ⊥ BD 于点 M ,知 M 为 BD 的中点,所以 ∠BPM = 从而 ∠PBM = 30° . ……………10 分

1 ∠BPD = ∠A = 60° , 2

(2)作 SN ⊥ BP 于点 N ,则 SN = 又 DS = 2 SB, DM = MB =

1 SB . 2

1 BD , 2 3 1 …………15 分 ∴ MS = DS ? DM = 2SB ? SB = SB = SN , 2 2 ∴ Rt△ PMS ≌Rt△ PNS ,∴ ∠MPS = ∠NPS = 30° , 1 又 PA = PB , 所 以 ∠PAB = ∠NPS = 15° , 故 ∠DAC = 45° = ∠DCA , 所 以 2 AD = DC .
…………… 25 分 (本题满分 已知 m, n, p 为正整数,m < n . A( ? m, 0) ,B ( n, 0) ,C (0, p ) , 设 三. 本题满分 25 分) ( O 为坐标原点.若 ∠ACB = 90° ,且 OA 2 + OB 2 + OC 2 = 3(OA + OB + OC ) . (1)证明: m + n = p + 3 ; (2)求图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式.
2 解 (1)因为 ∠ACB = 90° , OC ⊥ AB ,所以 OA ? OB = OC ,即 mn = p . 2

由 OA 2 + OB 2 + OC 2 = 3(OA + OB + OC ) , 得 m 2 + n 2 + p 2 = 3(m + n + p ) .…………5 分 又 m 2 + n 2 + p 2 = ( m + n + p ) 2 ? 2( mn + np + mp )

= (m + n + p ) 2 ? 2( p 2 + np + mp ) = (m + n + p ) 2 ? 2 p (m + n + p ) = (m + n + p )(m + n ? p ) ,
从而有 m + n ? p = 3 , 即 m + n = p + 3. ……………………10 分

(2)由 mn = p 2 , m + n = p + 3 知 m, n 是关于 x 的一元二次方程

x 2 ? ( p + 3) x + p 2 = 0



的两个不相等的正整数根,从而 ? = [ ?( p + 3)] ? 4 p > 0 ,解得 ? 1 < p < 3 。
2 2

又 p 为正整数, 故 p = 1或 p = 2 . 当 p = 1 时,方程①为 x ? 4 x + 1 = 0 ,没有整数解.
2

…………15 分

当 p = 2 时,方程①为 x ? 5 x + 4 = 0 ,两根为 m = 1, n = 4 .
2

综合知:

m = 1, n = 4, p = 2 .

…………20 分

设图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式为 y = k ( x + 1)( x ? 4) ,将点 C (0,2) 的坐 标代入得 2 = k × 1 × ( ?4) ,解得 k = ? 所 以 , 图 象 经 过

1 . 2

A, B, C 三 点 的 二 次 函 数 的 解 析 式 为

1 1 3 y = ? ( x + 1)( x ? 4) = ? x 2 + x + 2 . 2 2 2
……25 分

第二试 (B) )
(本题满分 题目和解答与( )卷第一题相同. 一. 本题满分 20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同 ( (本题满分 二. 本题满分 25 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知 ∠BAD = 60° , ∠ABC = 90° , (

∠BCD = 120° , 对角线 AC, BD 交于点 S , DS = 2SB . 且 求证:AD = DC .
从而 A, B, C , D 四点共圆,AC 为直径. 证明 由已知得 ∠ADC = 90° , 设 P 为 AC 的中点,则 P 为四边形 ABCD 的外接圆的圆心. ………………………5 分 作 PM ⊥ BD 于点 M ,则 M 为 BD 的中点,所以 ∠BPM =
D

M

S N

C B

∠A = 60° ,从而 ∠PBM = 30° .
作 SN ⊥ BP 于点 N ,则 SN = 又 DS = 2 SB, DM = MB =

1 ∠BPD = 2 A

P

………………………10 分

1 SB . 2

1 BD , 2 3 1 ∴ MS = DS ? DM = 2 SB ? SB = SB = SN , ………15 分 2 2 ∴ Rt△ PMS ≌Rt△ PNS ,∴ ∠MPS = ∠NPS = 30° , 1 又 PA = PB , 所 以 ∠PAB = ∠NPS = 15° , 所 以 ∠DAC = 45° = ∠DCA , 所 以 2

AD = DC .
……25 分 (本题满分 已知 m, n, p 为正整数,m < n . A( ? m, 0) ,B ( n, 0) ,C (0, p ) , 设 三. 本题满分 25 分) ( O 为坐标原点.若 ∠ACB = 90° ,且 OA + OB + OC = 3(OA + OB + OC ) .求图象
2 2 2

经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式. 解 因为 ∠ACB = 90° , OC ⊥ AB ,所以 OA ? OB = OC ,即 mn = p .
2

2

由 OA + OB + OC = 3(OA + OB + OC ) ,
2 2 2 2 2 2 得 m + n + p = 3(m + n + p ) .…………………5 分

又 m 2 + n 2 + p 2 = ( m + n + p ) 2 ? 2( mn + np + mp )

= (m + n + p ) 2 ? 2( p 2 + np + mp ) = (m + n + p ) 2 ? 2 p (m + n + p ) = (m + n + p )(m + n ? p ) ,
从而有 m + n ? p = 3 , 即 m + n = p + 3. ……………10 分

又 mn = p 2 ,故 m, n 是关于 x 的一元二次方程

x 2 ? ( p + 3) x + p 2 = 0



的两个不相等的正整数根,从而 ? = [ ?( p + 3)] 2 ? 4 p 2 > 0 ,解得 ? 1 < p < 3 。 又 p 为正整数, 故 p = 1或 p = 2 .
2

………………15 分

当 p = 1 时,方程①为 x ? 4 x + 1 = 0 ,没有整数解. 当 p = 2 时,方程①为 x ? 5 x + 4 = 0 ,两根为 m = 1, n = 4 .
2

综合知: m = 1, n = 4, p = 2 .

………20 分

设图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式为 y = k ( x + 1)( x ? 4) ,将点 C (0,2) 的坐 标代入得 2 = k × 1 × ( ?4) ,解得 k = ?

1 . 2

所以,图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式为

1 1 3 y = ? ( x + 1)( x ? 4) = ? x 2 + x + 2 . 2 2 2

…25 分

第二试 (C) )
(本题满分 题目和解答与( )卷第一题相同. 一. 本题满分 20 分)题目和解答与(A)卷第一题相同 ( 二. 本题满分 25 分)如图,已知 P 为锐角△ ABC 内一点,过 P 分别作 BC , AC , AB ( 的垂线,垂足分别为 D, E , F , BM 为 ∠ABC 的平分线, MP 的延长线交 AB 于点 N .如 果 PD = PE + PF ,求证: CN 是 ∠ACB 的平分线. 作 证明 如图 1, MM 1 ⊥ BC 于点 M 1 ,MM 2 ⊥ AB 于点 M 2 ,NN 1 ⊥ BC 于点 N 1 , 2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 7 页(共 8 页)

NN 2 ⊥ AC 于点 N 2 .
A N2 M2 F N E M

P N H1

M H

P

B N 1

D

M1

C

N1

D

M1



NP = λNM





NN 1 // PD // MM 1





N 1 D = λN 1 M 1 .

………………………5 分

若 NN 1 < MM 1 , 如图 2, NH ⊥ MM 1 , 作 分别交 MM 1 , PD 于点 H , H 1 , 则△ NPH 1 ∽△ NMH ,∴ ∴

PH 1 NP = = λ ,∴ PH 1 = λMH , MH NM

PD = PH 1 + H 1 H = λMH + NN 1 = λ ( MM 1 ? NN 1 ) + NN 1 = λMM 1 + (1 ? λ ) NN 1 .
若 NN 1 = MM 1 ,则 PD = NN 1 = MM 1 = λMM 1 + (1 ? λ ) NN 1 . 若 NN 1 > MM 1 ,同理可证 PD = λMM 1 + (1 ? λ ) NN 1 . ……15 分

∵ PE // NN 2 ,∴

PE PM = = 1 ? λ ,∴ PE = (1 ? λ ) NN 2 . NN 2 NM PF NP = = λ ,∴ PF = λMM 2 . MM 2 NM
…………20 分

∵ PF // MM 2 ,∴

又 PD = PE + PF ,∴

λMM 1 + (1 ? λ ) NN 1 = λMM 2 + (1 ? λ ) NN 2 .

又因为 BM 是 ∠ABC 的平分线,所以 MM 1 = MM 2 ,∴ (1 ? λ ) NN 1 = (1 ? λ ) NN 2 . 显然 λ ≠ 1 ,即 1 ? λ ≠ 0 ,∴ NN 1 = NN 2 ,∴ CN 是 ∠ACB 的平分线. ……25 分 (本题满分 题目和解答与( )卷第三题相同. 三. 本题满分 25 分)题目和解答与(B)卷第三题相同 (


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